Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Можно включить в рассмотрение случай несколько более общий1 чем случай упругой жидкости, если предположить„что существует функция У (р, о) (такая, как энтропия), которая' сохраняет постоянное аначение для'каждой частицы, хотя это 'значение не обязательно одинаково для всех частиц, как в случае упругой жидкости. Тогда замыкающее уравнение ааписывается з виде осУ/Ж = О. Как указывалось в п.5.2, местную скорость' звука а можно определить равенством ,ур дсУ/до а' ° — =— ЫО дсУ/др (23) Тогда аТ дсУ ар д,У дс д,У ~- бр дс др б1+ до г1 ар ( б1 аа~ (24) Таким образом, если производная дсУ/др отлична от нуля, то замыкающее уравнение можно получить, приравняв нулю выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (24), и принимая для производной с(/й значение, указанное выше.
Тогда мы получим систему пяти дифференциальных уравнений с частными производными относительно пяти неизвестных о„, ду, Ч„р и о, а именно Ч вЂ” + — + — — =О, ад„ ас„ 1 ар дх дг о дх даз ад„ 1 др Ч вЂ” + — + — — =О, дх д1 о ду дч, ас, 1 ар Ч- — + — + — — =О, д8 О дс аух ~у дЯс Я дз 1 ИО + + — + — — + — — =О, дх .ду дс о ах Обс др др зс до до~ д — + —.
— аз ( д — + — / = О. дх 'д1 ( дх д8 ) (25) Эта система имеет вид системы (6) при /с=5 и в=4. Существует. /се=25 векторных козффициевтов а„„, каждый из которых имеет четыре компоненты (в направлении х, у, г и 8); многие из них Равны нулю вследствие выбора осей координат. Например, компоненты.вектоРа ап есть козффиЦиенты при пРоизвоДных от с/, ЯФ Ге. ГГ. Общие теоремы 132 в первом уравнении: д, О, О, 1. Для а,з, а,з и а„все компоненты РаВНЫ НУЛ«О, таК КаК ПРОИЗВОДНЫЕ От д„, Ее И Е В ПЕРВОЕ УРазнение не входят, а аы имеет компоненты 1/е, О, О, О.
В первую строку определителя для Х входят скалярные произведения этих векторов на вектор Х=(Х„Х„Хз, Х4), т. е. следующие величины еХ, + Х, О, О, Х,/е, О. Остальные строки получаются аналогичным образом, и уравнение для Х принимает вид О ЕЛ1+ Л4 О Лз О О О ЕЛ»+ Х, лз О ел,+л, О О Х, О л,/е Хз/Е Хз/е О ЕЛ1+ Л4 О О О (дл, + л,)/е — (ел, + л,) — 1(ЕЛ»+ Х,)' — а'(Х,'+Л,'+Хе)]=О. (26) е Имеется два типа характеристик, соответствующих двум множителям в уравнении (26).
Прежде чем рассматривать общий случай, рассмотрим частный случай установившегося движения, когда отсутствует компонента по г, Л,. Тогда, приравнивая нул«о второй множитель в уравнении (26), получаем а' 1(М' — 1) Х,' — Х,' — Х,') = О, (27) и соответствующие характеристические поверхности опять касаются конусов Маха, конечно только прн условии М>1. Прнравнивание нулю первого множителя дает Х,'=О, так что л«абая плоскость, проходящая через ось х (или направление скорости), является искл«очительной. Отсюда следует, что в общем случае установившегося течения при замыкающем уравнении вида 44«Г'/А=О все поверхности, состоящие ив линий тока, такжеявкяются характеристикалеи.
Эти поверхности тока являются действительными характеристиками даже для дозвукового течения (если не предполагается, что течение безвихревое) и даже для вихревого течения несжимаемой жидкости. В этом случае, Сднако, система (25) должна быть видоизменена, но формула, соответствующая формуле (26), будет иметь вид — (вл'+хО (Л'+ц+©=О, е 1 г. в.
будет содержать тот же множитель"). В .случае неустановившвгося течения второй множитель в уравнении '(26) представляет еконус». второго порядка в пространстве х, у, з, 8. Этот «конус» пересекает пространство х, у, з по конусу, задаваемому уравнением .(27). Когда рассматривается пересечение с плоскостью х, Г, т. е. когДа опУЩены Х, и Лз, выРажение, стоящее в квадратных скобках в уравнении (26), сводится к сле- В.В. Общий случай движения жидкости Прежде всего заметим, что Л,=Л;ФО, так как вектор Л' перпендикулярен направлению, которое составляет угол Маха а ~ О с направлением потока, которое в нашем случае совпадает с направлением оси х. Следовательно, первое и последнее из этих уравнений дают аз=и Оаз, аз= — — = — аз; аз вч Ч Ч от Л.
Далее получаем азо Лз — — а в Б азо Лз — — и,— л, причем эти равенства не зависят Яз Лз а = — — — = В М аз Лз Лз дующему выралсению: Л,' (дз — а') + 2дЛ,Л + Л,', приравняв нулю последнее выражение, мы получим в плоскости х, г те же два направления, что и в случае одномерного неустановившегося течения: формулу (22), в которой Л, заменено на Л,. Первый множитель в уравнении (26) определяет в пространстве х, у, з, ~ поверхности, составленные из линшй частиц (см. п.1.2) з').
Таким образом, все поверхности, составленные ив линий частиц, лвляютсл характеристиками (см. такнсе п.15г2). Видно, что конус Маха сохраняет свою роль огибающей исключительных плоскостей независимо от того, будет ли течение вихревым или безвихревымз'). Рассмотрим, наконец, условия совместности, вспомнив, в частности, конец п.З. Прежде всего, имеются три условия (г= 3) совместности, соответствующие трехкратному корню, т.
е. первому множителю в уравнении (26)з'). Они состоят из замыкающего уравнения (последнего из уравнений (25)) и двух компонент уравнения Ньютона, перпендикулярных направлению Л. В связи со вторым множителем в уравнении (26) существует одно условие совместности. для каждого направления конуса. Рассмотрим сначала случай установившегося течения; тогда из уравнения (27) следует, что (М' — 1)Л," — Л,*' — Л з=О, где Лз' определены с точностью до общего множителя.
Далее вычислим а,', а,*,..., а,'. при помощи уравнений (9'), Временно опуская значок * при а и Л, получаем уравнения а,дЛ, + азЛ, = О, аздЛ,+а Л,=О, аздЛз + а,Лз = О, а,Лд+ а,Лз+ азЛз+ азйдЛ, = О, аздЛ, — аза'йдЛ, = О. 134 Га. 11. Общие теоремы Так как все а определены только с точностью до общего мно- жителя, то выберем а,= — 11ай и, опять используя звездочки, получим э 1 Л1. а = —— в =М ЛФ Ф 1 е 1 а = — —. аэ ' и =М' 1 Л;. а = —— 3 М (28) а = — а; % 4 Выберем теперь Л,* = 11М и получим Мэ ' (29) 5 $0.
ХАРАКГЕРИСТИКИ В СЛУЧАЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ !. Характеристические направления Во многих задачах аэродинамики число независимых переменных сводится к двум, и = 2. Почти все, что известно в настоящее время о течении сжимаемой жидкости, относится к этому случаю. В качестве примеров (некоторые из них будут научены подробно в следубощих главах) укажем следующие: таким образом, мы. сделали Л' единичным вектором. Используя выбор Л; = 11М, упрощаем равенства (28) а,= —, а,=Л„а,=Л„а,= — а, а,= — —.
(28') вэ Заметим, что четвертое из уравнений для а„не было еще использовано; легко видеть, что оно тождественно сводится к уравнению (29), если подставить в него веяичины (28'). Этя а,' определяют условия совместности. Используя уравне-' кия (25) и равенства (28'), находим, согласно формулам (11), Л* ~ — + — Игайр) айп Ч-)- — — )=О, (30) ,Гбц ~ . Г . 1 бр~ '~бс Е ) ~ Эабб) или, используя условие Лэ Ч = а, получаем Л ~~ — -Чатй+ — 8гаар — — Ч вЂ” ')=О. эГЛЧ - 1 бр '~ ~,сй о Эаз бб Здесь Лэ может быть одним из бесконечного множества единичных векторов, перпендикулярных касательным плоскостям к конусу Маха. -л В общем случае, т.
е. для веустановившегося движения, условие совместности совершенно аналогично уравнению (30), за исключением того, что вектор Лэ должен быть вектором, который обращает в нуль второй множитель в уравнении (26). 10.1. Характериетииеекие направления $35 а) плоское установившееся течение, в котором неэависимымв ,переменными являются з и у (гл. 1Ч, Ч); б) неустановившееся параллельное течение, переменные х и 1 (гл. 111); в) неустановившееся радиальное течение, переменные г н ц г) установившееся осесизсзетричное течение, переменные г и з, где г — расстояние от оси симметрии, а з измеряется параллельно оси симметрии, как это принято в цилиндрических координатах Как было показано в 5 9 во всех вышеуказанных случаях характеристики являются кривыми в плоскости независимых переменных.
Изучение этих кривых будет чрезвычайно полезно для задачи интегрирования дифференциальных уравнений. Если замыкагощее уравнение представляет собой соотношение между р и д и если, кроме того, предполагается, что в случаях а) и г) движение является безвихревым, то число неизвестных также равно двум, Ь = 2. В случаях б) к в) неизвестны р (илн д) и компонента скорости; в случаях а) и г) в качестве неизвест- ных можно взять две компоненты скорости, так как мы знаем (см. $ 8), что в установившемся безвихревом течении о (или р, пли аа) можно выразить как функцию от вектора скорости.
Введя обозначения х,= х, ха = у для независимых переменных н и,= и, и = о для зависимых переменных, систему квазилиней- яых дифференциальных уравнений (9.6) можно записать в виде ди ди де ди в дк е ду дк ' в ду $ где ам =(ап пе), ам —— (аа, ав), аа,=(6» 6,) и а, =(6а, 6,) — век- торы, входящие в уравнения (9.б). В общем случае все коэффи- циенты и члены и правых частях системы (1) являются функ- циями от х, у, и и ое'); в случае линейной задачи ае и ьв зависят только от х и у, а а и 6 являются линейными функциями и и с (если они действительно зависят от и и о) с коэффициентами, зависящими от л и у. Далее мы рассмотрим вектор Л (п.9.2), нормальный к харак- теристическому направлению; компоненты Л, и Л, вектора з направлениях х и у определяются уравнением (9ЛО), которое принимает вид Лвсв + Лапе Лапе+ Лаяв л,ь,+л,ь л,ь +л,ь, вак как направление нормали лежит в той же плоскости, что я характеристическое направление, то это условие можно выразить таким образом, чтобы оно определяло сами характеристические направления, а не нормали к этим направлениям.
Если Гл. 11. Общие теоремы ф — угол между осью х и характеристическим направлением, то наклон характеристики в любой точке равен бв Х, — =баф= — —. бх )ч Ясли вектор 1 имеет длину 1 и направлен соответствующим образом, то можно записать Х,= — яшф, Хг=соя ф, и уравне- ние (2) становится таким: 0= а соя ф — а, яш ф аз соя ф — аз яш ф Ь,соя ф — Ьгяш ф Ьзсояф — 6, яш ф = Лгз соя' ф — (йы+ Лез) соя ф яш ф+ Ьггяшг ф, (2') где Ьеь — сокращенное обозначение разности а;6ь — а„Ьо Все три коэффициента этого квадратного уравнения обращаются в нуль в следующих двух случаях: а) если левая часть одного из урав- нений (1) кратна левой части другого; б) если производные и и о входят только как линейные комбинации )ь ди/дх+ т до/дх и р'ди/ду-)-тдо/ду. 6(ы предполагаем, что ни 'один из этих слу- чаев не имеет места при всех рассматриваемых нами значениях переменных х, у, и и о.
Во всех остальных случаях*) уравнение (2') имеет два, одно или ни одного действительного решения для ьйф; тогда система (1) называется гиперболической, параболической или вллиптической соответственно. Так, например, в п. 9.3 мы видели, Что уравнения, описывающие установившееся потен- циальное двумерное течение, явля1отся эллиптическими в дозвуко- вой области, параболическими на звуковой линии и гиперболи- ческими в сверхзвуковой области. Когда а, и 6; не зависят от и и о, коэффициенты уравнения (2') зависят только от х и у и можно утверждать, что система (1) является гиперболической в некоторой области плоскости х, у. В этом случае два корня бд ф = е)у/Нх уравнения (2') зависят только от х и у.
Интегри- руя полученные обыкновенные дифференциальные уравнения, можно независимо от и и о найти два семейства характеристик; таким образом, в случае линейных уравнений длл двумерной задачи характеристики образуют сетку кривых, определенную раз и на-, всегда еще до того, нан заданы какие-либо граничные' условия, позволяющие выделить частное решение и, о. Однако в общем случае, когда коэффициенты ае и Ье являются также функциями и и о, систему можно описать как эллипти- *) Равенства он=о и йы=о требуют, чтобы существовали линейные комбинации уравнений (1) с левыми частями р,ди/дх+х, дг/дх к йгди/до+ +ч дг/ду соответственно. Если, кроме того, он+ам=о, то р1чг — 'ргч1=О. Отсюда следует, что кскгючвтельаыми случаями могут быть только случая а) и б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
