К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(62Л 4) Точка для падающей ударной волны, где и = О, с = с„движется по Вакону х = с,с. (62Л5) В момент времени 11, определяемый уравнением — = — (1 — — ~+ [а, — (1 — — ) -[- —, (62Л6) — У [е (,.;) В СЕЧЕНИ1 х, = ест ~ — (1 — — ) + )/ — (1 — — ) + — ~ (62.17) проиеойдет встреча отраженной ударной волны и фронта слабой волны (где и = 0), после чего возникнет новая волна: х — 2Ь их+ ся = сд, — =иа — са.
(62ЛЬ) 535 в вв! ИСТЕЧЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНУЮ ТРУБУ В момент времени 7 = Ис, эта волна достигнет стенки, на которой в этот момент времени будет с = с„следовательно, от стенки начнет распространяться зона покоя, причем всюду в этой зоне скорость звука равна начальной скорости звука с,.
Подсчитаем теперь импульс, который примет стенка при отражении ударной волны; очевидно, 2дсс ~( стл )в сш (62 19) где — ~=( — '") =( '", '") =~2 —,'" — 1~ . Здесь ртю и,„и с,„— давление, скорость и скорость внука на фронте падающей ударной волны; рв„, св„— то же для отраженной волны. Поскольку, с другой стороны, на стенку действует все время давление р„ то полный избыточный импульс определится выражением *) ЛХ = Х вЂ” р, (7 — т) = — ' ( — "), (62.20) бр Е ~Ьс„~в а а где Лс„= с„— с, есть избыточная скорость звука на фронте падающей ударной волны.
Процесс отражения, после того как к стенке придет волна (62.18), закончнтсч. Можно было бы рассмотреть еще целый ряд задач, связанных с отражением ударных волн от стенки, однако рассмотренная задача является вполне типичной именно для слабых ударных волн, поэтому мы здесь ею и ограничимся. $ 63. Полные импульсы при истечении сжатого газа или продуктов детонации в бесконечную трубу, наполненную воздухом *) Это соотношение является приближевимм; оио справедливо с точиостью до членов второго порядка. Вычислим импульс, который действует на стенку цилиндрического сосуда диаметра в(, помещенного в трубу того же диаметра, при истечении из сосуда ранее сжатого газа в воздух, имеющий меньшее начальное давление, чем сжатый гаэ.
При вычислении этого импульса необходимо учесть все рассмотренные нами закономерности, связанные с расширением газа и движением возникающей при этом ударной волны. Необходимо также помнить, что с другой стороны на стенку сосуда будет все время действовать 536 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. 1Х давление воздуха р = р„так что избыточный импульс, действую- щий на стенку, определится соотношением йУ,= ~(р — р,)с)! = ~р!(! — р,((,— (,), (63.() Эг+1 г "н! 1 'с1 (2(г — а))! (2а)! / Рв) 1'+з !(" а)! а!)1 (, Рс а=с (63.2) В том случае, когда и ( 2/()с — 1) с, этот момент времени можно подсчитать, исходя из следующих соотношений: [(с с )1-(- с (с с ))г (г С! г! дс" (63.3) с = 2с„ — с„; где с и ! — скорость звука и момент времени прихода к стенке простой волны; если р ) рс, то лишь в новой волне разрежения станет р = р,; эта задача сложна и аналитически, за исключением случая й = 3, не решается.
Если р ( р„то задачу решает соотношение (63.2), поскольку давление становится равным атмосферному уже в первой отраженной от стенки волне разрежения. При где 11 и 11 — моменты времени начала и конца изучаемого процесса ((1 = О, 8,=». оо), р = р ((), причем вид функции р (1) будет различен для различных волн. Как мы указывали выше, столб газа будет совершать некоторые колебания около положения равновесия, прежде чем это равновесие установится. При этом давление, действующее на стенку, также будет колебаться около аначения р,.
Как только давление в процессе истечения, понижаясь, достигнет значения р и будет продолжать понижаться, то обязательно начнется обратное движение газа и воздуха, сжатого в ударной волне, иначе не будет удовлетворен закон сохранения юшульса. В этот момент времени именно на границе раздела между газом и ударной волной скорость станет равной нулю, т. е. остановится сама граница раздела, достигнув своего максимального удаления. Например, в случае истечения продуктов мгновенной детонации, т. е. в случае истечения ранее покоящегося сжатого газа, легко определить этот момент времени.
В самом деле, в том случае, 2 когда и '> — с, имеем для отрая<енной волны разрежения !. — ( !'! соотношение 537 ь оз] ИСТЕЧЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНУЮ ТРУБУ Величина импульса, определяемая зтим соотношением, должна быть равна удвоенному импульсу, действующему на стенку сосу- да, из которого и происходило истечение продуктов мгновенной детонации: Ы = 21о. (63.5) Поскольку при у = 3 количество движения на осяовании (59.27) равно 2Ео, 1о = а (63.6) Л1 4 о а (63.7) то мы действительно убеждаемся в том, что отраженный избыточный импульс при у = 3 равен удвоенному количеству движения. Л1 = 21о = 4 — '. (63.8) а Этот вывод, конечно, справедлив и для сильных ударных волн. Подчеркнем снова, что величина полного избыточного импульса с увеличением расстояния, проходимого ударной волной на боль- 1-1 ~-1 УСЛОВИИ 2 (р,(ра)ОΠ— 1 = (ра(ра) ™ даВЛЕНИЕ у СТЕПКИ СтаНОВИтея равным атмосферному в момент прихода к ней второй простой волны.
Следует учесть, что время действия давления на стенке р ~ р, и импульс, сообщаемый стенке, будет меньше, чем при наступлении режима р ) р„поскольку полный импульс при истечении в воздух больше, чем при истечении в пустоту. Исключение составят случаи, когда начальное давление р„незначительно отличается от р,. Когда давление на стенку достигнет своего минимума и затем начнет повышаться и достигнет снова значения р„то обратное давление газа и воздуха начнет постепенно замедллтьсл и при р = р, совершенно прекратится — появится новая волна сжатия. Нетрудно подсчитать в случае истечения продуктов мгновенной детонации полный импульс, действующий на стенку.
Очевидно, импульс будет равен количеству движения в ударной волне. Это количество движения мы определяем, пользуясь формулами з 59. Импульс, образующийся при отражении слабой ударной волны, мы также знаем (см. соотношение (62.20)). Преобразуем несколько это соотношение, справедливое для у = 3: 538 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. 1Х ших расстояниях, становится постоянной и конечной. Вспомним, что, начиная с некоторого большого рассеяния от места истечения, энергия ударной волны также изменяется слабо. Как мы знаем, энергия ударной волны складывается иэ энергии продуктов взрыва, отданной в атмосферу, и энергии воздуха вытесненного продуктами взрыва.
Иэбыточная масса воздуха в ударной волне при атом также становится достаточно близкой к постоянной и складывается из вытесненной массы воздуха и части массы воздуха, вытесненного иэ области энтропийного следа. Полная масса воэдуха М, в ударной волне воэрастает пропорционально )17 )~ Х, избыточная масса остается конечной. Несмотра на то, что при 8 -~- оо полная движущаяся масса Мэ пропорциональна )17, поскольку полная избыточная кинетическая энергия Е„пропорциональна 1ау'г, величина полного избыточного импульса остается конечной, а сам импульс определяется соотношением (63.9) В заключение эаметим, что при истечении продуктов детонации в пустоту полный импульс определяется хорошо известной формулой 1' = Я23~„Е„, (63.10) где $ .= 0,82 (см.
э 25). Этот импульс равен также удвоенному количеству движения газа в детонационной волне, в чем легко убедиться, вычислив количество движения. 6 64. Истечение газа в трубу конечных размеров, заполненную воздухом Перейдем к рассмотрению закономерностей истечения ранее покоящегося газа из трубы конечных размеров в воздух. Длину трубы обозначим через 1„длину, кот л торую занимает гаэ,— череа 1. Начальное давление газа обозначим, как и прежде, через р„. Объем трубы между СЕЧЕНИЯМИ Х = ~э И Х = 1 ЭаПОЛНЕН ВОЭ- духом при нормальном атмосферном х л давлении р, (рис.
69). Пусть истечение гава начинается в Рве. 69. момент времени ~ = 0 в сечении х = О. Начальная стадия истечения ничем не будет отличаться от уже рассмотренной в э 58 для бесконечно длинной трубы. Движение гаэа на интервале — су1 ~( х ( (иу— 539 ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОБ — с )с будет описываться простой волной разрежения и — с = —; и = — (с„— с). х 2 (64.1) На интервале (и — с )с ( х ( и»у движение газа описывается стационарной волной и = и»' С = Су' Р = Р» = СОПЯ» (64.2) причем и = 2 (с„— с,)/(/с — 1).
На интервале и с ( х С-.Р»с будет двигаться стационарная ударная волна с параметрами р=р»; р=р,»; и=и»,'с=с„, (64.3) причем и;= — 1Р» 1 — —; » (64.4) где с, — начальная скорость звука в воздухе, Р» — скорость фронта ударной волны. Давление н плотность определяются хорошо известными соотношениями. Особый разрыв (граница раздела двух сред) движется по за- кону (64.5) х= и»г, В момент времени у = ~, = Л/Ру, где Л = 1, — /, фронт ударной волны доходит до открытого конца трубы; при этом начинается истечение воздуха, сжатого ударной волной, в невозмущенный атмосферный воздух. Очевидно, в этом случае в воздухе обраауется расходящаяся осесимметричная ударная волна. Однако эта волна нас не интересует, и мы не будем заниматься ее исследованием.
Вычислим лишь начальные параметры атой волны в момент ее образования с = у,. Для атой цели воспользуемся уравнени- ями 2 "»= ~(с» с»)+и» = тс»~1 ( ) ~ + "»= Рз =с, ( — ' — 1) ., (646) где й», с», ру — соответственно скорость звука и давление на фронте этой волны. Решая эти уравнения, определяем искомые параметры иу, ру, су.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
