К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 84
Текст из файла (страница 84)
540 РАспРОстРАнение нестАционАРных УдАРных Волн»гл. »х В том случае, когда с /с ( (у + 1)/2, по первой стационарной ударной волне при истечении воздуха, сжатого в ней, в невозмущенный атмосферный воздух пойдут две волны разрежения— простая и описываемая общим решением нестационарная; при этом на открытом конце будут выполняться условия р = р„ и ( с. Простая волна разрежения будет определена на интервале Л+ (и„— с ) (й — — 1 (х(Л+ (и„— с„) (» — — 1 .
(64.7) тl У» При этом для простой волны будут справедливы уравнения =и — с; (64.8) с —— Нестационарная волна разрежения будет определена на интер- вале Л вЂ” (и„— сг) (» — — ) (х(Л. Л ~ .»»т) (64.9) А) х, = ит»г = Л = (и — с„) (»,— Л 1 хд — — Л+ (ит — ст) (», — — ) + о,) (и — с„) (» — »,) = (64.10) з-с В том, что эта волна будет нестационарной, легко убедиться, поскольку на линии ее сопряжения с простой волной р ) р„ а на открытом конце р =- р,. В случае, когда с„/с ) (7 + 1)/2, возникает одна простая волна и на открытом конце устанавливается режим и =с, р)Р .
Простая волна описывается уравнениями (64.8). Интервал ее существования легко установить, поскольку закон движения ее левой границы тот же, что и в первом рассмотренном случае. Система волн, возника»ощая при отражении первой простой волны от стенки, и ее взаимодействие со стационарной волной разрежения, т. е.
вторая простая волна в газе, стационарная волна разрежения, идущая от стенки, и другие волны (рис. 70) ничем не будут отличаться от системы волн, возникающих в случае бесконечно длинной трубы, при условии, что сигнал, идущий от открытого конца трубы налево в начале истечения, пересекает стационарную волну (в газе) позже, чем отраженная от стенки волна разрежения. В противном случае система волн несколько изменится.
Предельная волна трубы Л, когда указанные фронты волн встречаются одновременно в выходном сечении этой трубы, определяется из соотношений: $647 истечение В тРуву конечных РАзмеРОВ 541 здесь е„ 8, — координата и момент встречи волны разрежения, идущей от открытого конца и особого разрыва. Указанное выше сходство волн будет иметь место до тех пор, пока сигнал в том, что труба ограничена (т. е. фронт волны разрежения, идущий сначала по ударной волне, а затем по газу), не пересечет фронта отраженной волны от стенки.
После этого система волн станет значительно сложнее, чем в случае бесконечно длинной трубы. Рас. 70. Точное рассмотрение атой системы и даже различных возможных комбинаций взаимодействия волн в общем виде, без вычислений, не имеет смысла. При громоздкости вычислений и рассуждений мы сможем выиграть лишь незначительно в точности достигаемых результатов. Необходимо искать разумные приближенные способы решения поставленной задачи. Предварительно выясним более подробно, чем мы это сделали в физическом описании процессов нестационарного движения газа, всевозможные условия, которые могут иметь место на открытом конце трубы. Наиболее общим случаем истечения газа является его истечение прн условии, что давление на фронте ударной волны при подходе ее к открытому концу больше критического, т. е.
ч-1 (64Л() 542 глспгостганвнив нкстхционлгных глазных волн ~гл. ~х При этом на открытом конце наблюдается такой режим истечения воздуха, сжатого ударной волной: р ) р„и = с. В общем случае нестационарной ударной волны скорость звука и скорость течения, вообще говоря, будут зависеть от времени: и = с = ~ (с), следовательно, и р = р (с). При этом возможны два случая. Случай 1. Давление падает со временем. Тогда возможно, что до подхода границы раздела (воздух — газ) к открытому концу наступит такой момент времени 1 = т, когда будет выполнено условие р = р,; далее, на открытом конца будет существовать режим и<с, р =р„.
Рн (~о) (64 12) В том случае, когда давление в исходном газе не было постоянным по длине к моменту начала его движения, необходимо заменить в выражении (64.12) р„через (64.13) Ри = Рн = (и 1) РнВ где р„и р„— средние начальные давление и плотность газа. Вариант б.
Волна сжатия не уменьшает скорости истечения воздуха до нуля ко времени прихода границы раздела к открытому концу. Эта волна переходит в газ и движется в нем. В тех случаях, когда энтропия газа больше, чем энтропия воздуха, сжатого ударной волной, скорость звука в газе выше, чем в воздухе, и при р = р, в газе, подошедшем к открытому концу, будет соблюдено'условие и ( с. В некоторый момент времени на При этом, поскольку давление будет продолжать падать со временем, то в момент времени т от открытого конца налево пойдет слабая волна сжатия, которую с достаточно большой точностью можно рассматривать как особую волну сжатия и пренебрегать изменением в ней возмущений. Эта волна сжатия, проходя по воздуху, сжатому первой ударной волной, будет повышть его давление и уменьшать скорость истечения.
Далее, в рассматриваемом случае возможны такие варианты. Вариант а. Волна сжатия остановит истечение воздуха, уже сжатого ударной волной до времени прихода границы раздела к открытому концу, после чего начнется частичный процесс втекания воздуха через открытый конец в трубу. На этом вопросе мы ниже остановимся отдельно. Такой случай возможен при малых начальных давлениях газа (р„) и больших объемных (длинах), заполненных инертным воздухом, т. е.
при больших Х = (з — 1. Приближенно можно считать, что это произойдет при ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОПЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ 543 и,=и + — с~(1 — ( — ') ). (64.14) открытом конце скорость истечения станет равной нулю: и = О, после чего начнется процесс втекания воздуха в трубу. Случаи, когда энтропия воздуха больше, чем у газа, возможны только при больших начальных давлениях и в данном варианте практически (за исключением надуманных или особых случаев) невозможны. Случай 2. Условие р ) р„и = с выполняется на открытом конце трубы все время, до тех пор, пока к нему не подойдет граница раздела газ — воздух.
Только в истекающем газе, когда по нему пойдет новая волна разрежения от открытого конца, давление на открытом конце падает до атмосферного. Тогда волна сжатия пойдет непосредственно по газу, тормозя его истечение. В некоторый момент времени на открытом конце будет выполнено условие и = О, после чего начнется втекание в трубу воздуха. Здесь, как мы только что установили, возможны тоже два принципиально разных варианта.
Вариант 1. Втекание происходит в трубу, из которой воздух, заполняющий часть ее объема, еще не был весь вытеснен. Вариант 2. Втекание происходит в трубу, заполненную только исходным газом. Для упрощения решения задачи об истечении газа и воздуха, выталкиваемого этим газом из трубы конечной длины, поступим следующим образом: пренебрежем частью волны разрежения, идущей по воздуху, начиная с момента ее прихода к границе раздела. Это пренебрежение не отразится на балансе энергии и массы, что является очевидным; оно лишь изменит (и то в очень незначительной степени) величину количества движения истекающих масс, поскольку несколько изменится распределение скорости по массе.
В такой же незначительной степени изменится продолжительность истечения. Пренебрежение частью волны равносильно тому, что мы как бы изменили скорость движения фронта волны разрежения (скорость звука) таким образом, что фронт движется влево по ударной волне со скоростью, равной скорости течения, т. е. таким образом, что в неподвижной системе координат фронт стоит неподвижно у отрытого конца.
В атом случае весьма просто подсчитать количество движения воздуха, сжатого в ударной волне при его истечении. Для этого необходимо лишь определить скорость истечения, которую мы вправе назвать усредненной эффективной скоростью (и,). Поскольку при сделанном упрощении истечение будет стационарным, то 544 Рлспгостглнвник нкстхционлгных Рдлэных волн ~гл.
~х Количество движения воздуха будет 7а шапа~ ша Ра)~~ (64.15) где та есть масса воздуха, заполнявшеготрубу(площадь сечения принята равной единице). В момент времени, когда граница раздела пойдет к открытому концу, начнется истечение сжатого газа (продуктов горения). При этом, как уже упоминалось, по газу пойдет справа налево интенсивная волна разрежения, которая не будет особой, поскольку плотность, давление, скорость звука и скорость течения в самом газе не постоянны, а зависят от х и г. Перейдем к определению количества движения или импульса. Сначала рассмотрим простейшую задачу, когда ~ = ~, т. е. когда в трубе нет участка с воздухом. При этом, учитывая расширение газа от давления рв до давления р„мы как раз и определим полный импульс (1,), поскольку дальнейшее падение давления импульса будет уменьшаться (если учесть протнводавление) на определенном интервале времени; далее, на другом интервале времени за счет втекания импульс будет опять воарастать и т.
д.; таким образом, величина импульса будет колебаться около аначения (1,). Очевидно, втекание не изменяет общего импульса, поскольку при этом действуют внутренние силы. При истечении газа или движении ударной волны в воздух некоторая масса воздуха получает количество движения, направленное по оси, что несколько увеличит общий импульс. Однако изменение импульса при относительно больших начальных р„не будет заметным. Точное определение прироста импульса весьма затруднительно. Величина Ра Ра Ра г Рв~ = — + ~ р )г — р.г.
=- — '+ ~ р~ — ~ г (р — р.~.. а св Рв Рв Рв (64Л6) Здесь площадь сечения Я принята за единицу, и при написании этой формулы мы учитывали противодавление р,; г, — момент времени, когда на стенке давление становится р = р,. При истечении газа в пустоту имеем о в Рн 1;, = — '+ ~ рвй = — '+ ~ р~ — ~ ~др = ~ ~йр. (64Л7) Рв Рв Рв а Иэ сравнения соотношений (64Л6) и (64Л7) имеем Ра а ~.=у,+ ( р~+ ~ гор — р.г., о Р~ нствчвнив в тгтвт комичных газмнгов 547 $641 новый рост давления при подходе волн к стенке (рис. 71).
Колебания давления около значения р = р, не будут гармоническнми даже приблизительно. Для вычисления импульса без учета инертного воздуха мы имеем два равноценных способа. Учет движения инертного воздуха с большой степенью точности может быть произведен согласно Ркс. 71. соотношению (64.28), которое мы теперь напишем в виде (64.30) Поскольку величина потерь энергии зависит от отношения т,/М, то можно приближенно считать, что 1+3 м 1+1 з т а~, ~„Х (64.31) где () — малая величина, зависящая от давления в ударной волне; для р /р, = 5, например, р = 1/4.
Для более слабых волн значение р еще меньше. Для оценки продолжительности истечения при изменении давления от р„дс давления р, мы имеем достаточно точные соотношения (64.24). Далее можно сделать вывод, что поскольку при переходе величины давления у стенки через аначение р к меньшим значениям нмпульс уменьшается, то где-то должно начаться обратное движение газа или воздуха. Если труба коротка (Ц~1(р,/р,)пз), при г = г начнется втекание воздуха череа открытый конец.
Продолжительность втекания будет порядка т, 1,/с„следовательно, полное время релаксации (время истечения и втекания) будет порядка т=э,+ч . (64.32) 548 РАспРОстРАнение нестАционАРных УдАРных Волн игл. 1х В случае весьма длинной трубы (со ) 1(р„/р,)по! раньше, чем начнется втекание через открытый конец, должно начаться при ~ = со обратное движение границы раздела между воздухом и газом, что увеличит время установления равновесного режима.
В заключение выясним возможность использования формул, которые определяют продолжительность истечения газа иа сосуда при гипотезе квазистационарного истечения. В рамках этой гипотезы рассмотрим предельный случай истечения гааа из сосуда через отверстие, площадь сечения которого Я, в пустоту. Очевидно, именно в атом случае истечения может быть наибольшим различие между определением времени по гипотезе квазистационарного истечения и точным его определением методами нестационарной газовой динамики. Пусть сосуд имеет цилиндрическую форму с площадью сечения Оо и длиной 1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
