К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 85
Текст из файла (страница 85)
рис. 69); тогда масса газа, его наполняющая, будет лои = ~оРаВ поскольку при истечении в пустоту в выводном отверстии истече- ние всегда будет критическим, то для этого сечения имеем / 2 ко=со= ~à — с, а+1 (64.34) ло = лои ~~роиосм; о и 1 далее,р/р„= т/ти,приэтомтакже ро/р = (со/с)" 1 = (2/(й+ 4))" ' поэтому 1+1, ЬО1 ло = лои — Я(„~ ) Р„с„~ ( — ) с(ж, о откуда си1 1+1 1+1 ( 2 ) ~ ~ ( ™ ) 2сис (64 65) о где с — местная переменная скорость звука в сосуде. Мы будем, как это делают при гипотезе квазистационарного истечения, считать, что скорость газа в сосуде везде, за исключением выходного сечения (и области, к нему прилегающей), равна нулю,'а скорость и давление при различных х одинаковы для данного момента времени и меняются только со временем; текущая масса газа в сосуде равна 549 ИСТЕЧЕГ)ИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Дифференцируя выражение (64.35) по т = с (Д, приходим к урав- нению т+1 1+1 (64.36) где р = т/т„; интегрируя уравнение (64.36) при условии р = 1, т = О, приходим к соотношению, определяющему зависимость )1 от т: р = ~1 +, („) — т1 .
(64.37) — "='=Ф -' ( — "") ~(Ф) -']. В случае Я = Я«, т. е. в случае истечения из трубы, 1+1 1-1 — =т= — ( — ) [( — ) — 1~ . (64.38) (64.39) Последний результат мы сможем сравнить с результатом точной теории, считая, что газ истекает из сосуда сечения 8, = Я в пустую трубу такого же диаметра. При истечении в пустое пространство время истечения будет на несколько процентов (до 5%) меньше, что для нас несущественно. Точная теория для этого случая, как мы видели, приводит к соотношению ««+1 — = т = —,У, (2(г а))) (За)( / Р 11««з ( — ) .
(64.40) Ззз ((г — а)(а))«(, р / «=о Проведем конкретные сравнения соотношений (64.39) и (64.40) для г = 2, /г = 7/5; тогда эти соотношения принимают соответственно вид 1 ~(Рн)' 1~ з(з (64.41) 1 э з ~3(~ )' +2( )" +3( ") Д. (64.42) Далее, поскольку р = р/ра = (р/ра)111, определяем зависимость р от т или т от р, что для нас удобнее, когда мы будем сравнивать эти результаты с результатом точной теории; таким образом, придем к соотношению 550 рлспрострлнкник квстлционлрных глазных волн 1гл.
зх Приведем результаты вычислений по этим формулам для случаев р„/р = 1, 2, 5, 10, 50; следующая таблица дает эти результаты, причем в первой строчке даны значения р„/р, во второй — аначение т для квазистационарной теории, в третьей — значение т для точной теории. 2 1 1,4 16 3,4 3,3 30 8 13,8 3 2,16 2,16 р„/р прибл иочп Как мы видим, прн отношениях р /р, близких к единице и весьма больших, расхождение в определении т получается значительным; при 20) р„/р ) 2 это расхождение уже невелико и не имеет практического значения, В случаях, когда Яи ) Я, реаультаты теории квазистациокарного истечения с большой точностью приближаются к результатам точной теории, поскольку становится больше отношение полной массы газа, занимающей сосуд, к массе, истекающей за единнцу времени. Если искать зависимость истекающей массы газа как функцию времени, пользуясь точными и квазистационарными методами, то легко убедиться, что и при малых перепадах давления (когда р /р,Р 1) разница между этими методами будет незначительна.
или Отсюда можно сделать вывод, что в подавляющем большинстве случаев при не очень больших перепадах давления квазистационарные методы могут при определении времени истечения привести нас к желаемому результату; однако до последнего времени в этом еще не было полной уверенности, поскольку тарировка кваэистационарных методов точными методами газовой динамики была сделана лишь в самое последнее время.
ГЛАВА Х ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА з 65. Некоторые неустановившнеся плоские и пространственные течения газа ди ди — +и— д1 дх + э — +с' ду дх + э — +с ду д1п р ди э — +— ду дх д!и р — =О дх ди дх д~ дх — + и— д1р д1п р — +и + дг дх д 1п Р ду дх + — = О. ду (65 1) Рассматривая потенциальные течения, когда дф дф и= —, э= —, эх ' ду (65.2) где ф = ф (С х, у, г) — потенциальная функция течения, и исходя из первых двух уравнений системы (65.1), придем к уравнению Бернулли — ';+ — ', +1=О, (65. 3) где д = )/ их+ э', 1 = ~ — = ~ сЧ 1п р.
й Р В настоящей главе мы рассмотрим некоторые типы пространственных неустановившихся изэнтропических течений газа и, в частности, неодномерных плоск их течений. Мы начнем с рассмотренна плоских течений. Затем рассмотрим движения, обладающие симметрией; здесь мы рассмотрим задачу о распространении цилиндрических исферическнх волн. После этогобудет изложенатеорияточечного взрыва, рассмотреныцилиндрические и сферические волны в акустическом приблия енин и приближенные методы интегрирования уравнений для цилиндрических и сферических волн.
В заключение рассмотрим задачу о разлете продуктов мгновенной и реальной детонации в воздух. Переходим к рассмотрению неодномерных плоских течений газа. Основные уравнения этих течений имеют вид (2 14), при этом члены с градиентом давления взяты в одной из форм (2.17); уравнение неразрывности напишем в форме (2,19) при ш = О: 552 пгостРАнственнык движе ния РАВА 1гл, х дс (д + ) + и д (дс + 2 с+ и д (а + 2) где в случаезаконар = Ар ' с' = (й — 1) с = — (й — 1) ~ —,.+ — ) .
а с !д~р ус 1 1, дс Однако искать решение етого уравнения бесполезно, в виду его сложности. Рассмотрим класс автомодельных движений, полагая г и — =г с (65.5) Подобные течения могут встретиться в различных аадачах истече- ния газа или при обтекании некоторых поверхностей. При атом уравнения системы (65Л) принимают вид — (и — г,) + — (и — гг) + с — = О, ди ди гд1пр дсс дсг дгс ди ди с д 1п р — (и — г,) + — (и — гг) + с' — = О, дсс дгг дгс д1пр д1пр ди дс — (и — г„) + — (и — гг) + — + — = О. (д:, дм дсс дсг Полагая р = сср, запишем (65.3) в виде дд чг дф дф сдс с — + ср + —, + с = О или — г + — гг = ср+ —, + с.
дс 2 д., ' д., = 2 (65.6) (65.с) Условия потенциальности течения (65.2) примут вид дФ дс,' дсг' (65.8) Поэтому равенство (65.7) можно писать в виде дг иг, +ргг= ср+ —,+с. 2 (65.9) Последнее уравнение системы (65.6) напишем в виде дс дс д (и г")+ д (о г')+~ (д +д — ) = О (65ЛО) г I ди ди 1 или, поскольку Ж = И (иг, + игг) — (с(с(с + и с(и + и с(и) и принимая во внимание (65.8), получим с(1 = с(и (гс — и) + с)и (г, — и). (65Л() Отсюда легко определить р = р (~р), что даст возможность пред- ставить третье уравнение системы (65Л) в виде $66) некОтОРые неустАновившиеся течения ГА3А 553 Представим теперь (65.10) в виде ди 6 6 [дс д., — [(и — гд) — с [ + ( — — — «(и — г )(Р— 66) + 'дсс дсс с + — [(Р— гз)' — с'[ = 0 (65Л2) (при этом надо иметь в виду, что дз/дгг = ди/дхс).
Обратим зависимые и независимые переменные, а именно, будем считать, что зн 66 суть функции и, гб тогда (65Л2) примет вид дсс гдсс дс1 ) д [(и 61) с [ (д + д ~(п 66)(Р 66)+ + д [(Р— 66)6 — с'[ = О. (65.13) Условия потенциальности (65.8) запишутся в виде д'т дт' г1= д 66= ди ' дс (65Л4) где ф .= ф(п, Р). Уравнение(65.11) теперь перейдет ай = йР— —, Ф откуда (++=1 (65Л5) Таким образом, уравнение (65ЛЗ) сведется к уравнению причем для закона р = Ар» с' = (76 — 1) ~ ф — Я .
с(с и — 61 (65Л8) Мы пришли к квазилинейному уравнению второго порядка относительно функции ф. Напишем уравнения характеристик в плоскости (и, Р) (в плоскости годографа) для данного уравнения: дс — (и — 61) (с — сс) * с У(и — 61)с+ (с — сс)с — сс с(и с р с (65.17) При с = 0 характеристики переходят в уравнение траектории или, для переменных г„г„— в линии тока; уравнение этих линий в плоскости (и, Р) имеет внд 554 НРостРАнстВенные дВижения ГА3А Это уравнение легко получить из (65.11), полагая в нем г=О, с((=0. (гл.
х Напишем общее уравнение траекторий иг с)с с(! = — =— и з (65.19) В рассматриваемом случае (65.5) сх(— г с(с+ Хс)хз гвс(С+ сз)г откуда следует, что = — = зх)пг. и — гг с — гв Уравнение гг (65.21) '3= Тогда в независимых переменных г„г„с придем к уравнениям: (и — г,) ' + (е — г,) — + (иг — г,) д (и, хв) ди д(гв, и) д (гг, с) дс д(с, гз) , д <~а Р) д., — с — — = — О, х)с дгг д (с, х,) дс д (гв, с) (и — г,) ' +(Р— г,) — + (иг — гз) — ' + д(гь с) дс д(с, гв) — 0 +с (и — г ) ' + (Р— в) — + (ш — гв) д(и, гв) ди д(гв, и) д (гз, с) дс д (с, гв) в с(()в Р) дхз — с — — =О, з(с дгв дгв дгв — (и — г ) — + (Р— гв) — (иг — гв) — + дхг дгз с(с (д(и, гв) дс д(гв, иЦ + д()вр) ( д(гг, с) дс д(с, гз)) (65.22) (65.20) и является уравнением линии тока в плоскости (гы г,) (зто уравнение не тождественно уравнению (65.18)).
Нахождение общего решения (65.16) невозможно, хотя зто уравнение проще уравнения (65.4). Попытаемся найти какое-либо частное решение основной системы уравнений для автомодельных движений. Рассмотривв прежде всего пространственные автомодельные течения газа, а затем, как частный случай,— плоские. Пусть и, щ и с зависят от хз = з,1г (с) + зз1з (с) + 1з (с) (65.23) придем к системе уравнений: (65.24) Г+11 ~ — ~ +1с ~ =О, г с1!пр с11пр с с1!пр где Р = и1, -(-го1з -1-1с — ш После несложных преобразований легко прийти к уравнениям: 1г сс1 1п р " у'1+а+а' сгс1 1п р сЬ =— гсГсгР~1 ' 1ссс 1п р )/ 1 1 1з Р 12 (65.25) (65.26) (65.27) г, = .
— г,г, г. г,г ~ . У г .г. г*, .~. г,', Из уравнений (65.25), (65.26), (65.27) можно получить соотношение (с(и)' + (сЬ)' -(- (Йи)с = (сс( 1п р)', (65.29) которое является соотношением вдоль характеристик и в данном случае выполняется во всей области найденного решения; зто решение можно назвать особым. Итак, мы пришли к решению с двумя произвольными функциями 1, (с), 1с (с), задавая на двух каких-либо поверхностях условия: зс = йс (зм зс), и = и (с), и = о (с), иг = ю (с). (65.30) Можно определить эти функции. Если 1, = О, то и = х1, (с) + з1с (с), (65.31) и мы придем к обобщенному решению Буземана для стационарного обтекания линейчатых или конических поверхностей.
Следовательно, нестационарные течения при 1, = 0 не существуют. Если рассматривать плоские течения, то необходимо положить 1з (с) ж 0; тогда 1, = и — и1,~сР1 +1п (65.32) 1 Вс1 нккоторык нвтстановившився ткчкния гаев 555 Пусть и = и (с), и = о (с), иг = го (с); полагая, что 556 НРостРАнстВенные дВижения ГАЭА Задавая на какой-либо линии условия: г = хд (гд), и = й (с), Р = и (с), мы легко определим произвольную функцию (гл. х (65.33) ~д (с) (сд — и) (дд — и)+ у (сд — и)'+(дд — и)д — сд сс сд — (6:34) (сд — и)д — сс Рассмотрим важный частный случай, когда г,— йенс=О; (65.35) тогда г — и = ~ с/д -! сд' д + у~д, (65.36) откуда сд — (сс — и)' Уд (-) = 2с (сд — и) (65.37) гд и (сд — (сд — ид)! (сд — и) ~ с! М + (сс — и)д] (05.о8) 2с (сд — и) Далее, определяем при условиях с = а„и = ад; и = аз и =+~с (' и) сд(]пр, и = ] ~ 2с(д' и) сй]пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
