К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 80
Текст из файла (страница 80)
По мере падения давления в ударной волне предельное значение плотности и температуры приближается к их начальным значениям. Очевидно, величина вытесненной массы складывается из массы, непосредственно вытесненной продуктами детонации и занимавшей ранее объем ч — ч„, а также из массы воздуха, вытесненного вследствие необратимости ударного процесса, т. е. вытесненной из области так нааываемого энтропийного следа. Под энтропийным следом мы понимаем область успокоенного (при ( -~ оо) воздуха, ранее сжатого и поэтому нагретого ударной волной.
Вся зта масса в начальном положении имела энергию Е а а со э т †( (60.3) где ч, — объем от начала координат до начала ударной волны. В пределе (при (-э- оо) баланс энергии может быть написан в виде (60.4) ЛЕ, = Е, + ń— Е При расширении продуктов детонации и движении ударной волны, воаникающей при этом, свободная энергия воздуха уменьшается, а энтропия соответственно возрастает, однако величина полной энергии, перешедшей в ударную волну, как мы видели, сравнима с начальной энергией взрыва (отличается от нее лишь немногими процентами); это объясняется тем, что пронсходит определенное перераспределение энергии в самом воздухе, вытесняемом продуктами детонации. Энергия ударно-сжатого воздуха, находящегося вблизи от заряда, описывается известным соотношением: Руэ + Ра Руиэун Ра 1 Еау Е» =, (уэ ууа) = (60 1) При расширении этих порций воздуха до атмосферного давления плотность его р,„р становится меньше, чем начальная плотность невозмущенного воздуха, а температура соответственно выше, чем Т„что описывается формулами 1 512 РАснростРАненпВ нестАцнонАРных удАРных ВОлн (гл, ух где ГАК, — та часть энергии, которая пошла на создание внутренней энергии воздуха, находящегося в области энтропийного следа.
Очевидно, величина плотности этой энергии определяется соотношением ун ~а (,, ) ун н а апр+ а (605) еа 2 а уун т — 1 Будем считать, что изменение давления на фронте ударной волны в среднем подчиняется закону (60.6) где и — постоянная, подлежащая определению, р „— начальное давление на фронте ударной волны. Тогда изменение плотности на фронте ударной волны должно подчиняться закону ! ( Ра — ~ (т — 1) Рун О+ 2ТР, -'-(-. — " (60.7) Изменение плотности при расширении воздуха до атмосферного давления выразится соотношением /(;а Рап (т+ )Руно( х ) + ТРа Ра ' х уа (Т вЂ” 1) Р „( — ~ +2ТР Наконец, изменение температуры при этом должно происходить по закону !(Т (Т 1) Рунр ~ ) + 2ТРа пр ~ х у ~ухо(' ) (609) (Т+1) Руна ~ ) +2ТРа хпр х ар Мо = ЛМ = ~ Лрдх = ~ (ра рапр)НХ о С другой стороны, М, = ЬМ = М, — р, (у — та).
(60. И) Отсюда следует, что величина массы, вытесненной из области эн- тропийного следа, равна Сравнивая (60ЛО) и (60.11), определяем свяаь между х„р и а. Величина энергии, задержавшейся в энтропийном следе, т. е. величина потерянной свободной энергии, должна определяться выражением Хпр "пр = 1 "'"'=' 1,7+'1 Ы'"1="'-"'1= =Еа= ' "и . (60Л2) Сравнивая соответствующие величины потерянной свободной энергии и вытесненной массы с определенными выше (59.14), (59Л5), можно определить константу и в уравнении (60.6) и величину хп: 1 2а — 1 ра ~(т-1)а(+1)(2п — 1) ( . ) 2 -1 . 1= 0ра Рп УР 27 Р„ где ра — начальная плотность взрывчатого вещества, р„— сред- нее давление детонации. Отсюда и = 0,8; х рц = 150.
Таким об- разом, закон изменения давления с расстоянием в числах может быть написан в виде Руа Р (1)ЬЗ (60Л 3) Закон изменения скорости ударной волны с расстоянием может быть написан в виде У)а = са + Т.+1 РУ„Ра са + 7+1 РУ„а — Р ~ ) ' (9) 14) у = са — са Ра Ра Интересно отметить здесь, что закон распределения плотности в антропийном следе при 1 -~ со является следствием закона изменения давления на фронте ударной волны. На рис. 67 даны законы распределения плотности в энтропийном следе и давление на фронте ударной волны. Выпишем снова последнее уравнение, не предрешая пока вопроса о величине показателя степени при х: 1)' = ( — ") = с,'-)- "+ у" " ( — ) . (60.15) 1 э01 пРОмежУтОчнАЯ стАДиЯ ДВижениЯ УДАРБОЙ ВОлны 513 514 РАспРОстРАнение нестАционАРных удАРных ВОлн игл.
1х Решая это уравнение, можно найти зависимость между х и г'. Рассматривая уравнение (60.6) и выражая х через /, мы придем к зависимости между р а и 1. Эта зависимость характеризует изменение давления на фронте ударной волны со временем на всем интервале распространения ударной волны — от места взрыва цо любого заданного момента времени сс. При показателе степени а= 1,3, грубо говоря, р пропорционально / '. Вблизи от места взрыва зависимость давления от времени будет более сильной, а на больших ~Р % расстояниях от места взрыва для слабой ударной волны эта зависимость будет более слабой, чем усредненная. Зная для какого-либо боль,с ' шого промежутка времени, протекшего с начала взрыва 8ю значение рр„, мы, исходя из связи между х и г, Рвс.
67. определим величину хю соответствующую данному моменту времени г . При больших ~ю пренебрегая значением)с (см. (56.9)), мы сразу определяем х,. Тем самым мы полностью решаем поставленную задачу о движении фронта ударной волны. Перейдем к рассмотрению закономерностей цзин<ения границы раздела между продуктами детонации и ударной волной. Прежде всего отметим, что в случае детонации конденсированных взрывчатых веществ при падении давления в продуктах детонации ниже 1000 ег/слс' показатель изэнтропы, характеризующий их состояние, резко уменьшится с 3 до 7/5.
Для простоты дальнейшего решения, мы будем начальные параметры ударной волны и параметры на границе раздела вычислять, принимая значение /с равным 3; далее, когда давление на границе раздела начнет падать, а именно, после того как волна разрежения, отраженная от стенки, дойдет до границы раздела, мы везде в продуктах детонации будем принимать показатель изэнтропы равным 7/5 или 5/4. Те неточности, которые будут проистекать от пренебрежения реальным законом изменения показателя иззнтропы, постепенно ликвидируются по мере разрежения продуктов детонации. Для того чтобы изучить движение границы раздела, мы должны, если решать задачу точно, как уже указывалось выше, сопрягать волны, распространяющиеся в продуктах детонации и в ударной волне на этой границе, используя то обстоятельство, что слева и справа от нее давление и скорости одинаковы, и при этом полагать, что точное решение задачи благодаря сложности аналитического описания этих волн практически невозможно.
Вследствие этого займемся приближенным аналитическим описанием движе- 6 66] ПРОМЕЖУТОЧНАЯ СТАДИЯ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 515 ния границы раздела. Для этой цели воспользуемся закономсо- храиения импульса, который мы напишем в следующем виде: и (ми,) ,ц = Рт Ра. (60Л6) Здесь как бы рассматривается задача о движении переменной массы воздуха М, распространяющегося в зоне ударной волны под влиянием переменной силы давления продуктов детонации (площадь сечения здесь, как и раньше, принята равной единице).
Будем считать, что после того, как отраженная от стенки волна достигла границы раздела, в зоне продуктов детонации давление в среднем мало зависит от координаты х и меняется лишь со временем. Положим, что закон изменения давления со временем, как это мы делали и раньше (1 21), может быть написан в виде (60.1» Здесь р „66 — давление и момент времени прихода к границе раздела волны разрежения, отраженной от стенки. Величина р„, равна начальному давлению на границе раздела.
При такой аппроксимации уравнение (60Л6) непосредственно интегрируется: Миг = Мэиэ+ ~' 1 ~1 — ~ — '~ 1 — р,(г — гэ). (60.18) х м ~ и ИМЫх (60Л9) Хт 6 Миг= "Х Х т где и = и (х), М = М (х), Х вЂ” координата фронта ударной волны, Х„ — координата границы раздела.
Для простоты, не слишком теряя в точности, можно положить Ми = аэМИУ, Здесь иэ н М, — скорость на границе раздела и масса воздуха в ударной волне в момент прихода отраженной волны. Очевидно, величина иа равна начальной скорости границы раздела. До сих пор веаде в ударной волне плотность и скорость были постоянны, после же прихода отраженной от стенки волны к границе раздела, по мере приближения ее фронта к фронту ударной волны, плотность и скорость различных частей ударной волны будут различны, и поэтому мы под величиной Ми должны понимать ее среднее значение на всем интервале ударной волны: 516 гаспгостгхнвпив нкстхционхгпых удАгпых волн игл. 1х М = ~ рйх = р, ~ ах = р,Х (60.21) может быть приближенно выражена в виде М =,р.Х, (60.22) (начало координат здесь мы выбираем у стенки).
Входящий в зто выражение коэффициент а аз = (60.23) будет зависеть от длины ударной волны; грубо зтот коэффициент мон<но положить постоянным; величина его растет при Хт ~~ Х, где Хз — координата границы раздела в момент времени 1 прихода отраженной от стенки волны разрежения. Вблизи от места взрыва а, = Р (ит = (1' .4- 1)I2. При аппроксимации (60.22) уравнение (60.16) может быть проинтегрировано." р а,а, Р и (хг — х,) = М,и (1 — 1~) + ~ (~ — 1~)— где М, = (у + 1) р,хз/2. После того как отраженная волна раврежения достигнет границы раздела, давления продуктов детонации можно аппроксимировать, исходя из классического термодинамического закона рас- ширения (60.25) Величину покавателя степени пока мы не будем укавывать, заметив только, что она должна быть близка к величине показателя при атом величина козффициента а, будет зависеть, во-первых, от распределения скорости в зоне ударной волны и, во-вторых, от закона распределения элементарных масс в ударной волне по скоростям; первое обстоятельство будет способствовать увеличению коэффициента а, по мере приближения к фронту ударной волны, делая его больше единицы, а второе обстоятельство, напротив, способствует уменьшению а„стремясь сделать его меньше единицы; в общем, величина а„по-видимому, будет не слишком превышать единицу.
Вблизи от места взрыва а, = 1. Будем теперь также полагать, что масса воздуха, движущегося в ударной волне, увв1 пгомвжуточная стадия движкния ударнон волны 517 изэнтропы 7. Аппроксимируя массу воздуха в ударной волне по- прежнему соотношением (60.20), мы сможем уравнение сохранения импульса (60 16) написать в виде Н Рув I ав ~и Ра и„— (ууиу) = — ( — ) аа ававрв (, *,) ававрв Это уравнение непосредственно интегрируется: ав ив ВХв ' + ' ' " )'-1. (60.27) , н. р х +2 — Н,(Х ~ О Константа В определяется из условия, что при Ху = Хв (60.28) Иу = Ив, Окончательно уравнение (60.27) принимает вид Хв (60.29) Проанализируем теперь уравнения (60.28) и (60.29), дающие закономерности движения границы раздела: анализ начнем с уравнения (60.18).
Прежде всего выясним, на каком расстоянии скорость движения границы раздела может стать равной нулю. (Здесь следует заметить, что значения ав и ав при и'„и и, 'должны быть, вообще говоря, различны.) При и = 0 из уравнения (60 18) мы будем иметь Отсюда, пренебрегая малыми членами, будем иметь в Медов + рув Т + 1 а Хв Рув (60 80) Н ров а~ †2 р и ' Н, †1 ' Это соотношение определяет момент времени, для которого скорость границы раздела становится равной нулю. Уравнение (60.29) при и = 0 дает «ввавРаав 2 Рув Г Ху * 1 Ау + 1~= — -1 р 2 — Нв Р ~ Хв-" ~ Хв 518 гйспгостгйнкник нкстхционйгных главных волн гл. ~х Пренебрегая в этом уравнении малыми членами, будем иметь (60.31) Это уравнение определяет значение координаты максимального расширения продуктов детонации.
Заметим, что скорость движения границы раздела постепенно падает от значения и до нуля. На окончательном результате незнание точного значения величин аг и а, практически не сказывается. Очевидно, величина области, занимаемой продуктами взрыва, когда в них всюду и нн О, определяется соотношением (60.32) х, Таким образом, отношение — ** равно Х 1 гиах ( Йа ) й» (60.33) При этом величина максимального разрежения определяется как ~~а з — йя в (60.34) а величина амплитуды колебаний остаточной энергии определяется из соотношения ЛЕ й 1 Ьр й 1 Рв Рв й 1 йз 1 0о ра ра что при й, = я = 7/5 дает Х Умах Х, — ' =0,45; рз — =0,1о = —, На основании проделанных вычислений мы видим, что соответствующие данные, принятые нами выше ((59.31)), достаточно справедливы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
