К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В. Истечение продуктов мгновенной детонации в воздух При истечении продуктов мгновенной детонации в воздух величина и„= О, и поэтому основные уравнения будут иметь вид 2( — — 1) Э рх т [(т+1) — + (т — 1)~ Рк (56.25) где са = ЗР»/8, р„= р,/2 = р»Р'/2 (/с + 1) — некоторые средние скорости звука и давление в продуктах взрыва.
В случае сильной ударной волны уравнения бдут иметь такой вид: » — 1 Приведем результаты вычисления начальных параметров ударной волны для некоторых гааовых смесей и конденсированных веществ. 482 РАспРОстРАнение нестАционАРных удАРных ВОлн [Гл. 1х Для газовых смесей будем иметь (при /с .= 7/5) 0,5 1,О з,о 15 Ру'Ра ну~на ну~на Русна йсн уин нудсн нуйсн ну|3„ Рус на 1,02 0,27 1,04 0,45 1,14 0,95 1,28 1,27 0,26 0,43 0,91 1,21 1,ОЗ 1,'О6 1,22 1,44 1,О1 1,'ОЗ 1,'1 1,2 0,25 0,42 0,87 1,14 0,27 0,44 0,97 1,31 1,05 1,09 1,'З 1,6 0,24 0,40 О,'82 1;06 1,06 1,12 1,43 1,88 1,5 2,0 5,0 1О,*О Для конденсированных взрывчатых веществ, например для тротила, полагая ро = 1,6 г/емо, се = 1 кал/г, й = 3, будем иметь —" = 10', — У = 600, =" = 0,8, сн аа 500 и/еек.
Ра Ра н В случае учета неидеальности продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ необходимо воспользоваться уравнением у — 1 ну 2 (1 'в) 2 3~1 (Ру) ] с а сн (56.27) где ед и ро — скорость звука и давление в точке сопряясения. Приведем соответствующие расчеты в случае мгновенной детонации для стандартного конденсированного взрывчатого вещества тротила. Полагая /1=3 при р ) ро и /5=7/5 при р< ро, будем иметь: Рн/Ра=10 с РА/Ра =1700; и„=3600 и/сек; иу — — 4000 м/еек.
При истечении в пустоту и,„= 9500 м/еек. Анализ вычислений, сделанных нами для случаев мгновенной и реальной детонации, показывает, что начальные параметры ударной волны при мгновенной детонации несколько ниже, чем при реальной детонации. Г. Истечение продуктов детонации в плотную среду При истечении продуктов детонации в какую-либо плотную среду, например в воду или иную жидкость, возможны два случая: а) в среде и в продуктах детонации распространяются ударные волны; б) в среде распространяется ударная волна, а в продуктах детонации — волна разрежения.
Составим сначала систему $ 561 нАчАльные пАРАметРы удАРнОЙ Волны 483 уравнений, необходимую для вычисления начальных параметров. В первом случае: прежде всего и„ вЂ” и, = и, что равносильно соотношению Р (Ра — Р,) (Уа — Уз) — ) (Ру — Р„)(»а — У,у) = иу = Р'(Ру — Р~) (Уч — Узу). (56.28) ("+У) Р„+(й — 1) р (" — У) Р„+ (й+ 1) Р (56.29) У+Ря Еу Еа — (У вЂ” У ). 2 Во втором случае необходимо воспользоваться следующей системой уравнений: У вЂ” 1 Зй — 1 2й (РУ~ Уз У йу у ).) йу 1 ( р" ) )'г(Ру Ра) (Уа Узу) ° и (56.30) В реальных условиях энтропия в плотной среде при прохождении через нее ударной волны, как мы знаем, почти не меняется.
Поскольку это обстоятельство имеет место и для продуктов детонации, то, используя для произвольной среды иазнтропический закон, связывающий Р и ч в виде р„= Ар, (( — ') — $~, (56.31) и уравнение изэнтропы для продуктов детонации вида ру = = р„ ((у„/ч,у) ), придем к системе уравнений, справедливой для обоих случаев а) и б) и пригодной для решения реальных задач: й — 1 2Й (Ру) ы ау зй — ~ или, пренебрегая для сильной ударной волны единицей по сравне- нию с величиной Р /Р„получаем Далее имеем У йР (й+1) р„— р й — 1 —,Г в — У (56.33) 1 57) ОСНОВНЫЕ уРАВНЕНИя дЛя ПЛОСКОЙ удАРНОЙ ВОЛНЫ 485 э 57. Основные уравнения и граничные условия для плоской ударной волны Система основных уравнений газовой динамики, описывающая распространение плоской ударной волны в форме Эйлера, имеет вид (2А4) при п = О ди ди 1 др — +и — + —— дс ду р дх др др ди — +и — +р— дс дх дх дй дй — + д — — О; О=О(О); О =О; (57 А) р ри (57.4) Система уравнений в форме Лагранжа соответственно имеет вид (3.22), (3.23) и + Р =О; Ь= Ь(З); и = — ~; р =О(Ь)у-1.
(57.2) Принципиально известно, что решение системы трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка должно содержать трн какие-либо произвольные функции. Однако до настоящего времени не удалось найти точных решений указанных систем уравнений для ударной волны, распространяющейся в идеальном или политропическом газе.
Можно попытаться найти решения, которые все же имеют смысл общих, а также особые решения для определенного уравнения состояния нли вернее для определенного процесса распространения ударной волны. При этом решения пригодны для изучения движения неоднородной среды. Уравнение состояния или процесса мы напишем в виде 1 9/С вЂ” 1 ч — О(Ь)=ЬАР 1 (Ь+Ь) 1 (57.3) где о (Ь) — некоторая произвольная функция, играющая роль переменного коволюма, введенная для общности, А = А (Ь); Ье— константа. Прн этом уравнения (57.2) перепишутся таким образом: 1Ч1 зи-1 д + д> — — О; ди+ 41р ~ (Ь+Ьэ) ~ д, — — О.
1 Вводя новую независимую переменную т = —, новую завил+а симую переменную г = рт и исключая нз уравнений скорость и, можно прийти к такому уравнению: 1+1 д,— — А'д (э (57.5) Это уравнение при постоянном А по форме в точности напоминает уравнение для нзэнтропических точений, если Вместо: н т 486 РАспРОстРАнение нестАциОнАРных УДАРных Волн (гл 1х подставить р и с, и легко поддается интегрированию. Его мошно представить в виде двух уравнений: 1--1 дш да дш а — — да — — — = Ааг дс дт ' дт дс (57.6) где ш = ш (с; т) — новая выведенная функция. Обратив зависимые и независимые переменные, мы придем к уравнениям а+1 д д ' д д (57.7) Если принять, что А = сопзс, и ввести новую переменную О, оп- ределяемую соотношением =Г" '"1"' (57.8) то, исключая т, придем к простому уравнению (16.15) типа уравнения Дарбу д'с дас Са + $ дс дш' два + (Сс — 1) О до ' решение которого при й =, где п = — 1, О, 1, 2, 3, ..., ао, 2а+ 3 2п+ с как известно, есть да+1 с + (Ра(0+ ш) + Ра(0 — ш)], (57АО) или, аналогично решению (15.33): до ф (ф~ со ( ш) ( фа(ф дш" )с а (57.11) где 6а ( Х~.4 )а 1 (57.12) Определим теперь вс так как дс дт (й+й,) — ',, =-(й+й,) —,'"„, Ааг то ссш = и с(с + (й + Ьо) ~ —, ссс + — „с) й1 1 дш дш — сас +— оч дт д (рт) дт — Р С'+1 — да 1.
дс 1+1 с(т= да с(С+Ааг а да с(т; да ' ' дс ( + о) дь =Р+ (й+ о) дс $ 17) ОснОВные УРАВнениЯ длЯ плоской УдАРнОЙ ВОлны 487 откуда 1)а1 = рс)1 + (Ь + Ь~) Аи. (57.13) Найдем теперь особые решения уравнения (57.5). Полагая д(м;1) = О, из уравнений (57.6) найдем д(1; т) (57Л4) = ~6+ Далее, придем к уравнению д1 дЭ вЂ” —,, д1 З-~-1 — ' = .+ — = .+ А г дт — дс д1 (57Л5) решение которого очевидно: Р+~ Ат = -+г "' 1+ г'(г). (57Л6) Возвращаясь к старым основным переменным, получим 1 — 1 ( =+(, ") ) " — + Ф1( „+ ). (57Л7) Уравнение ди/д( + др/дЬ =- 0 в независимых переменных (р, Ь) имеет вид ди/др =- д1/дЬ. Отсюда и из (57.17) следует, что "=.+(А+А,) ' ААи, +Фз(,а„"А,~ ° (5718) причем 1)Ф1/с)з = — гг)Ф1/1)г, где г = р/ (Ь + Ь,).
Уравнение ае1 11 — 1 4р 1 (Ь[Ь) 1 в независимых переменных (р, Ь) имеет вид ( — "'- —" — "= ' й+1 11-1 ~~) ~~ 1 Азр 1 (Ь [Ь) 1 да др дй (57Л9) [ч — с (Ь))1 ~( + Ао где Ае = (/1А1)~Ье~' '; при Ье — 1- оо и о = и (Ь) зто уравнение Легко убедиться в том, что особые решения (57.17) и (57.18) ему тождественно удовлетворяют. Для более простого использования найденных решений полезно сделать некоторые преобразования.
Прежде всего уравнение состояния (57.3) напишем в виде 4о8 элспэостконеник нкстлционйэных удлэных волн (гл. 1х переходит в обычное уравнение изэнтропы. Далее, особые реше- ния напишем в виде 2 — 1 1 А2ИЦ 2+1 Уй йо 1 22-1 ,1 22 2-1 й 22 — ('4+ — „) " +0.( йо . (57.20) (57.21) и = -'— ЫФ2 2 ИФ1 Р причем — = — — — где теперь г = о й И й Пусть 1+— йо — '1о 1Р1(г) = + ' г " + Р1(г), у'й где Г1 (г) — новая произвольная функция.
При этом 1+1 1 — + „+ Р,, (57.22) й+1 й 2-1 2) йА,22 1+ ~ й — 1 1+ й 1+ й 1+ 1 2й А,о' о й — 1 ~гй 2 — 1 1 2-1 Ьо 1 = — А22Ьор ' =Ьо— И й — 1 о о о й — 1 1+ — 1 "о (57.24) 1 = †„„ „ ~/1~й 1 а + и) + /, ( †„ с — иЛ . (57.25) Как видим, мы нашли решение, зависящее от двух произвольных функций и двух констант. Общее решение задачи должно со- (57. 23) причем по-прежнему 1У~21г = — (г/Ь,) 12Р1/2(г. При Ьо — 2. оо эти решения переходят в известные точные особые решения для изэнтропических движений. Общие решения (57.10) при Ь вЂ” со также переходят в точное общее решение для изэнтропических Двнпсений, цосколькУ пРи этом п1 = Ьоьм г эт1 основнык тглвнкния для плоскои тдагноа волны 489 р = — Аэ (Ь)ч + В (Ь), (57.26) т. е.
полагая Ь = — 1. При этом основные уравнения принимают вид —,+ — =0 ди др ди дч 1 др дг да ' да дс Лс дс (57.27) исключая из них р, придем к уравнению (57.28) Введем переменную т; сст = ссЬ(А(Ь), тогда (57.28) примет вид (57.29) Если А = А,т'<"-'>, где А, = сопз1, и — любое целое число, то (57.29) перейдет в уравнение д'и дЪ 2(и — 1) ди — = — + ' дп дтс т дт (57.30) решение которого монсет быть представлено в виде и=- „гп (Р,(г+т)-(-Р (à — тЦ, (57.31) держать три произвольные функции. Но мы все же можем назвать найденное решение в известном смысле общим, поскольку для целей практики выбор констант А; Ь, действительно позволит хорошо изобразить зависимость р = р (г) = р (Ь) на фронте волны для любых ударных волн, как сильных, так и слабых.
Функцию о (Ь) при этом моясно при изучении ударных волн в газах положить равной нулю или выбрать ее таким образом, чтобы улучшить аппроксимацию р = р (Ь) на фронте любой волны. Для уравнения состояния (57.3) решение в точном смысле является общим; так же можно говорить и о решении (57.10) как о точном и общем, если считать, что ударная адиабата Гюгонио аппроксимируется несколько иначе, чем обычно. Величина Ь, определяет силу ударной волны или степень неоднородности газа, в котором рассматривается движение, при Ь, с— ~- со ударная волна вырождается в волну сжатия или среда становится однородной; напротив, при малых значениях константы Ь, сила ударной волны или степень неоднородности газа возрастает. Можно найти еще один класс решений для уравнения состояния или процесса: 490 РАспРОстРАнение нестАционАРных удАРных ВОлн [Гл.
1х при атом Аот'" ' Ь+ Ьа = Аа~ т'<а-НИХ = За — 1 а<а — Н А=Аз[ л (Ь+Ьо)~ Зная и, легко определим у, поскольку ди дт — =+ —,. да дй (57.32) (57.33) Для бегущей волны одна из функций Р, или Р, равна нулю. Далее, нз уравнения состояния определяется р. Укажем, что легко находится класс точных решений, если положить, что У =/(Ь). Тогда из уравнения ди/дй = дт/да следует, что и = ф (Г).
Подставляя зто условие в уравнение ди/дС+ др /дй = О, находим, что р = — ЬсЪу/й + <р (г). Поскольку р = О (Ь)у ~ = Р (Ь), получаему (г) = сопз1. Таким образом, мы приходим к решениям вида У = / (Ь), Р = Ра — ай, и = а (г — Га). (57.34) ит = )/(Є— Р,) (У вЂ” тт) + и; ~Р— Р, Р„+ а т Для политропической среды имеем [см. (29.10), (29.14), (29.17)) а 1р~( У а) [ (.0 — )1' (57. 36) Эти решения могут быть полезны при изучении ряда задач; одну из таких задач мы рассмотрим ниже. Можно указать еще некоторые точные и приближенные реше ния, но мы их дадим для случая более общих течений газа — течений, обладающих точечной симметрией. Для того чтобы решать различные задачи, надо сформулировать начальные н граничные условия для адиабатических течений газа.
Мы их сформулируем не только для ударной волны, но и для адиабатических течений без ударных волн. Рассмотрим сначала условия на фронте ударной волны. Как известно, на фронте [см. (28.1), (28.2) и (28.4)) а 573 ОснОВныв УРАВнениЯ длЯ плОскОЙ УдАРнОЙ ВОлны 491 Для сильной волны будем иметь 2 5 2 Ру а а+ ~ ра (Ру иа) иу иа ~,. 1 1 (Ру иа) (57.37) — 1 р Обозначая координаты фронта ударной волны через Х, мы для скорости фронта будем иметь соотношение аХ вЂ” = Р». а = (57.38) В случае неоднородной среды 1 аа Р» = — —, =р й' (57. 39) (57.40) ру —— р„и = им где р„и, — соответственно давление и скорость движения расширяющейся среды на границе раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
