К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Однако,как мы знаем, нет необходимости вновь искать эти решения для левого конца. Нужно лишь в соответствующих формулах заменить х на — х, а на — а, 1, на 1, и 1, на 1,. Дадим сводку формул всех решений как для правого, так и для левого концов. 1. Волна детонации: правый конец левый конец х = ~З~сс 1~: <1< 4 11. Разлет продуктов детонации: правый конец 3 ГРс-сд ~ з ~~ Я $55) слУчАи ДВижениЯ В пРеДстАВлении лАГРАнжА 468 левый конец х = 1)Е ~1 Е; Е1+ Е) ~; — (Ес. оо,)а)~ )— Ез. У рз ~ Е ) )' (а)р 1П. Разлет продуктов детонации (особое решение): правый конец 9 х = — )/ 2(15 — — а) (1)Š— 1„) + Р'+ '; (Е (оо; 2 2 — (1, — Е,) ( а ( — 1,; 3 3 левый конец 9 р,+, 3Е,— — )а) х = ф/ 2(ЕЕ+ — 8 'а)(Х)Š— Ез) —,, '; ... Е(оз; 2 2 31(а(3 (1 1) 1Ч.
Решение, возникающее между двумя простыми волнами разрея ения: правый конец РЕ (Ег+ Ег) — 2)г(г — —,~ ' Р -(- Ез — — Ег(г а (Е Е ) 1 (ре Ег)(рз Ег) х 9(6+ ),)г — 9)га — (2)г(г ( ( ' 8 1 2 ( — )' (8)г — 9а) Р ' 9 з 3 левый конец РЕ (( +( )+2ŠŠ— ' 1Г '(Ег+ Ег 9 Ег(г+а(Е,— Ег) ~(РŠ— Ег)(РŠ— Е ) х Ег — Ег 9(г + 9)з + 6)г(5 +9(га 2 8 (8(г+ 9а) р ( Е (; — (1 — Ез) )~ а )~ — — 1,. 3 5 Покажем, каким образом вычислялись интервалы существования последнего решения для разлета направо и налево. Мы имеем связь (3Е ) Ег)г 9)з+ 9(з+ 6(г(г — 9)га А)Ез — — 2хз — 3(з — — 8Е' за + 15 = 8Е при Ез — г.
оо находим предельное значение а = 815/9 для правого конца и а = — 8)г!9 для левого конца. При Е -г. оо особые решения исчезают, так как их догоняет волна последнего решения. [ГЛ. ЧП1 плоскив дктонхционнык волны Остается определить значение точек, для которых и = О. Из эйлеровских уравнений мы имели для этого случая (11 — 12) Р1 ЗР1 — (11+ 12) ' (55.43) С другой стороны, 11+ 1 — — 1112 — а (11 — 12) ')(Р1 — 11)(Р1 12) х— 11 — 12 отсюда, исключая последовательно х и Р1, можно найти связь между х, 1, с одной стороны, и а, с другой: х = х (а) и 1 = 1 (а) для хшО.
При 1-~ос 1 2 з 1 Отсюда а = 5 (1, — 12)19. Очевидно, все частицы, лежащие в интервале 11 — а, идут направо. Длина этого интервала равна 1, — 5 (1, — 12)19 = (41, + 512)/9. Таким образом, масса продуктов детонации, идущая направо, определяется выражением М, = ф (41, + 51,); масса, идущая налево, равна И2 = ф(511+ 412), а)х х и= — „, =Р интегрируя, найдем х1(Р1 — 1) = сопел. Поскольку вдоль линии сопряжения с третьим, особым, решением х и 1 связаны соотно- шением х, = —" — — ' = "+ — ~/ 2 (Р12 — 11) (11 — — а), то мы найдем, что сопз11 = хз /2 (хз + 11); выражая хз через а, найдем ха = 911а/(811 — 9а); отсюда х эа за з — и х =- —.Р1 — —.а.
Р1 — 1, )С)1 ПИ1 )е (55.44) т. е. мы пришли к ранее полученному из эйлеровских уравнений результату. Случай, когда 1, = 12, должен быть для последнего решения разобран отдельно; в уравнении (55.42) необходимо сделать предельный переход. Рассмотрим этот случай особо. При 1, = 12 имеем слгчхн двнжкння в пгедстхвлкннн лАггАнжх 465 3 55! Это решение, очевидно, справедливо для всего интервала между точками сопряжения с особыми решениями как справа, так и слева.
По аналогии с решением для (, + (, заключаем, что полученные решения определены на интервалах 241~ — 9ай 8 >2> (8, )р, О<а< — Ю для правого конца и 241~+ 9ай х — — ~3~/ — — $~, справедливым для интервала времени аЮ < ~ ( 9а/4Р. Мы ранее показали, что зто же решение будет справедливо и для разлета продуктов детонации, происходящего налево, поскольку разлет продуктов детонации налево при крайнем положении детонатора описывается теми же самыми уравнениями Эйлера, что и волна детонации: х р и+с= —; и — с= — —, с 2 Покажем, что и уравнения в форме Лагранжа в данном случае также будут теми же самыми, что и для волны детонации. В самом деле, из написанных уравнений получим ах/аг = и = =(хй — Р(2)!2 и, интегрируя, найдем (55.45) Константа определяется из следующих соображений: для точек сопряжения второго и первого решений имеем Р 9 х,= — 1,= — а 8 (55.46) что очевидно, так как волна разрежения от левого конца движется в глубь заряда со скоростью Р/2 и, следовательно, приводит в для левого конца.
Очевидно также, что и ж О будет всегда иметь место при х = О. Рассмотрим теперь случай, когда детонатор занимает крайнее положение в заряде, т. е. положим в предыдущей схеме Ц = О. Как мы знаем, от детонатора направо пойдет волна детонации, причем движение частиц, в нее входящих, определяется уравне- нием 466 Ггл, чш плоские детОКАционные Волны движение частицы в тот момент, когда они достигают своего максимального смещения, полученного ими в результате прохождения волны детонации, т. е. в тот момент, когда их скорость обращается в нуль.
Таким образом, в момент, когда волна разрежения достигает какой-либо частицы, направление движения частицы может изменяться на обратное. Поскольку точка сопряжения х,, г, должна удовлетворять также второму решению, получим из (55.45) для точки сопряжения, подставляя вместо хг н 1г их значения из (55.46), выраженные через се / 9 а сопз1 = Р ), 4 0 ' Таким образом, константа нами определена и движение частиц опи- сывается уравнением (55.47) что и доказывает наше предположение.
Очевидно, найденное решение справедливо, начиная от момента, когда волна разрен~ения дойдет до частицы, т. е. от момента времени г, = 9а(4Р. Поскольку волна детонации описывается тем же самым уравнением, следует сказать, что это решение справедливо, начиная с того момента, когда до частицы дойдет волна детонации, т. е. момента г' = а(Р. Выясним теперь, до какого момента будет действительно полученное решение.
Когда волна детонации дойдет до конца заряда, начинается разлет продуктов детонации направо, описываемый, как мы видели, уравнением х= Ю~1 — — ~/ Р ' ~1 — —,)~, (55.48) справедливым для интервала времени (~! аР ( г ( со. Рассматриваемая волна разрежения идет от правого конца в глубь заряда и, как мы видели раньше, в момент времени г = 3(,/2Р доходит до частицы с координатой х = 3(,/4, первоначальная координата которой была а = 2Ц/3, причем в момент времени ~ = 3)г!2Р скорость этой частицы и = О. При дальнейшем своем продвижении, т. е. при ~ ) 3(,/2Р, волна раэренсения, идущая справа, будет захватывать частицы, которые уже успели изменить знак своей скорости и летят налево.
Эта волна разрежения, идущая справа, постепенно будет захватывать все частицы, и чем меньше начальная координата частицы, тем позже догонит ее волна разрежения. Как мы только что видели, момент времени, когда частица с начальной координатой а попадает в волну разрежения, есть |, = $55) слУчАи дВижения В пРедстАВлении лАГРАнжА 46! = )5~!а)). Таким образом, частицу, для которой а =- О, волна раз- РЕЯ5ЕНИЯ ДОГОНИТ ЛИШЬ В МОМЕНТ ), = со. Попав в волну разрея<ения, идущую справа, частица начинает двигаться по закону (55,48).
Как мы видели раньше, скорость в этом движении определяется уравнением Х вЂ” )1 где х и 5 — текущие координаты частицы. Приравняв выражение для скорости нулю, мы получим линию, на которой частицы имеют нулевую скорость. Эта линия выражается уравнением й))5 2))8 — д (55.49) Я =х(а), 7 = 7 (а). Приравняв выраязепия (55.48) и (55.49), найдем Возводя это равенство в квадрат и произведя элементарные Попав на эту линию, частицы, очевидно, пройдя через состояние покоя, меняют знак своей скорости на обратный, т. е. изменяют направление своего движения. Таким образом, если волна разрежения настигла частицу в тот момент, когда она успела уя5е изменить знак своей скорости и движется налево (из чего следует, что начальная координата частицы была ( 2),!3, то, начав двигаться по закону (55.48), частица в этом новом своем движении будет еще некоторое время двигаться налево, т.
е. скорость ее будет оставаться отрицательной, а затем, попав на линию (55.49), частица еще раз переменит направление своего движения и окончательно улетит направо. Существуют, однако, частицы, которые, попадая в волну разрежения и начав двигаться по закону (55.48), никогда не попадут на линию (55.49). Такие частицы, очевидно, окончательно улетят налево. Найдем, каковы должны быть их начальные координаты.
Для этой цели исследуем линию (55.49). Мы сразу видим, что при и = О ) — ~ оо, х — ~ )Г/2. Таким образом, при ) -+. оо рассматриваемая линия будет асимптотически приближаться к прямой )5!2. Для того чтобы найти момент времени 7 и координату Е, для которой частица с первоначальной координатой а попадет на линию (55.49), мы должны из двух уравнений (55.48) и (55.49) исключить поочередно х и ), после чего получим соответственно выражения 468 игл, чш ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ преобразования, мы получим квадратное уравнение (ж) ~ — (1 — — ) — 11+да, ~1 — — ~1 — — )~+ +де дд(1 — ~ )=0, решая которое, найдем Ж= 2 1+-— 2 ~/ 9 — — 5 Таким образом, мы нашли, что частица, начальная координата ко- торой была а, попадает на линию (55.49) в момент времени (55.50) Здесь взят знак плюс, так как мы знаем, что точка с начальной координатой а = 2дд!3 попадает на линию (55.49) в момент времени з 7= —, 2 дД' Найдем теперь координату х, для которой частица с первоначальной координатой а пересечет линию (55.49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
