К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 68
Текст из файла (страница 68)
начала процесса детонации) и+с = —, и= (50.18) откуда и = — — — —, с = — — + —. (50 19) 2 в В й — 1 х В й+1 1 й+1' й+1 г й+1' Начальные параметры отраженной волны определяются этими же уравнениями, если в них положить и = иэ = О.
Тогда, как мы знаем, )ь /(ч " /3й — 1 ) й — г 1)э 3й — 3 р =(.р =(, эй / ' .В = 4(й+П' Необходимо определить параметры отраженной волны по всей области. Для этой цели воспользуемся общим решением одномерных течений газа (15.26) и (15.33): д" ~ Р ~ ( $ 2 (2г + 1) (э+ и) + Ра ( )/ 2 (2г + 1) 1в — и~) э.г-г У"1 где дф/д/з = 1; дф/диэ = из/ — х.
Произвольные функции г', и Рз определяются из двух условий: того условия, что у стенки, т. е. при х = /, должно быть и, = О, и из условия, что на фронте отраженной волны выполняется равенство 2 2 4 х В 3 — й и + — се = ит+ — с, = — — + — —; (50.20) й — 1 з й — 1 ~ й+1 1 й — 1 й+1 при этом должно быть (в акустическом приближении) вэ 7 — й х 3 — Зй В й+1 5021 сИ э 2(й+1) 1 2(И вЂ” 1) 2(й — 1) что определяет закон движения фронта отрая~енной волны.
430 [1г1. Е1П плоские детонгционные Волны В частном случае 11 = 3 эта задача имеет весьма простое решение. В самом деле, общие решения, описывающие отраженную волну, имеют при й = 3 вид (4 13) х = ( уг + сг) 1 + Р1 (иг + сг); (50.22) х = (иг — сг) г + Рг (иг — сг). Падающая детонационная волна характеризуется уравнениями х = (и+с)1, и — с = —, .[1 е (50.23) Функция Рг (иг — сг) определяется из того условия, что на стенке при х = [ имеем иг = 0 при любом 1~~ И; тогда М = (Π— сг) [+Рг(0 — с.); в момент удара 1 = 11Р, сг = Р; отсюда Рг (иг — с,) = + 25 х = (иг — сг) 1+25 Таким образом, (50.25) Отсюда и из (50.24) имеем (50.26) или (50.27) где рго, сго — значения рг и сг в момент начала отражения. При этом импульс определяется интегралом Р =27 о = 273 о о 1/П (50.28) что в точности равно импульсу давления для волны, идущей от стенки (см.
(48.12)). Анализируя полученные результаты, можно прийти к выводу, что давление и скорость звука в отраженной волне в случае й = 3 не зависят от координаты, а зависят лишь от времени. Отсюда естественно предположить, что и при любых значениях 11 скорость, давление, а также скорость звука с будут слабо зависеть от х, т. е. полагать, что приближенно в отраженной волне рг = рг (1), Поскольку волны и + с и и — с распространяются независимо, а на фронте отраженной волны величина и + с сохраняется, то Р,(иг + с,) = О. Следовательно, в отраженной волне имеем х = (иг + сг) 1.
(50.24) ОтРАжение плоскон детонАционнон волны 431 и пренебрегать зависимостью от х по аналогии с результатами, полученными для отраженных волн разрежения (рис. 55, где да- ны зависимости и (х) и с (х) для различных моментов времени). На рис. 56 показана зависимость давления от времени. Рис. 55. Будем, по идее М. Арецкнна, аппроксимировать давление в отраженной волне выражением вида ай. (50.29) С 1+.От Х = Рз й = Рзз Р (й — 1) ' йп (50.30) где йР определяет момент начала отражения. Как и прежде, считается, что со стороны противоположной стенки продукты детонации истекают в пустоту.
Поскольку ЗДесь т и йз — компоненты Ран сзз значениЯ Рз и сев момент на- чала отражения. В этом случае импульс, который воспримет стен- ка в процессе отражения детонацнонной волны, определится ин- тегралом 432 плоскик двтонипионнык волны 1гл. гссс то, вводя Мо и Е„найдем, что Поскольку для отраженной волны имеет место соотношение сС 1п сз сс — 1 доз (50.34) то, полагая, что вблизи стенки скорость моя ет быть аппроксимирована выражением вида из= а —, (50.35) мы получим Н1пс й — 1 = — — а сС!пс 2 (50.36) или сС 1п р, — = — 7са. сз!и С (50.37) С другой стороны, дифференцируя выражение (50.29) по с, придем к реаультату сС 1п рз йз с11пс Рт (50.38) 1+— с Сравнивая выражения (50.37) и (50.38), найдем вторую свяаь между константами т и й,. Однако в атом связующем выражении останется неопределенной величина а.
С целью ее определения рас- Этот импульс должен в точности равняться количеству движения, которое имеют продукты детонации при одномерном расширении в пустоту (2 47) для заряда удвоенной массы, поскольку стенка как бы удваивает массу в смысле импульса. Точное зна- Р„. чение импульса нам известно: 1 = ~ $зМоЕо (50 32) где величина аз была задана табличкой (стр. 406). Сравнивая (50.31) и (50.32), определим связь 1 между искомыми константами т и й;.
, Р~ зи 1т СГ У 3 У С и йз — 1 О' З2(й — 1)13й — 1! лс Ркс. 56, (50.33) ОтРАжение плОскОЙ детонАционнои Волны 433 1 501 смотрим движение фронта отраженной волны вблизи стенки; поскольку мы имеем й — 1 й — 1 й — 1 х 3 — й й — 1 с =с+ — и — — и =2 — — +, Р— —,и 2 2 з й+1 1 2(й+1) 2 (50.39) и их = а (х — 1)/(; с( ()п сз)/Н (1п Ь) = — (й — 1) а/2, что при 1 = 1/Р дает Оса й — 1 са й — 1 Зй — 1 Р— = — — а — = — — а ЫС 2 С 2 2(й+1) то, дифференцируя (50.39), будем иметь при 1 = 1/Р 2 Ыс 1 / 4 ~ Фх 4 Зй — 1 — — — — =~а— ~ — + — 1) =, аР.
й — 1 А Р ~ й+1/ а1 й+1 2(й+1) С другой стороны, — а/ — = Р; 4 ) ~Ь 3 — (Зй — 1)а й+1 / ~й 2(й+1) так как Нх/й = Рз —— — (5й -(-3) Р/4 (й +1), то отсюда будем иметь выражение, определяющее величину а: 4 9й+1 а=— й+1 11й — 5 (50.40) Таким образом, аначение производной с((1п р,)/Ы (1п 1) в момент отражения определяется соотношением Зададим величину Ь следующей табличкой: 5 3 7 5 9 7 Ь 3 3,077 3,276 3,051 3,333 1 /4+ Рт) 1 й+1 11й — 5 (5042) йа 1 ( / Ь 4 9й+1 Этим полностью решается задача о зависимости давления от вре- мени в отраженной ударной волне. Из таблички видно, что в среднем Ь = 3.
Таким обрааом, второе соотношение, связывающее величины йа и т, теперь можно будет написать в виде 434 плоскив двтонйционныв волны (гл. тгп Значения Рт/1 и й, заданы табличкой. 7 5 5 3 9 7 1,8 — 0,41 — 0,49 — 0,33 Следовательно, для аппроксимации величины скорости звука в отраженной волне мы придем к такому уравнению: <й — г)к, с2 Г )+Вт ) йй см [Х)(1 — т) 1 (50.43) Теперь возможно определить закон движения фронта отраженной ударной волны, исходя из уравнения (50.21): Лх р 7 — й х 5 — Зй й+1 — — Рз — 3(й+1) — -)- 3(й, 1) З(й 1) сз.
(50.44) (50.45) Для й = 3; 5/3; 7/5; 9/7;... имеем Усх = 3; 2,506; 2,280, 2,140 соответственно. При этой более точной аппроксимации производная ох/ог может быть выражена так: х — 1 -„ Их 7 — й х 5 — Зй Зй — 1 / ) ) хй ай х 3 (й + 1) 1 + 3 (йз — 1) 4 (й — 1) ) Рй ) (50.46) что сразу позволяет написать решение этого уравнения при начальных условиях х = 1, 1 = //Р в виде 7 — х й — 1 (50.47) Однако для упрощения интегрирования етого уравнения, полам — пй, гая, что сз/сзе —— ((/Р/) '", т. е. полагая величину т = О, мы из соотношения (50.33), выражающего закон сохранения импульса, определяем величину й;. ОтРАжение плОскОЙ детонАционнои ВОлны 435 Рн 2 сн~ сн поскольку и„= Р (1 — Й,с,'7Й,Рй)7(Йз + 1), =- Й, получим -(- Й, "; (50.52) нн то, полагая Й1 = Йз —— — Ъ (50.53) откуда с — зн 7 и Р ЗЙ 1, 7 Рс и~+и 27 Р~~Й+ ',~( ) 2(Ьс — 1) (, 20 7( 1 ) Й вЂ” 1 Ь' — 1 где 6 = (ЗЙ вЂ” 5)/(Й .+ 1) — (Й вЂ” 1) Йзй.
Отсюда для Й = 3 имеем такой точный результат: Для Й = 1 имеем х = — 52 «(~~'~ + —,Р1; Рз — — 3Р— — Р)/ —,. (50.50) В случае более точной аппроксимации (50.43) соотношения (50.49) сохраняются, а соотношения (50.50) принимают вид 5 гХИ ~*А 7 . 7 15 /Рс х = —,1~ — ) — —,Р1; Р, = —,Р— — Р ~,~ —. (50.51) '(1) 2 ' ' 2 4 У Анализируя полученные результаты, прежде всего следует отметить, что рассмотренный случай отраженной от стенки детонационной волны соответствует случаю лобового столкновения двух плоских детонационных волн.
Как было показано, при этом почти независимо от значения показателей изэнтропы Й давление при отражении возрастает приблизительно в 2,4 раза; поскольку давление на фронте детонационной волны для типичных взрывчатых веществ составляет приблизительно 2 10з яг/смз, то при отражении давление доходит до 5 10' кгlсм'. Такое давление является весьма значительным и может оказывать сильное воздействие на различные материалы; даже плохо ся<имаемые металлы вроде стали при этом сжимаются, изменяя свой объем на 10 — 15%.
Изменение давления со временем показано на рис. 56, где также дано для сравнения р = р (1) для разлета при волне, идущей от стенки (пунктир). В случае слабых детонационных волн будет иметь место соот- ношение 436 плоские детонАпионные ВОлны (гл. чш Таким образом, в случае слабых детонационных волн рост давления при отражении будет незначительным и в пределе при малых й ~нл теплотах реакции мы придем к Ж акустическому результату. Перейдем к рассмотрению отражения детонационной волны от преграды под некоторым углом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
