К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Интегралы $„также легко сводятся к интегралам $„. Вычислим зо. Интегрируя по частям, будем иметь $о — — ~ (А, — г)г" (А, — г)" «(г = о АоА"~ ' '2-+ ~ (А,— г)г«о(А,— г)" ' 2 «гг; о далее, производя последовательные вычисления, получим $о=Ао (г+4) ~( -<-2) (г+2)<+(г+2) (г-(-3)<+ < г ! 1 г- г „ (г И + ( г+ 2 ) (г+ 4)! + ' ' ' + (2 (г+1))! ~' Достаточно вычислить только значение мм так как из условия симметрии коэффициентов можно определить значение интегралов для и«о! коэффициент при а перейдет в коаффициент при Ь и обратно. Займемся теперь вычислением интегралов А, 401 1 оо! РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ Так же определяются зо: о(г+о> г! (г+1)! ( 2г+3 ]о(г+о! (2(г+1))! [2г+2 ! Остальные интегралы приводим к аналогичным выражениям: ог+о Г(г+1.г 1, /г+1]г о 2г З, =$о = Ао (г+ 1)' [[ +2 ) (г+3)]+ (г+2 / (г+4)! + г г+1 г о Зг(г 1) (г+1)! 1.
+ [ г+ 2/ (г+5)! + ' ' '+ (2г+3)! )' ( г+1 " о 12г(г — 1), (г+2)! '! г+ 2 ~ (г+ С)! ' ' ' [2(г+ 2)]! 1' [(г+1)]]'А,~"+ ! ( 2г ! 3 )ог+з [2(г+2Н! ( г+2 ]]1'о = Мо = Мо 2 о/ МоЕо (г+ 2) [2(г+ 1В! ( г+ 2 (о(г+о! рой Г2 5)(г+ 2) ]2(г+1)]! ( г-]-2 )о О+И „ Лто [ ~ г+1 г! [Зг-]-3, Ео = Ео Ео! ]гоо = (а+ ") ро! Ео = Мо0. (46.24) Здесь (г — со)! (г+а+ 2)! г](а + 1) (46.25) (г+ а) (г+ а+ 3)! г](а + 1)(а + 2) (г — а)! (г + а + 4)! Вычислии значения интегралов $„и 5о при г — о- Оо для $ = 1, Отсюда, принимая во внимание, что для политропического газа имеет место соотношение Ро=2()оо — 1) о;=16 (г+1) Д/(2г+1), получаем 402 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦНОННЫЕ ВОЛНЫ [гл.
тш вводя при этом обозначения г, = г/Ао: 1 ]г о 1 О(Г11]+а ( 3а = А, ~~(1+ г,) ~( — - — г1) г1Аг1. гы (г+( 1 а (г+2 о Легко показать, что для любого а $ = $,. Для этой цели преобразуем выражения, стоящие под знаком интегралов; опуская члены, содержащие г1 в степенях, ббльших единицы (законность чего мы покажем ниже), придем к таким интегралам: 1 Ао(г»1)о» ~( ~~ ) ~(1 о)г(1»1 ) а о 1 ь„= Ао '+' ~ — 2) ~(1 — г1)",(1+ — 1) г1 ((г,. о Не производя дальнейших вычислений, легко показать, что для любого а $, = $,.
Рассо(отрим интегралы ф» = ~ (1 г1) г1 (Ь1 н ф»11 = ~ (1 г1) г1 ((г Интегрируя по частям так, чтобы показатель степени выражения 1 — г', уменьшался, придем к результату ~Г»+1 (а + () (а + 3)... (а + 2Г + () (а+ 2) (а+ 4)... (а + 2 (г + 1)) Следовательно, и — = О, где 'Га+Ы1 Фа+1 1 ора,( = ~ (1 — г»1) г(ы ((г1; о отсюда следует законность пренебрежения членами, содержащими 1 г1 в сделанном выше разложении, а также, что $, = $ . Поскольку при г-~ос $, = $„то 404 [гл. угн плОские детонАционные ВОлны Вычислим значение с, необходимое для определения импульса 1: Аогоо о ~, = Л, )(1 — з) з,аз~ =, о ( 2 ) ( г+1) 2(г+Г) Отсюда Мо[) (2г+ 1) [' г+ 2 )гоо (Ег + 1)[ / г+1 )о(гы) 2(г+1) ( г+ 1 ! (г))о (,2г+ 3,l вставляя значение скорости распространения детонационной волныог = + у (г+1)(~, придем к выражению 4 2г+ 1 1=2 Мобо ъ'г+ 2 )"+о ( г+1 )о(г+~) (2г+1) г+1 ~ г+1,) ~2г+3,) (г!)о что при г -~ со дает, если применить формулу Стирлинга: (46.27) В ааключение заметим, что при Ь = 0 справа воаникнет всего одна волна ор, при 1 -о- оо масса гааа в интервале особой волны стремится к нулю и, следовательно, движение при атом определится исключительно волной ор.
Таким образом, решение при Ь = = 0 является и аналитически более частным, чем разобранное нами. Выведенные нами общие формулы пригодны для любых аначе2г+3 ний й = — . Полученные результаты иллюстрируются рис. 47, 2г+ 1 где даны распределения и и с по оси е для наиболее простого случая )о = 3 (г = О) для рааличных моментов времени. Таким образом, эта фигура иллюстрирует разлет продуктов детонации конденсированных (бризантных) взрывчатых веществ.
Общие закономерности раалета продуктов детонации газовых смесей совершенно аналогичны приводимым. 3 47. Основные результаты исследования детонационных волн и разлета продуктов детонации При детонации и разлете продуктов детонации происходит перераспределение энергии по массе, в основном аналогичное разобранному в 3 25. Надо только ааметить, что в данном случае зто перераспределение происходит дважды: один раз при прохождении детонационной волны, по исходному веществу, второй раз при разлете продуктов детонации. 405 1 ы] основные РезультАты Это, как мы сейчас убедимся, влечет за собой дополнительное уменьшение количества движения по сравнению с количеством движения разлетающегося гааа, ранее находившегося в покое.
На фронте детонационной волны не только плотность энергии, приходящаяся на единицу массы е„, но и объемная плотность энергии р е„больше начального значения этих величин. В самом деле, ео = 0 Роео = Ро0. (47.1) На фронте детонационной волны на основании формул (28.1в3,4) и (29.2) имеем Рита "н 77в Зй — 1 Зй — 1 й — 1 2 й — 1 (й+1)в й+1 ' (47 2) Зй — 1 Раен = й Рос с. Таким образом, ен Зй — 1 Рн ен Зй — 1 ео й + 1 ' рвов й при й = 3 имеем ен/ео = 2; р„е/роев = 8/3, при й = 1 получаем е„/ео = 1; Р„е„/рое, = 2. При истечении продуктов детонации плотность энергии на фронте разлета равна что при й, близком к единице, дает весьма большое значение для е„. Наиболее интересной особенностью процесса детонации и раалета продуктов детонации является влияние места инициирования (начала детонации) на распределение масс и количеств энергии, разлетающихся в противополоясные стороны. Оказывается, что в сторону более длинной части ааряда (газовой смеси) идет ббльшая часть энергии, несомая меньшей массой.
В противоположную сторону разлетается ббльшая часть массы, которая несет меньшую часть энергии. Импульс (односторонний) не зависит от места инициирования. Испольауя формулы (46.22), при й = 3 имеем 4а+ЗЬ Ес 16а+11Ь 16 см — Е 4~~~> Мв За+4Ь ' Ег 11а+16Ь ' = 27 Г о о= 27 при й = 5/3. Мс 297а + 328Ь Ес 21 ° 81а + 89 16Ь Мв 328а+297Ь ' Ев 89 16а+ 21 81Ь ' 406 1гл. \чы ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ при Й = 4 >Н'1 Ео, 1/ огоЕо Мо Ео ' г я 5!3 зя уь о,о У4 1,132 1,272 1,160 1,345 1,185 1,390 1,225 1,500 1, 130 1, 270 1,130 1,270 1,170 1,370 1,185 1,405 1о150 1,320 1,170 1,365 Интересно отметить„что при отражении волны разрежения от стенки (случай И=Ь) давление в отраженной волне так же мало аависит от х, как и в ранее разобранном случае истечения покоящегося газа.
Это дает воаможность для отраженной волны аппроксимировать давление формулой (47.6) Здесь 7> — величина давления в момент образования отраженной от стенки волны, уо — момент времени начала Отражения (см. Таким образом, импульс незначительно уменьшается прв уменьшении й. Отношения М>/Мо; Е,4Ео масс и энергии, идущих в разные стороны, при атом также уменьшаются, и при й = 4 эффект перв- распределения стремится к нулю. Величина 1 для данного й в рассмотренном в 3 46 случае всегда меньше, чем при истечении газа, ранее покоящегося в сосуде (случай мгновенной детонации).
При вычислениях 1 учтено то обстоятельство, что при разлете продуктов детонации мы имеем движение газа в обе стороны, а при разлете газа из сосуда газ движотся в одну сторону. Поэтому мы должны выражения для 1 в случае детонационной волны умножать на два, чтобы движущиеся массы в обоих случаях были одинаковы. Зто эквивалентно рассмотрению волны, идущей от стенки в одну сторону.
Приведем таблицу значений величин $, и $„определяющих значения коэффициентов в выражении 1 = = ~Г$ МЕ, причем $1 характеризует истечение ранее покоящегося газа (мгновенная детонация), а $, — истечение продуктов детонации. 407 з о71 Основнык РкзультАты формулу (46.13), считая в этой формуле 7 = 7 ): / 2г+3 ~ (зг~з7 Ри - а / 2г+3 1'+7 а ро=ра(2(г ( ()( = зг+з ' о= р~2( .( ()/ 2г+3 2(г+ з) ' Здесь величина р о7, определяет импульс у стенки для состояния покоя за фронтом детонационной волны, а интеграл ~ ро(з опреь деляет импульс для отраженной волны разрежения.
Проделав элементарные преобразования, мы величину импульса сможем записать в виде Ро7о+Р а-(хоз) ' Р оз-(зг+зм2 ао-7 ~1 а (оз — 1 и Р ~ а — з (' (47.7) Поскольку точная величина импульса при истечении в пустоту нам уже известна, то, сравнивая величину импульса, определяе- мую формулой (47.7), с точным значением импульса, мы приходим к уравнению, связывающему величины йз и т: (А,— = г-у'"а'з -~~[," ,~-7,— згомр,.
~зтз~ Для того чтобы получить второе уравнение, связывающее этн величины, мы поступим следующим образом. Будем искать вели- чину скорости движения продуктов детонации у стенки в виде х м=ао з а о —— Р (47.9) где ао — некоторая безразмерная величина, Поскольку уравнение неразрывности приводит к соотношению Ы(а р ди Аао = — 1с — =— 7(7 дх а Ф— Р Величина импульса при такой аппроксимации может быть определена соотношением у=р,7,+~ р((. (47.6) ь 408 плОские детонАционные волны (гл. чШ а, с другой стороны, о7 ()п р)/Ж = — Йо (1 — т), то в момент времени 1 = 7о мы будем иметь мвэс = аоР (7о — т)(Р7о — а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
