К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Отсюда определяем величину во — т йз= лайв а Фо — Р (47.10) 2и 2 (г + 1) ~г+в РВ 2 (г+ 1) + а й" ~ .Р (Ег -(-1) (Ег+ 3) ) 2 2г+ 1 г! о(иг в 2и )г (2г+ 1) Р и = —.Р— ф 2 (2г + 1) в, 2г+1 2 мы, считая, что величина и у стенки достаточно мала, и пренебре- гая членами с из, и' и т. д., сможем это решение привести к тако- му виду: х+ — = РВ 2(г+1) и1 + авг"а ~1— Г 2(г+2)(г+1) и Ч 2 2г+ 1 (2г + 1)(2г + 3) Р ~ 2(г+1) Рво 2г+ 1 Поскольку скорость фронта отраженной волны равна о7х(й = = и + с = Рг2, то х = + Р (1 — (о)!2. С другой стороны, так как и = — ао РхЦР1 — а) = аоРв (1 — 7о)!2(Р( — а), то мы будем иметь Р (в — 7о) и= а в —— .Р ао Р ( — Во) 2 2(г+1) 2г+1 откуда а 2(2г+1) Р г + 1 (2г + 1) в — 2 Ь здесь величина Ь имеет размерность времени и равна 2 (г + 2)(г + 1) Ь = а"" ' (2г + 1)(2г + 3) Р Следовательно, второе уравнение, связывающее й и т, можно на- Далее, написав решение для отраженной от стенки волны в виде 409 1 ы) ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ писать в виде 2г+ 1 г+1 2г+1 л г+1 (47.11) Например, для г = О, л = 3, Ртга = 1 мы имеем (гз = гг.
В случае й =- 3 сделанная аппроксимация является точной, как мы покажем это в следующем параграфе. Укажем, что, рассматривая случай мгновенной детонации, т. е. детонацию, происходящую в постоянном объеме, мы придем к выводу, что плотность энергии, рассчитанная на единицу массы, будет всюду в этом объеме постоянна и равна количеству выделяемого единицей массы тепла (). При этом давление продуктов детонации определится очевидной термодинамической формулой (47.12) (47.13) в области же и„( хй ( Р(2 + (л + 1) и„!2 параметры продуктов детонации будут постоянны и = и„, с = Р!2 + ((г — 1) и„/2. В тех случаях, когда скорость движения поршня равна скорости движения продуктов детонации за фронтом детонационной волны и„= и„, мы придем к предельному случаю, когда зона существования волны разрен<ения становится равной нулю.
Можно сделать вывод, что величина давления в данном случае ровно в два раза меньше, чем на фронте реальной детонационной волны. Таким образом, в смысле получения максимальных разрушительных эффектов при взрыве мгновенная детонация менее выгодна, чем нормальная детонация. При мгновенной детонации газ в сдетонированном объеме будет до начала истечения неподвижен. В заключение укажем, что, рассматривая движение детонационной волны, можно показать применимость выведенных уравнений для случая, когда саади, за фронтом детонационной волны, расположен движущийся поршень.
В самом деле, пусть скорость поршня постоянна и равна и„. Тогда волна разрежения, распространяющаяся за фронтом детонационной волны, которая, как мы показали, является центрированной волной, будет определяться в области 410 плОские двтонАционнык Волны 1гл. чгн При скоростях движения поршня ббльших, чем и„, мы придем к случаю сильной детонации; параметры фронта детонационной волны при атом будут определяться из соотношений ив=(рв — р,)(ч,— ч,); Р = ч, в в в Рв — Рг (47 14) ргчг р>чг Рг + Рг — — — — 0 =- ав — 1 а> — 1 2 (ч, — ч,). За фронтов> детонационной волны, в области между ней и поршнем, движение продуктов детонации будет стационарным: (47.15) и =- и„, р = р„р = р,.
В тех случаях, когда скорость движения поршня непостоянна, движение детонационной волны и продуктов детонации за ее фронтом будет также нестационарным. Случай ускоренного движения поршня при этом будет приблизительно соответствовать случаю сходящейся детонационной волны, когда давление на фронт возрастает по мере движения. з 48. Разлет продуктов детонации в пустоту в случае Ф = 3 В качестве примера мы рассмотрим случай разлета продуктов детонации в пустоту, когда >с = 3.
Этот случай как раз и соответствует продуктам детонации конденсированных взрывчатых веществ и поэтому представляет большой практический интерес. Исходя из рассмотренного выше общего случая, мы уже получили аакономерности в распределеиии масс, импульсов и энергий и имели, в частности, эти распределения для й =- 3. Однако для того чтобы наглядно показать аакономерности в процессе движения и взаимодействия различных волн, необходимо более детально рассмотреть простейший случай интегрирования основных уравнений, когда й = 3.
Общие решения для этого случая имеют вид х = (и + с) 1 + Рл (и + с) = (и — с) 1 + Рв (и — с). (48.1) Особое решение имеет вид х = (и + с) 1 + Р (и); и = + с + сопз1. (48.2) Пусть детонация плоского заряда в трубе начинается в некоторой плоскости, проходящей через начало координат. Длину правой части заряда обозначим через а, а левой — через Ь.
Тогда детонационная волна, идущая направо, как мы видели, в случае 4И $48] РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ В СЛУЧАЕ И = 8 /с = 3 может быть описана такими уравнениями: х = (и + с) 8, и — с = — Р/2 или х В и= — — —, 4 х Р с= — +— 4 Р х при — ~( — (Р; (48. 3) при О а х/8 ~Р/2 и=О, с= —, Р 2 (48.4) В момент времени г = а/Р детонационная волна дойдет до правого конца заряда, после чего начнется разлет продуктов детонации. Исходя из общих решений, можно утверждать, что процесс разлета будет характеризоваться 'такими уравнениями: х х — а и+ = 8, и — с=Р—. Юс — а (48.5) Первое уравнение очевидно, второе находим, исходя иа второго уравнения (48Л) и граничных условий: при 8 = а/Р и х = а Рз(и — с) = а — а/Р (и — с), откуда и имеем для и — с второе уравнение (48.5).
Волна разрежения, возникающая при разлете, идущая справа налево, в момент времени г = За/2Р при х = За/4 встретит точку слабого разрыва в решении, написанном для и + с. При этом возникает новое решение. Это решение будет иметь вид и+с= —, и — с=Р 8 1М вЂ” а (48.6) +ь х — а и+с=Р—; и — с=Р 818 — Ь ' Ю8 — а решение для и — с сохраняется. Решение и + с = Р/2 также сохраняется и является тем же, что и в случае стационарной (неподвижной) волны. Волна (48.6) является простой центрированной волной.
Аналогичная картина будет иметь место для левого конца заряда. Для написания соответствующих уравнений необходимо только заменить а через Ь, и + с через — и + с и и — с через — (и + с). В момент времени г = 3 (а + Ь)/2Р в точке х = 3(а — Ь)/4 встретятся правая и левая волны разрежения, причем возникает опять новое решение; оно, очевидно, будет характеризоваться уравнениями 442 1гл. чш плОские двтонационные Волны В случае а = Ь (что равнозначно детонации, идущей от стенки) имеем (48.7) что показывает на независимость с от х в отраженной волне (на это было указано в з 47). Выпишем теперь все решения и укажем области их существования для правого конца заряда: х + х — а х с =- —, Зс Р—,~) 2 = — — + с — — Ь— 1г1) 867 х 1~ За~ (48.8) пс пс!о — — смас)х+ ~ си сох1, ш/о о (48.9) где первый и второй интегралы берутся соответственно для первой и третьей волн в системе (48.8).
При а = 0 1, равноМ, — разлетающейся направо массе, при а = 1 1„= 1, — количеству движения этой массы, при а = 2 1, = 2Е, — удвоенной энергии этой массы. Вычисляя аналогичные интегралы для левого конца, в результате будем иметь Мс 1 с4а+5Ь) Мо 1 Г5а+4Ь~ 4 Мо 9 ~ а+Ь ) ' Мо 9 ~ а+Ь )' с о 27 Е1 1 ( 16а + 11Ь 1 Ео 1 ( 11а + 16Ь 1 Ео 27( а+Ь )' Ео 27( а+Ь (48,10) Аналогичная картина будет иметь место для левого конца заряда.
Рассмотрим, как будут распределяться энергия, импульс и массы продуктов детонации, разлетающихся в противоположных направлениях при достаточно большом 1 (1 -э со). Для этой цели рассмотрим выражения вида 1 аз! 413 РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ В СЛУЧАЕ З 3 Мао где Ма = ра (а+ Ь) — масса заряда Еа = МД = — полная а — а энергия заряда (площадь сечения заряда принята равной единице).
Рнс. 46. Равенство импульсов очевидно, поскольку в процессе детонации действуют лишь внутренние силы. Отношения масс и энергий определяются формулами А11 4а+6Ь а1 16а+11Ь (48.И) Ма за+ 4Ь ' аа 11а+16Ь ' При Ь = О имеем М!М =- 4/5; К (Ез = 16/11; отсюда видно, 414 плоскив дктонлционнык волны . [гл. чпг что в случае крайнего положения детонатора в сторону заряда идет меньшая масса, чем в противоположную, но зато эта масса несет в себе большую энергию.
Таким образом, можно сказать, что в процессе детонации происходит перераспределение энергии и этим перераспределением можно управлять, меняя положение детонатора, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Распределение скорости авука с (пунктирные линии) и скоростей продуктов детонации и (сплошные линии) оси л для различных моментов времени и при крайнем положении детонатора показано на рис.
48. В случае, когда детонация начинается у одного из концов заряда, система волн значительно упрощается, а именно остаются лишь волна разрежения, идущая от другого открытого конца, которая описывается уравнениями (48.5), и волна разрежения, идущая от конца, где началась детонация. Надо заметить, что эта волна описывается теми же уравнениями, что и детонациопная волна, т.
е. уравнениями (48.3); при этом максимальная скорость истечения продуктов детонации, очевидно, равна и = — Х)/2. Случай, когда детонация начинается посредине заряда, эквивалентен случаю детонации, идущей от твердой стенки; при этом количество движения, которое получают истекающие продукты детонации, равно импульсу давления, действующего на стенку. Этот импульс, как мы видели, определяется из соотношений (48.10). Если скорость детонации выразить через потенциальную энергию взрывчатого вещества ф, то из уравнения (43.35) имеем Р утзйСД уфз и поэтому импульс определяется соотношением (48.12) где М, = Ме!2 есть масса продуктов детонации, истекающая в одном направлении Е, = Ее!2. $ 49. Истечение продуктов детонации е косой поверхности заряда в пустоту Рассмотрим весьма интересный случай истечения продуктов детонации с боковой поверхности заряда взрывчатого вещества и вообще с любой поверхности, к которой детонационная волна подходит под некоторым углом и (рис. 49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
