К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Это делает обоснованными все написанные выше предположения. Нетрудно обосновать и положение о том, что при 1 = а/Р имеет место именно особое решение. Поскольку параметры детонационной волны не зависят от длины заряда а, а при а-+-по всегда будет иметь место особое решение, поскольку за фронтом детонационной волны и = сопз1, с = сопз1, то при конечном а бесконечно тонкий слой продуктов детонации будет описываться особым решением для бесконечно малого интервала времени при 1 = а/Р; с увеличением 1 процесс будет описываться функцией !Р, и решение все дальше будет отходить от особого. Остается определить значение р.
На характеристике и= = (2с — Р) / (й — 1) будет иметь место формула )ГЛ22г+1 ! )г~ )г+1 и так как при дифференцировании уравнений (46.3) все другие чле- ны при условии, что и = (2с — Р)/(й — 1) = )/т11 — (2г + 1) Р/2 дадут нули, а А, + А, = (2г + 3) (2г + 1) Р/2 (г + 1) = 2 у г)1„, следовательно, () = а/2Рг)Лг'и'. Таким образом, г+2 2г+1 )г+т' — 2г+1 д" ! /)/"' — "+ 1 Р~! ! У"' — " — Р) г-р 1 д!" 2Рг! й (46.6) Теперь сделаем проверку того, что действительно найденная функция ф удовлетворяет написанным выше условиям, т.
е. покажем, что при дауд!= а/Р выполняется равенство д!р/ди = 394 плоские петен Ационные волны Рл. чп1 = (аФ) (и — р). На характеристике и = (2г + 1) (г + 2) Ю2 (г + 1) — )/Б имеем г+1 2г+3 р 1" 2г+1д а г+1 У г+а — — 2""В ~2 )/Ж— 2г+ 1 2г+ 3 1г — — р 2 г+1 3. 2мат г+— 1 а а г! =— Р Далее, — = — (г+1) !) х г+2 2г+1 ~г г 2г-(-1 УВв и+ Р) (ггЖ вЂ” и — . Р) г+ 2 2г+1 1г~т ( 2г ! 1 г-т д ~ г+1 2 — /)ГХ!1 — и+ — —, Р1 ()/Л) — и —,, Р) ')гТ д1 Отсюда следует, что !)(г+1) д 2аХ(а (2~/гг, 2г+3 2г+1 Р|" ~+1 — 2г+1Л 3 ' ~2 /Л( г+3 г+ р1~ Производя вычисление, получим 1 — = — 2 (г 1 1) !)г! Я ' ~2~~А( — =, Р1— дф, ' а à —. 2г+3 2г+1 ди = ) .
г+1 2 1 — 2!)г! В ' [2(г — 1) ~фИ вЂ” — + — 1- Р) + 2)/И1. Отсюда д$ а 2г+3 2г+1 р 2г 2(2г+1) г'В!а ди Р г+1 2 2(2г+1) 2(2г+1)Р или дф !' 2г+3 .,гЛ вЂ”.1 а ( 2г+3 р (2г+1) (г+2) 1 а ди ).2(г+ 1) гР ™ ) Р ~ 2(г+ 1) 2(г+1) ( Р, вазлкт пгодгктов двтонлпим откуда дф/ди = а (и/Р— 1), т. е. функция ф действительно удовлетворяет написанным выше условиям и Гг ив О. Когда волна разрежения, описываемая функцией ф дойдет до точки слабого разрыва, воаникнет новое решение; очевидно, что это решение будет также особым, поскольку за точкой слабого разрыва и и с постоянны. Определим координаты точки слабого разрыва и возникающее особое решение. Поскольку при атом имеем и = у'В1 — (2г+ + 1) Р/2, причем и = О, то у'"В1 = (2г + 1) Р/2; отсюда Особое решение напишем в виде и = = Р— )/В1, х = (и — с)1+ Р(с).
(46.8) Р— 2с 2г+ 1 Поскольку х = и1 — дф/ди = и/+ (й /Ни) (дф/д1) + Р (1), то Р(с) = = Р(1) = — дф/ди = с дф/д1 — дф/ди (с = — «1йЬ). Отсюда х= 2г+ 1 — / ~ дФ дФ - / $ 2 Р1 — 4(г+ 1) г1/ — 1 — — + 2 — у — . М ди д1 А Поскольку Ии = — 1/2 Г/В/'1«1 = — )/~И у' с, то офУи = дф/ди — 2 )/ГА дф/д1 = — 2«ф/«1)/1/В или сор/«и = = — («/ф/«)/1) 1/)/ В. Таким образом, х —,Р/ — 4(г+ 1) ~' — г —— 2г+1 -/ 1 «$ 1 2 «)/Т )гя или, раскрывая вдольхарактеристики и = — у'В1+ (2г+ 1)Р/2 величину производной аф/Н~ 1, придем к результату х=, Рг 2г+ 1 4(г+1))'Й а г (2 $/Ва + Р) ()//о — Р) «)Г~" 13 Формулы (46.8) и (46.9) определяют полностью особое решение, возникшее при подходе волны разрежения к точке слабого разрыва детонационной волны.
Для волны разрежения, идущей от левого конца заряда, мы получим аналогичные решения. Для того чтобы их написать, достаточно в соответствующих формулах, 396 плОские детонАционные Волны (ГЛ. г'Ц1 написанных для правого конца заряда, заменить а на Ь, х на — х и и на — и.
Тогда будем иметь Ь дг-1 7= „, х г~- — дг 2Рг( /? г+2 2г+1 1г+1/ — 2г+1 + + г'+1 2 / (~ ~+ 2 ) . (46.10) Х )/( Для координат точки слабого разрыва будем иметь У,= — (, '+ ); — х,= — (, "+ ) . (4611) Особое решение, возникшее при подходе волны разрежения к точке слабого разрыва, опишется формулами и = ь/г?/ —, -р; 2г+ 1 2 2г+1 4(г+1) 3~Т .,гг1 2г-1 У вЂ ,. (46.12) Определим теперь координаты точки встречи двух волн разреже- ния (46.9), (46.12). Очевидно, что при этом и= О, с = 2?гй?= = Р/2. Далее, р х ха 2 (( /о) для праВой Волны, х = х„+ —,(7 — (ь) — для левой волны. Нет необходимости вычислять значения д"/ (1)/(с?)/ г)", поскольку скорость фронта особой волны разрежения определена; для пра- вой волны она равна — Р/2, для левой Р/2.
Иэ полученного на- ходим зг+з ~ а ь / 2 +з ) а+ь 46 х — ( ( )/ —,, 1 — (, ( „1)/ р . (46.16) После встречи двух волн разрежения воаникнет новое решение, область существования которого будет лежать между этими двумя волнами разрежения. Это решение определяется весьма просто. Нужно найти такую функцию фю которая обращается в нуль 397 % ае1 глзлкт пгодгктов дитонлцин на характеристиках -~- и = (2г + 1)Р/2 — 1/ Л1.
Поскольку х = (и — с) ~ + Р (1) = и~ — дф,/ди, то дфо / Ш дно дфа ) дно но г" (с) = — оф/ди; отсюда для правой характеристики имеем фо = ф + сопз1. Далее, поскольку х = (и+ с) С + Р (1) = и/ — дф,/ди, то У (с) = — дф,/ди = — дфди; отсюда для левой характеристики ф, = ф + сопз$.
Теперь легко видеть, что Фэ=1г+Ч (46.14) В самом деле, поскольку при и = (2г + 1) Р/2 — ГгЛ1 мы имеем ф = О, то ~Рэ —— ф„а при и = — (2г + 1) Р/2 + )/ Л1 имеем ф = = О, откуда фс — — ф. Никакая иная комбинация ф и ф не удовлетворяет поставленным условиям. Итак, дг — 1 +Ь(0 + + 4 Р/~ (О.,— 4 Р/ 1 ~ (46'16) где Ог = к" Л1 — и; Оэ = 1/ Л1 + и; Л = 2 (2г + 1). Координаты точек сопряжения различных решений можно определить, исключая вдоль соответствующих характеристик ив уравнений с = дф/де и х = ис — дф/ди величину 1.
Однако уравнение линий сопряжения проще определяется из условия дх/с(с,= = и ~ с, где на характеристиках особых решений и и с ааданы. Здесь нас не будут интересовать значения х = х (/) для любых г, а только значения х для г -~ оо, поскольку в основном необходимо выяснить распределение масс, импульсов и энергии при полном разлете продуктов детонации в пустоту. Определим значение написанных выше функций при с -~- оо. Очевидно, при ~ — о теплосодержание 1 стремится к нулю; поэтому, определяя / из функции ф получим 1 2/ь'! я (другие члены при дифференцировании необходимо при приведении выражения к общему анаменателю 1 О+'/В умножить на 1", где а ) О и при 1 — О все они стремятся к нулю).
398 (гл. Тн! ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ Далее, х = иг — дф/ди; по указанной выше причине можно при 1-+ 0 пренебречь членом дфгди и положить и = хгг. Отсюда г+— 1 г+— 3 з (г!)э Л з 2м (46.16) Поскольку скорость фронта разлета равна = (г + 2) (2г + 1) Р/2 (г + 1), то закон движения выразится так: г+ 2 2г+1 3!г — 1 хгр =, Р! = Р) г+1 2 й~ — 1 И = и„р —— этого фронта (46.17) Для особого решения будем иметь и =- хгг, и = (2т + 1) Р)2; отсюда х = + Р).
(46 18) э (г!)гВ з2~ Ь (г+ 2 2г+1 х ")г'г !2г-)-1 х )г (2г+1)! 1 з(г!)г)г з2м (46.19) Займемся теперь вычислением масс, импульсов и энергий, движущихся в противоположные стороны. Сначала проведем предварительные преобрааования. Очевидно, что Р— Рн( ) или 1 1 Таким образом, в области особого решения, размеры которой при 1-г- оо возрастают, как с ", масса, количество движения и энергия будут стремиться к нулю, поскольку ЬМ ° рЬх — сг+'. Таким образом, при с — г. 0 действительно ЬМ -~- О. Решение, характеризуемое функцией фю будет определено в интервале — (г + 0,5)Р( ( х < (г + 0,5) Р1, причем веаде и = 0 при конечном х, поскольку и = хг1.
Таким образом, используя результат (46.16), будем иметь 399 РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАПНИ Отсюда 1 1 Поскольку теплосодержание на фронте волны равно ( 2г+3 )1 2г+1 то 1 1 ~ г Р ! 2г+ 1 ')г+ о г (2г+ 3)о<г+1! Ро " / (г + 1)1 !"+П 21 !"+1! Обозначим значение р на различных интервалах индексами: на интервале решения 1Р— индексом а (р,), на интервале ор— инДексом Ь (Ро), на интеРвале волны оро = 1Р + ор — инДексом аЬ (р„), при этом, очевидно, р о = р, + ро, что следует непосредственно из опРеДелениЯ оро =, ор + 1Р, тогДа А,! !Р1 = ~ р,( — ) Нх+ ) р,о( —,) дх = А,! о А А~ = 1~~ р,— ", за!(з+ ~ р, — А! — А,! !Ро= ~ Ро( ) !(х+ $ Рао( ) — А~! о — А — А~ р зао(з+ ) р за!1з~ о о (46.20) а (Ао — 1)го1 (А1+г )" (2г + 1)! (г + 1) !г+1! 21"+о Ра Ро Р! /1~" ~~ (2г + 1) <" о1! (2г + 3) !га1! (г!)1 Ро Ь (Ао + 1)"о1 (А! — 1)" (2г + 1)! (г + 1)1 !+1!21"+о (46.21) р.
Ф"" (2г + 1)' !"+'! (2г+ 3)' !"™ (г!)о Здесь области 1Р и (1Р соответственно) являются областями первых волн РазРежениЯ, а 1(1о — областью сРеДинной волны, пРичем з = х/1; А1 = (2г + 1) 1)/2! Ао = (2г+ 1) (г + 2)/2 (г + 1); !() = (г + 2) А /(г + 1). Интегралы(46.20) при а = 0 дают значения масс М1 и М„идущих в сторону а и в сторону Ь; при а = 1 они дают значения импульсов11и11 и при а = 2 — значенияудвоенныхэнергий й ийо.
Займемся вычислением интегралов (46.20). Определим сначала, исходя из проведенных выше преобразований, значения раиро: 400 <гл. уш плОские детонационные ВОлны Тогда будем иметь А иг« = О„«<а ')(Ао — г)""(А, Р г)" г" Аг+ + Ь ~ (А, + г)"" (А, — г)г г" ««г); о — А и«о = ~ „, ~Ь ~ (А,+ г)""(А,— г)" г" «(г+ — А + а ~ (А, — г)"" (А, + г)" г" «(г~, о (46.22) где (2г + 1) ! (г+ 1)о <г+«! 2м+з (2г+1) < ««(2г+3) <"о«!(г!)о $„= ~ (А, — г)ом (А, + г)" г" «(г; о А = ~ (А, + г)" '(А« — г)" г" «2г. о (46.23) Очевидно, достаточно вычислить $о, тогда задача вычисления З«и $, интегрированием по частям легко сведется к задаче вычисления $о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
