К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ниже мы покажем более точно справедливость этого допущения. Уравнение (43.20) показывает, что вид уравнения состояния, к которому мы пришли, является достаточно общим и позволяет рассматривать продукты детонации конденсированных взрывчатых веществ при больших давлениях как некоторую среду, подобную жидкости, атомы или молекулы которой совершают определенные колебания около положения равновесия. Значительные отталкивательные силы, которые при этом действуют в подобной среде, и определяют в основном величину ее внутреннего давления, т. е. определяют ее в большей степени, чем тепловое движение молекул. Механиам детонации подобных конденсированных взрывчатых веществ значительно отличается от механизма детонации газовых смесей; если в газовой смеси детонация происходит на фронте ударной волны вследствие аначительного повышения 366 [гл.
чп ТЕОРИЯ ДЕТОНХЦИОННЫХ ВОЛН температуры, то в конденсированных взрывчатых веществах детонация происходит вследствие того, что ударная волна, идущая от инициатора, деформирует молекулы взрывчатого вещества. Молекулы, распадаясь, выделяют при этом некоторую энергию (теплоту реакции Г)).
За фронтом ударной волны начинается одновременно с выделением теплоты реакции расширение продукгов детонации, и на фронте собственно детонационной волны давление в два рава меньше, чем на фронте ударной волны. При этом могут возникнуть местные высокотемпературные очаги; вследствие весьма неоднородной структуры начального соединения эти очаги также будут способствовать развитию энергии и, следовательно, детонации. Для описания состояния продуктов детонации необходимо, как мы показали, воспользоваться уравнением состояния твердой (или жидкой) среды.
Статистическая физика дает следующее выражение для свободной энергии г" твердого тела: Р = Ф(ч)+Лйт)п,„,"",, (43.24) где ы — средняя частота колебания атомов, Ь вЂ” число степеней свободы одной молекулы, к — постоянная Больцмана, Ь— постоянная Планка. Отсюда для давления получаем выражение р = ( — — ) =Ф(ч) — Л)Т вЂ”, дг" ~ ОЭ' д» )т ы (43.25) где де — Ф=— дч причем на основании теории твердого тела можно считать, что ы = ю (ч) и ю' = ды/дч. Вид Ф (ч) может быть установлен, поскольку силы взаимодействия между частицами описываются выражением ~ = Аг-"' — Вг ", Ф (ч) = Моч-" причем этот член в уравнении состояния описывает именно внутренние силы, действующие между частицами. Уравнению состоя- где г — среднее расстояние между частицами; первый член опре- деляет силы отталкивания, а второй — силы притяжения. Так как лг ) л„то при малых г силы притяжения несущественны, и мы поэтому можем принять, что з дз~ дйтонлцня кондвнснвовлнных взгывчлтых ввщкств 367 ния (43.25), как легко видеть, соответствует уравнение состояния вида ж 1 р = Ф (ч) + /д/(Я) о'о (43.26) причем Вй Т = — /"д/ ( Я) о ' .
(43,27) Поскольку оба эти уравнения являются уравнениями состояния одной и той же среды, они совершенно тождественны уравнениям (43.2д) и (43.23); сравнивая уравнения (43.26), (43.27) с уравнениями (43.2/) и (43.23), приходим к выводу, что дд/(8) = е " ; ~ч ' = о'о " или -//ст кь/ст Вводя для краткости обозначения /' (т)/ч = /р (ч), будем писать основное уравнение состояния в виде р=Ф(ч)+/р(ч) Т.
(43.28) Определим теперь величину внутренней энергии при заданном уравнении состояния (43.28): /) Е = ст ЮТ вЂ” р /)т + Т ~, сБ = ст /)Т вЂ” Ф /)ч, Е = с, Т вЂ” Фы где Фд = ~Ф/дч. Е=с ~ ~ — Ф,. (43.29) Исключая величину Е из (43.29) и уравнения энергии Š— /,д = — (т — т), Р 2 найдем, что 2 ) /7 + /в + с р= т ~р (43. 30) 2ст — — (чо — т) 7 Исключая величину Т из (40.28) и последнего равенства, придем к выражению ' (гл. чы 368 ткогня дктонлцнонных волн Поскольку Ра = ч', рЦчс — ч), то Ф ()+ Ф~+ с а ра чо — ч (43.31) 2сч — — (чо — ч) ор Подставляя в последнее уравнение величины а)з = ЛХоч— -м, и считая, что 1 постоянно, придем к такому уравнению, определяющему скорость детонации: М, сМ.
— ча™ + — ',а-м Р чо Йо — 1 / чо — ч 2с ч — — (чо — ч) (43. 32) Примем теперь в уравнении (43.32), что чо = (й+ 1)ч/й; тогда зто уравнение можно написать в виде ,. „„„,Г--"-'~ — "-..' И вас ~ (')+))1о( м 1 ) ( й рс) 1 (43 33) ( Отсюда, принимая для упрощения на некотором интервале й = = сопз1, определяем (о()с. — 1) 2 2а = Ао+ ~2ра м' ь 2(а+1) — — 1 (43.34) где А М (" 1 ) ~й+$)'-' Выведенные формулы показывают, что действительно при больших начальных плотностях взрывчатых веществ скорость детонации сильно зависит от плотности; при малых плотностях скорость детонации практически от плотности не зависит и является функцией $43! детОКАция конденсиРОВАнных В3РыВчАтых Веществ 369 лишь теплоты реакции.
Действительно, в случае идеального газа А)' = 2 (/сэ — 1) ф. (43.35) с <е г (43.36) где с — скорость звука в продуктах детонации, г — среднее расстояние между молекулами. Заметим, что частота колебательных степеней свободы действительно обратно пропорциональна г, а частота вращательных степеней практически от г не зависит; приближенно формулу (43.36) можно написать в виде (43.37) где с< = 1/3 для колебательных степеней свободы и с< = 0 для вращательных степеней. 'Гак как ( — др/дэ)В = р/(тс — ч) = /ср/т, то , Ч вЂ” т+1 — эа <е — ты" ( Р '1 — т з (43.38) ,т1 Дифференцируя уравнение состояния (43.25) по Т, имеем др са' ( — а+1 — 2а) Лс. дТ <с Ес (43.39) Сравнивая это выражение с первым выражением (43.18), приходим к уравнению, определяющему /с: (й — 1 — 2с<) —, = — [/< — (2а + 1) [.
(43.40) ~с Отсюда /с'(р — 1) — й [(2а+ 1) р — 2е — (а+ 1)] — (1 — 2с<) а = О, (43.41) где р = 2с„/Л.6. Как мы видим, при данном а значение /с зависит от параметров с<и р. Если положить, что в пределе при больших сжатиях 11Ь = с„то () = 2, при этом с< = 1/3, так как Необходимо теперь определить параметры уравнения состояния Мс, /с„/, /с с тем, чтобы это уравнение, с одной стороны, хорошо описывало бы поведение плотного газа и, с другой стороны, в пределе — состояние идеального газа. Для решения этой задачи поступим следующим образом.
Введем некоторую гипотезу относительно средней частоты колебаний молекул иб на основании соображений размерности полон<им, что 370 [гл. чы ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН основном почти все степени свободы колебательные. Тогда 9а+ 5+ У 81ао+102а+ 25 (43.42) 6 (Знак минус перед корнем соответствует нереальному значению.) Если считать, что в среднем оо = 1/6, то за+ 4+ о'81ао+ 96а+ 16 6 (43.43) Если же считать, что р — 2,5, и == 1/6, то будем иметь 24а + 11 + о' (24а + 11)о + 144а 18 (43.44) В случае 6 = 2 мы получаем из (43.27) з согласии со статистической физикой, что ю — Т.
Зная /с, мы сразу же определяем параметры фронта детонационной волны, а также постоянную О (Б) в уравнении (43Л6), поскольку рчо = р„ч„. (43.45) Эта постоянная будет являться функцией р„ а следовательно, функцией энтропии. Сравнивая изэнтропу рч" = О с изэнтропой (43.25), которую теперь можно написать в виде Π— 1+йа 1 Р = Моч "'+ /Уо(Е)ч ( 6 /, (43.46) мы устанавливаем несовместность обоих выражений при й = сопэ1, так как йо+ 1 + (и — 4 + 2со)/р.
Однако практически в широком интервале изменения ро всегда моя<но изэнтропу (43.46) приближенно аппроксимировать изэнтропой (43.16) даже при постоянном 7с. Перейдем к вычислению остальных параметров уравнения состояния, а также температуры. Поскольку внутренняя энергия определяется выражением (43.47) с)Е = с» йТ вЂ” Моч о с(», то Е=с Т+ ' »1-'. ао — 1 (43.48) Сравнивая это выражение для внутренней энергии с первой формулой (43.2), будем иметь 1 лз) днтопапия кондвисиговаикых взрывчатых внщвств 371 Поскольку Мота «' 1 Йо — 1 Йо — 1 = — [рч — ВЬТ(й — 1+ 2а)/2] = [йП«!(й+ 1)' — Яй(й — 1+ 2а) Т(2], то соотношение, определяющее температуру ка фронте детопациои- кой волны, будет иметь вид 2й+ 1 — йо 2 (йо — 1)(й + 1)о с«Т с«Тя— [) (йо — 1) (43.50) Так как р/ (то — т) = .0'/о~о, то давление на фронте волны будет определяться соотпоптепием Р=ря= — Рог« = ° (43.51) то о й+1 ' Вспомним выражение для плотности на фронте, вытекающее из (43.17): Ре= Й Ро.
й+1 (43.52) Зная р„, ря, Т„, легко определить слагаемое давление в уравнении, ие зависящее от температуры: -«Г Ро 1 роР« (йо 1) ~о~в = (йо ) Ря[ 2 () ( 1р + (о« ~т~я1 = 2Й(й Х й — 1+ 2а — 2Й[л [) (йо — 1) [(й — 1+ 2а)) (й+1) Рм«43 53) й — 1 + 2а — [) (Йо — 1) + Й(й — 1+2а — [1) (Йо — 1) ° ( Из формулы (43.50) видно, что когда В = 2(йо — 1) (Й+ 1)о 2й — Йо+ 1 (43.54) то Т„= 0 о).
При этом определяется, как мы сейчас увидим, величина йо. Приближение температуры к абсолютному нулю может произойти при зяачительно бблыпих давлениях, чем те, которые развиваются при детонации; во всяком случае с увеличением плотности (а следовательно, и детоиациоиного давления) температура иа фронте детокационкой волны будет заметно падать. Поскольку при малых температурах тепловая компонента давления будет мало влиять на величину давления, то в пределе ') Точнее говоря, прн этом Т„= То, где То — начальвая (комнатная) температура ВВ. 372 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН 1гл. чн при Т = 0 можно считать, что р = М Р "', (43.55) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
