К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Это обстоятельство, как будет покааапо ниже, позволяет изучать распространение не только плоской, но и цилиндрической и сферической детопационных волн, исходя из ураздений, описывающих автомодельные движепия, 389 в вв] РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАПНН 4 46. Разлет продуктов детонации «) Схему разлета продуктов детонации можно представить относительно просто. При произвольном положении детонатора, находящегося внутри цилиндрического заряда, площадь сечения которого примем за единицу, в процессе детонации возникают две детонационные волны, одна из которых движется направо от детонатора, а другая — налево.
Рассмотрим сначала, что происходит с волной, распространяющейся направо. Эта волна, как мы уже знаем, является простой, т. е. описывается особым решением и характерна тем, что ее параметры являются функциями хй. Когда детонационная волна доходит до границы заряда, начинается разлет продуктов детонации. При этом характерной особенностью разлета является то, что скорость движения частиц скачком достигает своего максимального значения, определяемого, как мы знаем, особым решением. Плотность или пропорциональная некоторой степени ее местная скорость звука, напротив, скачком уменьшается до нуля.
Распределение скорости и плотности в продуктах детонации может быть найдено, только исходя из общих решений уравнений газовой динамики, что объясняется следующей причиной. Когда детонационная волна достигнет границы заряда, возникают две волны; одна из них может быть интерпретирована как волна разрежения, идущая от границы заряда вглубь, а другая распространяется в пространство. Таким образом, особое решение здесь уже не может иметь места, поскольку оно справедливо лишь для волны, бегущей в одном направлении с постоянными параметрами на фронте, а в глубь заряда бежит волна разрежения, параметры которой на фронте постепенно убывают.
Это общее решение необходимо подчинить двум граничным условиям. Первым условием является распределение параметров и и с по вертикали, т. е. движение начинается в точке х = а; вторым условием является сопряжение нового решения со старым особым решением. Если разлет продуктов детонации происходит в пустоту, то для полного описания этого процесса достаточно тех двух уравнений газовой динамики, которыми мы пользовались по настоящее время.
Если разлет происходит не в пустое пространство, а в среду заданной плотности, то перед фронтом продуктов детонации возникнет ударная волна переменной амплитуды, вследствие чего энтропия на ее фронте будет непрерывно меняться, и, чтобы получить полное решение задачи, необходимо исходить уже из трех уравнений газовой динамики. Ограничимся пока изучением разлета продуктов детонации в пустоту. *) Этв задача была решена автором в т945 Г, 390 [гл. чсн плОские детонационные ВОлны Новое решение, о котором мы говорили, будет иметь место до тех пор, пока фронт волны разрежения не дойдет до точки слабого разрыва особого решения для детонационной волны. При этом возникает новое решение.
Нетрудно видеть, что это новое решение будет опять особым решением, так как за точкой слабого разрыва плотность или местная скорость звука остаются постоянными, а скорость движения частиц тождественно равна нулю. Следовательно, бегущая внутрь заряда волна будет обладать постоянными параметрами на фронте, т.
е. свойствами, которыми как раэ характеризуется особая волна. Это особое решение дает зависимость скорости и местной скорости звука уже не как функции от отношения хй, а более сложной функции от х и 2. Аналогичное рассуждение можно провести и для левого конца заряда, в результате чего мы придем к тому, что две простые волны раэреясения, одна иа которых бежит от правого конца справа налево, а другая — от левого конца слева направо, встретятся. Тогда в момент встречи возникает новое решение, которое опять не будет особым и может быть найдено только из общего интеграла уравнений гааовой динамики.
Этот общий интеграл можно найти, исходя из двух граничных условий сопряжения его с правой и левой простыми волнами. В результате мы будем иметь пять решений, сопряженных между собой на четырех линиях. Как мы увидим дальше, крайние и средние общие решения будут распространяться с течением времени на интервалы, растущие пропорционально времени, а средние простые волны будут продолжать существовать на интервалах, сохраняющих ограниченные значения. В силу этого при .', стремящемся к бесконечности, массы, находящиеся в этих интервалах, будут стремиться к нулю, и мы их из дальнейшего рассмотрения можем исключить. Таким образом, полное решение состоит из пяти отдельных решений (включая детонационную волну, будем иметь семь решений, не считая тривиального и = О).
Найдем решения для раалета продуктов детонации газа, занимающего некоторый цилиндрический объем при произвольном положении детонатора в случае 2г+ 3 2г+ 1 Начало координат, как и в предыдущих задачах, поместим в точке, где началась детонация„длину правого участка заряда обозначим череа а, левого — через Ь. Сначала будем вести рассуждения для правого участка.
Детонационная волна, как мы внаем, характеризуется уравнениями х 2с — Р— =и+с, и = Ф ' з — 1 (46Л) 391 1 вв) глзлвт пгодтктов двтонлции Для удобства дальнейших преобразований н вычислений выразим с через теплосодержание 1 и /с через г. Тогда, поскольку с = ~~(/с — 1) Е = )/2(/ (2г + 1), получим 2( / ( 2 — 2 У/т= я = я (46.
2) где В = 2 (2г + 1), /г' = 7 9 = фг Л(. Значения и и 1 на фронте детонационной волны будут /) 2г+1 из = — =, 0; й+1 2(г+1) Ьг/)' 2г+1 / тг+3 )в (Š— 1) (В + 1)" 2 [ 4 (г + Ц / В момент времени 1 = аЮ в точке х = а начнется разлет продуктов детонации, т. е. возникает новое решение. Это решение может быть определено наиболее просто следующим методом. Выпишем (см. гл. 1У, 2 15) общее решение в обычном виде (15.33) и (15.26) д" г Рг[ 1/2(2г+1)(+ а) +Рв[ гг2(2г+1) ( — а) д(г-~ )гр (46.3) дф х=и8 — —. ди дт д( Для определения Р, и Рв имеем следующие условия: — 2г+ 1 1.
Вдоль линии и = [/Л/ —, В имеем 2 дф х = (и + с) 1 = и/ —— Это предположение, как мы покажем ниже, является справедливым. 2. При 1 =- дф/д( = а/З имеем а дф х=а=и — — —, ди отсюда с = <ИИи и (й/Ии) (дф/д() + дф/ди = О или Нф = О, ~> = сопз1. Поскольку ф определяется с точностью до постоянной, то всегда можно полагать, что вдоль указанной линии ф = О. Отсюда вытекает предположение, что при атом Р;=О. (46.4> [гл. Егп плОские детонхционные Волны т. е.
дед[ = а[Р должно быть дт а — = — (и — Р). ди Р (46. 5) г' = Рз [ф Ж вЂ” и + А !"', причем, так как д"- Г Р. — ~= []/А[ — + А ]"'! = О, д1" ' 'с у1 д» 1 = —.„~ — »Яй — и+ А,]" ~ = Р + О, д;г угу где г"'э — некоторая новая функция прежнего аргумента, то = г, А, = и„— у'Л1 = — (2г + 1) Р/2.
В свою очередь можно предположить, что а,= 7, = ]] [)»гБ — и + А,Г'. При 1 — ~ 0 величина скорости и стремится к определенному пределу А, поскольку прн 1 = а]Р х = а, ~]» д[в О. Значения р, А, и а, определяются из следующих условий. На линии »вЂ ., г+2 2г+1 и= — у )т[+ — ", Р, г+1 2 которая является характеристикой уравнения, определяющего ф имеем 2г+ 1 д» [ "г»Ж — и+ Ас]"»~ У~Ъ вЂ” и — —.Р~ 1 — ]3 2 д[» У'1 1 Г 2+г 2г+1 )с» ( г з р д» [2[2»+1)с+А» — +1 2 Р] 2г+1 2» д» с»»т Х х ~ — 'г "2 ' Р (1+ 2+ » ~ — лс~" = — ' Исходя из того, что на этой характеристике всегда 1 = аЮ, в частности и при с — ».
0 (1 — ~. 0), определяем аз = г+ 1, А,= = (г+ 2) (2г + 1) Р~2 (г+ 1). Характеристика и = — Ггг[с + —,, Р г+2 2г+1 г+1 2 Это условие позволяет определить г' . Поскольку ф = 0 вдоль осо- бого решения, то можно предположить, что г, имеет вид 393 1ы! РАЗЛВТ ПРОДУКТОВ ДКТОНАЦИИ определяется из следующих условий. В начальный момент раз- лета в пустоту 1 = 0 всегда воаникает особое решение и = и + 2 (с„— с) / (й — 1) = (Зй — 1) Р / (й' — 1) — 2с/(й — 1) или и = — )/Л1+ — Р. г+2 2г+1 г+1 2 Предельная скорость разлета, таким образом, будет г+ 2 2г+1 ипр=АВ = — — Р. г+1 2 Далее мы увидим, что определенная нами функция !р удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, она единственным образом описывает процесс разлета, ибо не может быть двух физических процессов при одинаковых начальных и граничных условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
