К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Для определения параметров продуктов детонации, разлетающихся с поверхностных слоев вблизи заряда, можно получитЬ уэчные решения уравнений газовой динамики, ~ мй иствчкник пгодтктов двтонхции с косов повкрхности 415 В системе полярных координат, для которой точка пересечения детонационной волны с поверхностью заряда покоится н является началом координат, будут иметь место уравнения ди и ди юР 4 др и дг г дз г р дг дм и дв шо 1 др и — + — — + — + —— дг г дз г гр до д д — (риг) + — (риг) — 0; (49 1) =0; = — О, Ыи — = пг дд = 1др ! Ь), — — = — ц~ и+ — ~; , дВ = (, дд ) ри + — (~ д (49.2) Рвс. 49.
Вводя скорость звука и сделав следующие преобразования: дд +ю(и+ дз) = 0; йо ид!ар "+ де+ дз =О мы, умноя~ая последнее выражение на иг и сравнивая его с первым, где г — радиус-вектор, 9 — полярный угол, и — радиальная компонента скорости, ю — тангенциальная компонента скорости, р— плотность, р — давление газа. При сделанных предположениях вблизи поверхности разлета при малом г все параметры мало зависят от г. Положим, что параметры являются функциями только одного полярного угла О; в этом случае движение газа будет автомодельным, поскольку число независимых переменных в уравнениях уменьшится на единицу. Подобный вид плоских движений газа носит название движений Прандтля — Майера (см. 3 И, уравнения (И.25), (И.26), (И.28).
В этом случае уравнения примут вид 446 [гл. хгн . плоские детонАционные ВОлны получим (49.3) 2сгн а+1 г А+1 г 7г = ог + —" = и' + — сг = и' + — с'. (49.4) н н й — 1 н а — 1 н Ь вЂ” 1 Поскольку гги — = гс = с, ла то 1и ../а — 1 — = 1/ — (ог — и'), ~в =У а+1 откуда следует, что и /Ь вЂ” 1 — = соз 1/ — О; а+1 (49.5) (49.6) отсчет углов О будет вести от линии, где и = он (на рис. 49 линия ОС), по часовой стрелке. Далее из уравнений (49.5) и (49.6) следует, что иг = с =- — 9 1/ зш 1/ — О. — /~ — 1 а У а+1 У В+1 (49.7) Местный угол Маха определяется уравнением Определим область существования решения для рассматриваемого случая.
Как видно из рис. 49, в принятой подвижной системе координат, обладающей скоростью Р/з(п а, мы будем иметь с„16 а/Р = (1я а) (19 Мнр), откуда, производя замену сн = = ИЭ!(й + 1), получим ь 1яа =- — фа =гя —, й+1 2' (49.9) чем определяется положение линии ОА. Вне линии ОА имеем область постоянной скорости. Значение угла у, определяющего об- Таким образом, решение нашей конкретной задачи нужно искать исходя из условия, что тангенциальная составляющая становится равной местной скорости звука.
Поскольку заданы начальная скорость потока д и начальная скорость авука сн, то,исходя иа уравнений Бернулли, легко определить максимальную скорость дн, которую приобретает газ, истекая в пустоту, а также зависимость скорости от угла О: ласть существования решения, найдем, исходя из формулы (49.8): "Ь вЂ” 1 /й=1 й 18 М = р: 19 1/ — т = 1аи = 19 и, й+1 В/ й+1 й+1 откуда / й — 1 ~к 1/ й+1 = )/р — * (49.10) В области у все параметры являются функциями только угла О.
Линия ОС обозначает границу разлета. Очевидно, что при 0 = у с = св, причем, испольауя формулы (49.7) и (49.10), получим . / й+1 /'й-1 Чв = 1/ — с„ совес )/ Т. У й+1 (49Л1) Отсюда, введя обозначения: получим / й+1 соей в1п 7 в1п е =с= с„— впо т (49.12) Определим теперь значение скорости в обычной, неподвижной системе координат. Угол между радиусом-вектором и первоначальной границей заряда есть 1р = р — 7+0 — и.
(49ЛЗ) Зная угол расчета н учитывая переносную скорость Р/в(п а, придем к результату: О ., /йв — сов'а в!па Р йв — 1 (49 Л4) Проекция скорости на радиус-вектор будет В Г /й' — сов'а /й — 1 и = —. ~ )/ сов )/ — Π— сов Р— Т+ Π— а)~ . в~ва ~~/ йв — 1 У й+1 (49Л5) Проекция скорости на перпендикуляр к радиусу-вектору будет Р Г- /йв — соева . / й — 1 п = —.~)/ в!и )/ — Π— в)п(~ — Т+Π— а)~ . вЬа))/ й+1 )/ й+1 (49ЛО) 1 мя истнчвнив пгодтктов двтонхцни с косоа повкгхностн 417 [гл. чп1 418 плОские детонационные ВОлны Угол между границей заряда н вектором скорости ф определяется формулой ге 1'т' Ч) = = ° (49.17) и Полученные формулы дают возможность определить, как скорости и плотности разлетающихся продуктов детонации зависят от угла Рвс.
50. разлета и от угла встречи. Анализ решений показывает, что радиусы-векторы, соответствующие максимумам плотности импульса ( рд, где д' = ис + Е'), энергии ( рд'), мощности ( раас), со- 1 мн исткчкннк пгодуктов дктонации с косов повкгхности 419 ставляют почти один и тот же угол е с нормалью к поверхности заряда. Этот угол зависит от и и й. На рис. 50 даны максимумы плотности энергии при а = 90 и 45' и й = 3, 7/5.
С увеличением й и а этот угол уменьшается. В случае й = 3 для а = 90' угол е составляет 9', для а = 45' угол е = 14', что хорошо согласуется со специально поставленными экспериментами. Наибольший интерес представляет более детальное рассмотрение случая разлета продуктов детонации с боковой поверхности взрывчатого вещества, т. е. тогда, когда угол а = и/2. В этом случае П Л и= —. 7= —. 8=и ф=О' з ' з / й+1 й11 ./ й+1 / й — 1 У й — 1 " Р'~Р 1' й — 1 " й-1-1 /а — 1 ( Ь ю= саз1п р' — О, О =Р ~ соз ~г Π— созО~; +1 = ~уй.
1 ~' й+1 — ( и в = Р— -з1п ~г — Π— з1пО~; 19(ф — 0) = =; (й+1 г' й+1 г (49 18) уф=†ан ио (49 19) где из = 2с,Дл — 1) = 2йР!(й' — 1) есть скорость, направленная по нормали к поверхности заряда, а и„=- РЯй + 1) есть скорость, направленная вдоль поверхности заряда; полная скорость разле- та, очевидно, определяется соотношением (49.20) Отсюда 18ф= зй (49.21) Для типичных взрывчатых веществ й = 3, $ = 18', д = 0,8Р. Воаможно также приближенное, очень наглядное решение этой же задачи, основанное на предположении, что после прохождения детонационной волны через заданное сечение заряда разлет поверхностных слоев под действием внутреннего давления в системе координат, движущейся вместе с фронтом волны, происходит перпендикулярно к поверхности заряда.
'Гогда в неподвижной системе координат разлет продуктов детонации будет происходить под углом ф к поверхности заряда, причем этот угол определяется иа очевидного соотношения 420 [гл. чш плоские детонАцнонные ВОлны х Р х Р и= —,, — —, с= —,+ —. 'ч 4 ' 28 4 (49.22) Из теории характеристик для определения фронта волны разрежения будем иметь уравнения ф+и д ) = с ~(зх) +~эх)], (49.23) где ~р (х, у, 1) = 0 есть уравнение характеристической поверхности, т.
е. фронта волны разрежения Я 5, уравнения (7.12) — (7.14)). Указанные закономерности особенно часто проявляются прн детонации какого-либо протяженного заряда взрывчатого вещества. Коли мы, например, желаем получить фронт разлетающихся продуктов детонации плоским, то для этой цели необходимо взять протяженный ааряд в виде угла, причем величина этого угла Я, очевидно, определяется соотношением Я = 180 — 2ф (рис.
51). Заканчивая исследование про- цессов, происходящих при рази лете продуктов детонации в пусто- ту, следует отметить, что примеФ пение уравнения изэнтропы рт з = сопз$, где й = 3, как мы знаем, Ю справедливо, лишь при давлениях Рвс. 51. р) 2500 кг!см', при давлениях р 2 500 кг/смз необходимо пользоваться уравнением иззнтропы рч" = сопз1, где 7 = с„/с = 7!5; 5/4. Однако головная часть продуктов детонации, для которой справедливо уравнение иаэнтропы рч" = сопз1, весьма мала по массе, а именно ее масса составляет не более 5% от всей массы продуктов детонации, что позволяет не рассматривать отдельно ее действия. Интересно отметить, что при косом истечении продуктов детонации происходит распределение масс и скоростей истекающих продуктов детонации по углам.
Рассматривая движение продуктов детонации при косом истечении не только с головной части детонационной волны, но и с тыловых частей, мы придем к тому заключению, что будет иметь место перераспределение масс и скоростей по углам н по расстоянию от фронта детонационной волны. Определим поверхность фронта волны разрежения в том случае, когда детонационная волна распространяется перпендикулярно к боковой поверхности заряда. Будем рассматривать задачу в прямоугольной системе координат.
Заметим, что на фронте волны разрея<ения компонента скорости г, направленная по оси у, равна нулю. Проходящая детонационная волна характеризуется уравне- ниями 9 191 истечение пРОДУктОВ ДетОнАЦии с кОсОЙ пОВегхности 421 вид: д д "("+ 2)+" ~а 3'= 4 (Э. )'('1+ 2) . (4924) Производя преобразования, приведем уравнение к виду д~р 1 ~1+ 2 (49.25) 1 '+ 2 д1р 4 гх д19 поскольку д<р/дх1 = — (сЬ9/дх1) (д~р/дхз), то будем иметь 1+ 2 (49.26) Решение этого уравнения напишем в виде хз — (91 + — ) ~ — — —, 1и (г1 + —,) ), 3 где А = с„—, или, возвращаясь к прежним переменным, в виде (49.27) Константа, входящая в это уравнение, определяется иа следующих условий: при 1 = х,/Р х = х9, у = О, где х9 — текущая координата.
Начало отсчета у ведем от поверхности заряда, радиус заряда обозначим через у . При этих условиях решение уравнения примет вид 2 +2х хо (49.28) При у = у, значение координаты х = х определится иа соотно- шения ~' = ( — + ~ ) ~/ †,, [1п — — 1п ( †, + †)) . (49.29) Величина Лх = х, — х, характеризующая глубину волны Поскольку движение этой волны автомодельно и аависит только от одной независимой переменной 91 = х/Рр, то можно искать решение уравнения (49.23), предполагая, что оно аависит от двух независимых переменных 91 = х/Ю, з, = у/Р1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
