К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 71
Текст из файла (страница 71)
2т Основные уравнения для этого случая будут точно такими же, как и в случае волн, сопровождающихся выделением тепла, с той лишь разницей, что величина () будет отрицательна. Эти уравнения в неподвижной системе координат имеют вид Рвс. 58 В = у11/ Рс ''; их = ~/(р. — р1)(у2 — уз); У У1 — У2 53А ~+' Е,— Е1 =, ' (У,— Уа) — (,"2", 2 гДе (22* = с) ( 0(величина и, пРинЯта Равной нУлю). Анализ уравнения энергии для среды, в которой (дср)дуз)э ) ) 0 и (др(дд), ) О, показывает, что поскольку кривая АВ, выражаемая этим уравнением (рис. 58), лежит левее и ниже точки (р„уг), то никакая прямая, проведенная иэ этой точки, не является касательной к ней и пересекает ее при р, ) р, в одной точке (вторая точка пересечения лежит при рз ( р, или даже при рз ( ( О, что не имеет физического смысла). Для политропической среды уравнения (53А), как известно, могут быть написаны в виде (42.43) 222 р — р— + 4 й су су + й1 Р2 у 2(йс+1) (й1 — й2) с2 2 (йу — 1) О' (52 (53,2) > й,(й,-1) П'; Р2 Р1, у1 — ус и„= Ву Ррс ' у1 у 2'1 у2 У1 448 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [гл.
гш Первое уравненче (53.2) показывает, что при одинаковой амплитуде (т. е. величине рз — р,) у классической ударной волны и у ударной волны, поглощающей энергию на фронте, для последней скорость распространения фронта меньше. В случае сильной ударной волны имеем (53.3) где Л = ь $1+ й',0~ ( )0).
Отсюда следует, что при одинаковой амплитуде классической ударной волны и рассматриваемой волны плотность на фронте и скорость течения эа фронтом выше у волны, поглощающей энергию; температура будет соответственно меньше. $54. Условия на фронте ударной волны в представленни Лагранжа При изучении ударных волн, особенно нестационариых, необходимо знать условия на фронте ударных волн, выраженные в координатах Лагранжа. Так как в лагранжевом представлении независимыми переменх ными считаются величины Ь = ~ р ох и ~, то, выбирая за зависих, мые переменные и; ч = 1(р и обозначая координату фронта плоской ударной волны через Х, можно полагать, что (54Л) Х=Х(й; ~), где Ь = й (С).
Поскольку дХ = (дх/д8) гм +(дх/дй) Нй, то скорость фронта ударной волны в неподвижной системе координат будет (54.2) где Ь = дййй; так как уравнения в форме Лагранжа имеют вид (54.3) то (54.4) $54] услОВия 11А ФРОнтк удАРКОЙ ВОлны откуда Ру и1 + Ьууу = и2 + Ьзуз, (54.5) Р— И1 = (Ру — п1) Р1' У2 .Оу — З2 Ь2 = = (Р— иу) Рю У2 (54.6) легко заметить, что только в том случае, когда величина Ь не терпит разрыва при переходе через фронт ударной волны, т. е. когда й, = Ь„соотношение (54.6) выражает собой закон сохранения массы.
Но величина Ь и определяет собой массу, поэтому )1 = Ь, = = — Ь. Таким образом, окончательно закон сохранения массы в координатах Лагранжа для фронта ударной волны можно написать в виде Р. = — У16 + иу = Узй + из. (54.7) Очевидно, величина Ь представляет собой массу, проходящую через фронт ударной волны за единицу времени. Закон сохранения им- пульса может быть выражен соотношением Р2 Р1 Ь (лз м1) ° (54.8) С помощью (54.7) закон сохранения импульса моя1но записать в следующей форме: р — р, = Ь' (уу — у2).
(54.9) Поскольку закон сохранения знергии в неподвижной системе коор- динат можно написать в виде — (Є— И2)2+ 12 = —,(Р- — и1)2+ 1„(54.10) то, используя снова соотношение (54.7), окончательно выразим закон сохранения знергии в форме Лагранжа в виде — тт + 12 = — У1 + 11. й 2 . А' 2 2 ' 2 (54.11) Соотношения (54.7), (54.9) и (54 11) в одинаковой мере справедли- вы как для неподвижной системы координат, так и для любой под- вижной системы координат.
где и„у1 и и2, у2 — скорости и удельные объемы среды перед фрон- ао21 и за фронтом ударной вол1гы соответственно. Переписав соот- ношение (54.5) в виде 5 551 случАи дВижения В НРедстАВлении лАГРАнжА 451 откуда ю зь В сопзс = — — —,Р = —— а+5 ь1 — т Таким образом, для случая реальной детонации уравнение (55.4) примет вид (55.5) Для к = 3 получим (55.6) Выясним, для какого интервала времени справедливо данное уравнение. Согласно нашему предположению частица находится в покое, пока до нее не дойдет фронт детонационной волны; так как на фронте волны а1'1 = Р, то рассматриваемая частица придет в движение в момент 55 = а(Р, причем В этот момент она, как мы видели, скачком приобретает скорость и„= Р/ (15 + 1). При дальнейшем движении рассматриваемая частица будет постепенно все более отставать от волны детонации, так как скорость среды за фронтом меньше чем Р.
Из особого решения мы знаем, что через некоторое время скорость частицы вновь станет равной нулю. Найдем, когда это будет. Полагая и = О,получим из (55.5) (55.7) Для к = 3 будем иметь 9 а г= —— 4 Р (55.8) Таким образом, решение (55.5) справедливо для промежутка времени 1+1 (55.9) Чтобы найти закон движения частицы, т. е. ее координату в зависимости от времени, проинтегрируем (55.5) по г; поскольку и = = 55х1'551, то 1-1 5 х = бриги = — ~й ( — ) ~+'1 ьм — 1+ сопзь) .Р— ь †~ (т) Константа определяется из условия, что волна детонации доходит До Данной частиЦы с кооРДинатой а в момент вРемени ге = а!Р, [гл.
чпг плоскив двтонАционнык волны Таким образом, при г, =- а~Р координата равна х = а. Использовав это условие для определения постоянной и вставляя найденную постоянную в результат интегрирования (55.2), получим закон движения: — э т-т х „ ~Ь ( ) г ~~ „ ( Й ( ) 1~ (55 10) Для й = 3 х = В~ ~3~/ э 1~ (55 11) причем это решение такясе справедливо для промежутка времени (55.9). Отсюда максимальное смещение частицы, получаемое в момент 7, когда и = О, тм равно Для й = 3 максимальное смещение равно (55.13) хвах = — и.
8 Мы видим, что максимальное смещение пропорционально начальной координате частицы а. Частица, которая первоначально находилась в точке а = О, вовсе не получает смещения (в самом деле, мы знаем, что у стенки и вн О). Прочие частицы, когда до них дойдет волна детонации, скачком приобретают некоторую скорость и начинают двигаться, замедляя свое движение, пока в момент времени 8 не придут в точку с координатой х = х аю где успокоятся.
Когда волна детонации дойдет до конца заряда, т. е. в момент времени г = И) (где ( — длина заряда), последняя частица, достигшая максимального смещения, в этот момент первоначально находилась в точке, для которой к+д ьы Как мы видели, в момент 7 = И2 ее координата станет равной х = = М/2 = 1/2. Эти соотношения дают распределение частиц в момент, когда волна детонации дошла до конца заряда. Графиче- 5 55! случАи движения В пРедстАВлении лАГРАнжА 453 2 и = — (с„— с). = ь — 1 (55 14) Начало координат выберем у стенки.
Поскольку при этом ~-1 то ~-1 и = с„~1 — ( —,)~ (55 15) Решим теперь эти задачи, исходя непосредственно из готовых решений, написанных в форме Эйлера. Для детонационной волны имеют место следующие уравнения: и + с = х Й; и = ски траектории отдельных частиц можно изобразить следующим образом (рис. 59). На оси абсцисс будем откладывать смещение х = а + Е, ось ординат направим вверх н по ней будем откладывать время с. Проведем из начала координат прямую, тангенс угла наклона которой к оси 5 равен скорости детонации А). Пока волна детонации не дошла до частицы, ее состояние изобра5кается на графике прямыми, параллельными оси ординат.
В момент пересечения этих прямых с прямой )9 час- Сях=Е'! СЕЯ=У тица начинает двигаться, причем ее движение изображается кривой линией, тангенс накло- ! на которой к оси 1 непрерывно ! уменьшается от значения Р/4 и ! достигает нуля при х = хтах в момент г — С, выражаемых фор- ,8 мулой (55.12) и формулой для 7, предшествующей формуле (55.12) .Точки, в которых различные частицы достигают своего Рис. 59. максимального смещения, лежат на прямой, тангенс угла наклона которой к оси 5 равен П/2. Тангенс угла наклона кривых, представляющих движение частиц к оси ординат, выражает их скорость. Густота линий дает представление о плотности продуктовдетонации. Рассмотрим решение еще одной задачи с помощью указанного метода.
Пусть в начальный момент в сосуде имеется газ, находящийся в покое; плотность газа постоянна. Найдем движение заданной частицы при неустановившемся истечении из сосуда. Для этой цели воспользуемся уравнением 454 (гл.члн плОские детонАцнонные ВОлны = (2с — Р)/(й — 1). Поскольку и = с(х/й, то, вводя г = х/1, мы придем к такому уравнению: и = с1х/й = г + 1 с(г/й = (2г — Р)/(/с + 1); отсюда с(с (й+1) йс (55.16) (й — 1)2+Р ' й+1С й й+1 с' Р 1п1 = — — ~ й — 1,') Р + сопз1 = — — 1п ~г+ — ~+ сопз(, й — 1 ~ й — 1/' й — 1 откуда К-л. Р 1"+'(г+ 1=сопз1, ,1 (55А7) Константа определяется из условия, что на фронте волны дето- нации х и 1 связаны соотношением х=а при 12=а/Р.
Подставляя эти значения в (55А7), найдем постоянную интегрирования; вставляя эту последнюю в общее решение, придем снова к закону движения (55АО). Рассмотрим теперь аналогичным методом вторую задачу. Имеем сосуд, заполненный газом с постоянной плотностью. В некоторый момент стенка сосуда открывается и начинается истечение. Рассмотрим движение отдельных газовых частиц. Скорость частицы равна ди/й. Для особого решения имеем выражения х — 1 и — с= —; 2 и = — (с„— с), й — 1 откуда и = 2 ((х — 1)/1 + с,)/(й + 1) и, следовательно, Интегрируя, получим 2 2 х — 1=1кы [А+ — ск~ к+2 ~ А12+2+ с„/. й+1 .')1 + аг') = й — 1 Мы знаем, что волна разрежения движется со скоростью — с„.
Для частицы с координатой а, находящейся в начальный люмент в сосуде у границы разлета, найдем: х = с = 1 — с„/. Поэтому конс- Таким образом, мы пришли к уравнению с разделяющимися пере- менными. Интегрируя его, найдем [гл. чп 456 ПЛОСННЕ ДЕТОНАЦНОННЫЕ ВОЛНЫ Результаты построения траекторий частиц илллюстрируются рис. 60, аналогичным рис. 59.
Выясним теперь поведение отдельных частиц в общей схеме разлета продуктов детонации, когда детонатор находится в произвольном месте заряда. Для этой цели воспользуемся снова уже полученными нами ранее решениями в форме Эйлера и определим, исходя из этих решений, траектории отдельных частиц. Для детонационной волны аадача нами была уже решена и мы получили для скорости и и смещения х частицы, начальная координата которой была хе — — а, выражения (55.6) и (55 >1), справедливые для интервала времени 1) ( ( 4 12 ° гх !7 4 До момента г, ( а>Р волРлс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
