К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 75
Текст из файла (страница 75)
когда в обеих средах 474 РАспРОстРАнение нестАционАРных удАРных ВОлн [гл. 1х образуются ударные волны: (игу ин) (Ргу Рн) (чн чгу) игу Ргу Рн (Р1» ин) = ч» ч — ч Ргу = — ча н 1» причем = (р.„, — р,) (ч, — ч.„,); Р,у — Ра (56.1) и, = и,у = иу; р,у =.р,у = ру. Для вычисления начальных параметров обеих сред, т.
е. для вычислениЯвеличин и,„Р, чг.„чгу, Р,у Ргу гДеР,, и Ргу — скоРости фронтов, необходимо зйать уравненйя состояния обеих сред р,у = ~1 (ч,у, 81»); р,» = ~2 (ч,у, Лгу), (56.2) что позволит написать уравнение энергии для обеих сред в виде (28.4) РН + Рг Р.+Ргу Е,у — Ен = —,— (чн — чг. ); Егу =, (ча--чгу). (56.3) х '2У Для удобства дальнейших вычислений напигпем величины удельных объемов чгу и ч,у в виДе ч,у = а чн, ч,у = агч . ТогДа система уравнений (56.1) примет вид рн(иу — ин)' = (ру — рн) (1 — а,); р иг = (ру — ра) (1 — аг); г)1» ин чн 1 112» ча 1 (56.4) и — и ч — ч 1 — аг' и ч — ч 1 — аг' У Н н 1» у а Исключая из первых двух уравнений этой системы величину ру, придем к такому уравнению: и2 — Р~+ 1 — щ (56.5) Решение этого уравнения удобно написать в виде I Р 1 — а, Р, Р, Р (1 — аг) (56.6) ин р (1 — аг) Рн (1 аг) Зная уравнения энергии обеих сред в виде (56.8) Ег — — Е, (рг; чг); Е, = Е, (рг; ч,), Это решение определяет величину скорости движения границы раздела между двумя средами.
Зная величину и, легко определяем г Риги,— и ру — р.=, „; Р,— и.=,,; Ргу —— , „(567) 475 $55! НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ мы из уравнений (56.3) определяем связь между величинами Ру = Р, (Угу) И Ру = Р,у (УБ ), (56.9) Ра + Руу Е,у — Е„= 2 (ӄ— у, ) в данном случае дает Е,у = Е„; так как р „= р„, то у = у . Из уравнения (р„— ра) (уа — у„. ) = и„ (56 (О) определяем величину у,у. С другой стороны, между величинами Ра И УБУ ИМЕЕТ МЕСТО СВЯЗЬ, УСтаНаВЛИВаЕМаЯ УРаВНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ для среды 11: (56.тт) Соотношение (56.10) однозначно определяет величину скорости соударения двух сред й„, при которой имеет место то условие, что состояние среды 1 не иаменяется, т.
е. ру = р,. Очевидно, что если скорость соударения двух сред меньше, чем определенная только что величина предельной скорости соударения, то в среде 1 после соударения пойдет волна разрежения. Для определения начальных параметров обеих сред в момент соударения в этом случае необходимо воспольаоваться следующей системой уравнений, вытекающих из равенств (56.1) и (56 3): диу —— )1 — ЫРу о~ту; (Х)уу — и„)Б = суу; 5 Ру — Ра иу — (ру — ра) (Ча ууу) .Руу = уа у у а уу Ру+ Ра ББЕ,у = — ру ~Ь,у; Еау — Еа = ' (уа — уау).
2 (56Л2) Решая затем совместно первое уравнение (56.7) и оба уравнения (56.9), находим величину ру и значения безразмерных параметров а, и БББ. Далее определяются величины 7),у и Рау, что и решает полностью поставленную задачу. Выведеннйе нами здесь соотношения являются наиболее общими в смысле определения начальных параметров ударных волн, образующихся прн взаимодействии (столкновении) каких-либо двух сред. Выведем теперь соответствующие соотношения для взаимодействия между двумя средами, при которых только в одной среде распространяется ударная волна. Для этой цели прежде всего выясним предельный режим взаимодействия, при котором (для среды 1) руу = р„. Уравнение энергии 476 глсплостганкник нкстационагных ударных волн ~гл.
ух После незначительных преобразований с учетом того, что началь. ная скорость удара равна ин, зная уравнение изэнтропы для среды Х р, = р, (ч,), мы сможем систему уравнений (56.12) написать в виде ' ($ — а,) = иу = ~ф — нурндчу + ин' Юру . ру-ра Р,у = ин — суу = ин — ~ , 'Руу кРу ' 4 Рн(1 — нй) ' (56ЛЗ) ру+ рн Еуу — Е, = ($ — а,). 2Р Обозначая ~ ~/ — Нру дчу = Ф (р„) и исключая из соответствующих уравнений величину и для определения давления в момент соударения, придем к такому уравнению: ($ — ан) = [ив+ Ф(ру))', Рн (56.14) где ан = а, (ру). Зная величину р, легко определить значение величин иу, руу, руу Руу Рту.
Рассмотрим теперь также для общего случая взаимодействия двух сред, приводящие к незначительным изменениям давления в обеих средах (акустическое приближение); при этом необходимо прежде всего положить, что рн — ~-р,. Тогда, воспользовавшись известными соотношениями: н Лр Лч Лр Лр Лч ' ч рсн рсн после элементарных преобразований уравнений (56.4) будем иметь бру = рнсн (ин — иу) рнснию откуда нн Рннн + Рана Рана+ Рннн Далее очевидно, что (56Л6) Эти соотношения справедливы независимо от того, распространяется в среде Х ударная волна или волна разрежения. Для решения различных частных задач, связанных с определением начальных параметров на границе раздела двух сред при их взаимодейстии, выведенные нами общие соотношения не всегда 1 бб] НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОИ ВОЛНЫ 477 являются удобными, и поэтому целесообразнее в ряде случаев заново выводить более удобные соотношения.
Перейдем к рассмотрению ряда конкретных случаев. А. Соударение двух твердых тел В данном случае выведенные нами общие соотношения являются как раз наиболее удобными для вычислений. Будем считать, что при не чрезмерно высоких скоростях соударения двух тел энтропия на фронте ударных волн, возникающих в этих телах, не возрастает, т.
е. будем рассматривать эти ударные волны как сильные волны сжатия. С большой степенью точности, аппроксимируя связь мех<ду плотностью и давлением в виде ру = Ау (ру™у/ /р,"„' — 1) + р, для тела 1 и р = А2 (р,",',/ра* — 1) + р, для тела з, а также полагая начальные давления в обоих телах одинаковыми, мы для определения начальных параметров на границе раздела соударяющихся тел придем к такой системе уравнений: Ра 1-и1 +~ )/ Рн 1 — аа 2 Раин Рн (1 — аа) А, (а,"' — 1) = А,(аб' — 1); ин Ру — Ра (56 Л7) Ру Ра Рут — ин ин "а рнан Рарн на анин раа +Р а ' (56Л8) Рау = Са.
ин раин+Раба Пуу = Вн Сн При этом связь между давлением и плотностью, поскольку изменения плотности невелики, будет выражаться законом Гука а Руу Рн А Рбу Ра Ру — Ра — — луА2 Рн Ра (56Л9) При малых начальных скоростях соударения двух тел соотношения (56Л7), как мы показали выше, перейдут в 478 РАспРОстРАнение нестАционАРных УдАРных ВОлн 1гл. Ух 1уа Ра 1са -М Ра ну — на (са Й Ра ин насек ну няек 0 24 10с 24,10н 12 10е 24 104 48 10' 12.10' 0 5 5 10 2,5 10' 5 10У 10' 2,5 10с 0 6.10с 6 10н В 10е 6 10' 12.
104 3 10' 0 10 10' 5 10' 10с 2 10э 5. 10н В случае больших начальных скоростей соударения (при и, ) ) 1 — 2 км/сек) сжимаемость соударяющихся тел уже необходимо учитывать; тогда, полагая, что величина а определенным образом меняется с давлением, мы придем к таким результатам: В том случае, когда соударяющиеся тела состоят из одной и той же среды, основные соотношения примут более простой вид: н Для акустического приближения имеем Раскин Р1 ин Р 1 Ру Ра = 2 ' ин 2(1 — а) ' ин 2(1 — а) (а,=аз=а; п,=п,=п; АУ=А,=А).
В тех случаях, когда твердое тело ударяется об абсолютно твердую преграду, то, полагая величину и, = 1 (у, = уа), мы в результате придем к таким соотношениям: иу = 0; ру — Ра = = Р,и'„/(1 — а1) = А, (а",' — 1); (Ргу — ин)/ин = 1/ (1 — и,); Рну/ин = оо. Для иллюстрации и понимания процессов соударения двух твердых тел мы приведем некоторые вычисления.
Прежде всего вычислим параметры на границе двух одинаковых соударяющихся тел для небольших скоростей соударения, полагая для типичных металлических тел р = 8, с = 6000 м/сек и для других типичных тел р = 4, с = 3000 м/сек, Результаты вычислений иллюстрируются табличкой нАчАльные ПАРАметры удАРнОЙ Волны 479 1 56] Б. Истечение продуктов детона ции з воздух При истечении продуктов детонации в воздух или в ину1о газо- образую среду в атой среде пойдет ударная волна, а по продуктам детонации — волна разрежения. Для определения начальных параметров ударной волны иу и ру мы будем иметь следующие уравнения: 2с / с ) ЗК вЂ” 1 2 ну — пн+ ) 1 ( 1 ) — Кк 1 1)~ К 1 су н 2 (Ру Рсд р.
Вт+1) Р, +(т — П Рн) ' (56.20) Эти уравнения получаются после простых преобразований (56.13), если принять во внимание, что у р, (у+1)Р,+(т — 1)Р Уд Рс (т+1)Рс (т 1)Ру и что скорость волны раареясения в продуктах детонации равна 1 М р 1 к 1 ~ 1 ( Р ) ун к-к нли поскольку (р„/рн) '" = су/сн, то и, == 2/с /(/сз — 1) (1 — с /сн). После некоторых преобразований (56.20) моясно прийти к таким соотношениям: 2( — — 1) к-к т ((у+1) — „+ (т — 1) ) Ру (56.22) Величинкз сс взяты приближенно, на основании отдельных экспериментальных данных.
При высоких давлениях () 10' атмосфер) энергия будет резко возрастать, при этом точность вычислений будет невысока, поскольку у нас нет надежных данных о сжимаемости при таких давлениях. Совершенно аналогично можно провести вычисления для соударения двух различных тел. В природе и технике мы часто имеем дело с соударением различных твердых тел, например, с ударом снаряда о броню со скоростями до 1,5 км/сек и с ударом больших метеоритов о поверхность Земли со скоростямн, которые могут достигать величины 50 — 70 км/сек. В космическом пространстве скорости соударений могут быть еще значительнее. 460 распространкнпв пвстационарных главных волн [гл. 1х причем у = с,/с, для воздуха может быть принято равным 5/4 для больших давлений и 7/5 для малых.
В случае сильной ударной волны, что практически имеет место при детонации взрывчатых конденсированных веществ и ряда сжатых взрывчатых газовых смесей, уравнение (56.22) упрощается и принимает вид и, за 1 24 (Р)е 27 Ье — 1 Зе — 1), р„ Вычисления начальных параметров по указанным уравнениям не представляют труда. Приведем результаты вычислений начальных параметров для истечения продуктов детонаций некоторых газовых смесей и конденсированных взрывчатых веществ. о тн рк ке~сме к, месек Р мессе Гавовая смесь 2820 2400 2060 1800 4600 3900 2700 2700 19 19 18 17 2Н,+О, 2Не+ Ое+ Ие 2Не+ Ое+ ЗХе 2Не+ Ое+ 5Хе 1350 1200 1000 900 19 18 16 14  —, са+ С„~1 — ( — в) ~, (56.24) Для конденсированных взрывчатых веществ типа тротила, принимая, например, р = 1,6 г/сма, (е = 1 кал/г, й = 3, )9 = = 7300 зс/сек, будем иметь — = 700, — = 0,9, т.
е. ит —— 6500 м/сек. рт т Ра Как мы видим, начальные давления на фронте ударной волны в случае газовых смесей близки к начальным давлениям на фронте детонационной волны; в случае же истечения продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ давление на фронте ударной волны в среднем почти в сто раз меньше, чем начальное давление на фронте детонационной волны.
При истечении продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ в газообразную среду необходимо учитывать их неидеальность. Для этой цели необходимо уравнение, описывающее простую волну разрежения в продуктах детонации [см. (44.12)), писать в виде 2 2 Их=Ив+ 1 (СН СЗ)+ 1 (Са Ст)кк е — 1 НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 481 $551 где с» и р» — скорость звука и давление в точке сопряжения. Решая это уравнение совместно со вторым уравнением (56.20), мы определим искомые параметры и и рт (значение й можно принять равным 3). Приведем расчеты по определению и и ру для истечения продуктов детонации какого-либо стандартного взрывчатого вещества, например тротила.
Принимая ре = 1,6 г/смг, Ч = 1 кал/г, Р = = 7300 м/сек, й = 3 при р ) р» и й = 7/5 при р< р», будем иметьх р„/р„= 2 105; р»/р, = 2150; и» вЂ” — 6600 м/сек; ит = — 8000 м/сек. Приистечениивпустоту(ру = О) ит, — — 11500 м/сек, Поскольку значение давления на фронте образующейся ударной волны, а следовательно, и в продуктах детонации, соприкасающихся с газообразной средой, лишь незначительно меньше, чем давление в условной точке сопряжения изэнтроп рт» = сопз»и рФ = сопз», то для несколько приблихсенных расчетов всегда можно полагать, что для продуктов детонации в начальной стадии расширения справедлив закон изэнтропы рт" = сопз», и лишь для дальнейшей СтаДИИ РаСШИРЕНИЯ ПОЛЬЗОВатЬСЯ ИэзктРОПОй Рчт = СОПЗ$.