К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 78
Текст из файла (страница 78)
При этом отраженная волна может быть только волной стационарной, поскольку слева она будет ограничена стенкой, а справа будет сопрягаться с простой волной; так как на стенке скорость равна нулю, то эта стационарная волна вырождается просто в область покоя. Фронт этой области, й — 1 очевидно, будет распространяться со скоростью с = с — — и.
направо; внутри области покоя тоже будет скорость звука с = с,— й — 1 —: и . Через некоторое время, которое в общем случае трудно вычислить точно, к стенке придет фронт последующей волны и область покоя исчезнет. Существенно при этом отметить, что поскольку простая волна будет являться волной сжатия, то давление на стенке после ликвидации области покоя будет сначала Возрастать со временем.
498 РАспРОстРАннннк нестАционАРных УДАРных волн Сгл. Сх Выведенные нами выше соотношения значительно упростятся, если рассмотреть случай, когда для продуктов детонации показатель политропы й = 3. Выпишем для етого случая все основные соотношения, описывающие различные волны: х и — с=— С Простая волна — с с ( х ( Си — с ) С в У У и+с= с =)l)сССс С)С) и=и У с=с У Стационарная волна Си — с )С(х(и С и=и У с=с У Ударная волна и С<х(СС С х и — с= —, С' Первая отраженная от стенки волна — С ( х ( свС вЂ” 2) х+ 2С и+с= х+ 2С и+с= Сит — ст) С ( х ( Простая У ' ' СК тия (Си + с ) СС вЂ” С,)+,=с С вЂ” 2С ' "" и — с=и — с У 2 При иу( — су у стенки образуется область покоя, при атом 2 с = су — и .
При иу) с С суу стенки существует отраженная волна достаточно продолжительное время. Выпишем тепеРь значениЯ хд, С„ха, Сс: — =2 — ". с Значения хв и С, мы не выписываем; они вычисляются по соотношениям (58 13) или для сильной волны по 158.16). Значение С„ определяется формулой ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 499 $591 Уравнение (58.22) принимает вид (58.23) откуда 29' 1 'т [( т ) 91 1] (58.24) з 59. Предельная акустическая статия процесса В пределе при достаточно большом интервале времени, прошедшем от начала процесса (при г — о в бесконечной трубе), продукты детонации будут занимать вполне определенный объем у, поскольку их давление должно быть р,.
Этот объем для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ, очевидно, определяется соотношением 1 1 (59.1) Дальнейшее рассмотрение системы волн аналитическими методами принципиально возможно лишь для области изэнтропического движения газа, т. е. для продуктов детонации, однако зто рассмотрение чрезвычайно сложно аналитически. Сложность подобного рассмотрения проистекает, во-первых, из того, что число волн непрерывно возрастает; новые волны образуются при взаимодействии предыдущих волн, а также при отражении их от стенки и от границы раздела.
Вместе стем для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ при падении давления будет изменяться показатель политропы (изэнтропы), что также приведет к дополнительным трудностям. Как мы, однако, покажем дальше, всю эту сложную совокупность волн вследствие уменьшения градиентов давления со временем можно будет осреднить, заменяя ее одной фиктивной волной, и, исходя из этого приближения, определить дальнейшую стадию расширения продуктов детонации и движения ударной волны. Предварительно мы рассмотрим предельную стадию как процесс при достаточно больших значениях г, когда амплитуда на фронте ударной волны мала и можно пренебречь изменением энтропии в ударной волне, т. е.
будем рассматривать ударную волну в акустическом приближении. Зная предельный закон распространения ударной волны и закономерности ее распространения в начале процесса, мы сумеем оценить и промежуточную стадию движения продуктов детонации и ударной волны. 500 гнспгостглнгнпв нкстлционлгных ьд«1ных волн [гл. ~х где индекс «нз характеризует параметры продуктов детонации в их начальном состоянии; в случае идеального газа Й = у, в случае конденсированных взрывчатых веществ й = 3, 7 = 7!5, ро— давление в точке сопряжения идеального и неидеального газов. Давление воздуха, вовлеченного в движение в зоне ударной волны при больших г, также должно быть близко к р, (но не тождественно равно р,) во всей области, поскольку ударная волна при этих условиях вырождается в звуковую волну, которая должна предс ставлять собой волну сока- и тия.
Эта звуковая волна должна нести вполне определенную энергию, а именно Е , Рис. 66. которая определяется из сле- дующих соображений. Продукты детонации в пределе имеют внутреннюю энергию Е, причем (59.2) Таким образом, энергия, отданная в атмосферу, будет 1 1 Ео = Ен — Ею = Ен(1 — «( — ") ( — ") ~. (59.3) Энергия Е„складывается из энергии Е, и собственной знергии воздуха в ударной волне Е;. (59.4) Еь Ео+ Ен. Для плоской звуковой волны не бесконечно малой амплитуды при Лр = рн — р, ( р„как известно, справедливо особое решение основной системы уравнений и = — (с — с„).
(59.5) 2 х = (и+ с)г+ Р(и+ с); Если величина и + с в волне монотонно аависит от х, так что д (и + с)/дх ) О, то с течением времени величина и + с становится линейной функцией х, каково бы ни было Р (и + с); в самом деле, д (и + с)(дх = 1)(~ + Р') — И вЂ” > О. Отсюда х = = (и + с) «+ сопз«(рис.
66), причем зто выражение для удобства 502 Распространвнив нвстационлрных ударных волн (гл. 1х в виде — + —. = — '+ —;+ — ' ЯР Рис ЬР са (са ар) Рано Т вЂ” 1 2 1' — 1 2ра 2 (59А2) йр но в том же приближении и = с,— Р, поэтому р,ио/2 = с,(1р)о/2р,. Ра 2 Для Лр, исходя из (59.6), выражая с через р — сь-т и производя разложение в ряд до членов второго порядка, придем к выражению 2 ра(х — Х 1 3 — т раГх — Х 1о Лр = — — '[ — — с,(+ у+1 с, [ 1 а.( (у+1Рс;( — '[ — — с 1( (59АЗ) при Лр = 0 х — Х = с,у, при с2р = Лр „ х — 3 = с,1 + А )/7, поэтому а сун о Очевидно, избыточная масса воздуха М, (по сравнению с невозмущенной), содержащегося в области, охваченной волной, определяется выражением ~сну о Определим теперь количество движения воздуха уо в этой волне: аун браун '"аун Ео = ~ Рис(х = Ро ~ ис(х+ — ' 1 (ЛР)ос(х = Ра а о о Выразим Ео и 1о через М,о Заметим, что члены в этих выражениях, содержащие А/с,(ссс', являются точными при условии, что за ударной волной р = р,.
При 1 — а оо мы будем иметь точные предельные соотношения откуда А = (Т вЂ” 1))/Ео/р,с,. Падение энергии при увеличении времени связано с тем, что при распространении не бесконечно слабой звуковой волны часть энергии необратимо переходит в теп- ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 503 — (е, + р,ч,) = — 1, = Т, ЛО'. (59. 1<1) Для определения величины Ло' по скачку давления на фронте волны имеем известное соотношение (ЕР )з Т.ЛЯ=-('Р,) д",, поэтому Лч (ЕРн) д'ч 12<а дР' (59.20) В случае идеального газа 1, = Тр,ч,/(/ — 1); (ч + ()ч,//'ра и выражение (59.20) принимает вид та — 1 (аРн) ча 12'1 Ра дач/дра =— (59.2$) Поскольку при постоянном давлении Лч/ч, = 2Лс/с„то Лс т' — 1(ЛРн)е <„24тн р„' (59.22) Итак, для того чтобы удовлетворить более точно балансу сохранения энергии, т.
е. сделать так, чтобы сумма полных энергий масс ловую энергию, которая задерживается сзади волны, прошедшей через данный объем воздуха. Можно учесть и этот эффект; мы знаем, что при определении Е, Ма и 1, неточность, связанная с пренебрежением изменения антропии, не сказывается в членах второго порядка малости (Лр)' и 1 ', которые после интегрирования в области ударной волны становятся членами первого порядка малости — Лр и 1-ч. Неточность, связанная с пренебрежением энтропии, скажется лишь в членах третьего порядка малости, которые после интегрирования становятся членами второго порядка малости Г1. Полагая, что за волной при и = 0 р + р„мы придем к тем же выражениям для Еа и Ма, но величина 1с несколько изменится. Заметим, что изменение состояния за ударной волной, вообще говоря, может отрааиться на членах по порядку малости 1-Ч.
За волной при р = р, должно выполняться условие ч ) ч„ что дает с ) с, где ч и с — удельный объем и скорость авука аа волной, причем величины Лу = ч — ч, и Лс = с — с, доля<ны быть пропорциональны величине (Лрн)н. Найдем эти соотношения: очевидно, что объемная плотность энергии за волной постоянна, поэтому Л (ре) = О, где е— плотность внутренней анергии, рассчитанная на единицу массы; отсюда Лре, + р,Ле = О. Поскольку Ле = Т,Лр — раЛч, то приходим к выражению 504 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ.
1Х воздуха, содержащегося в волне и за волной, была бы постоянна, необходимо положить, что за волной плотность р ( р,. Порядок разности р — р, определяетсн соотношением р — р, = Ьр = = (11Рв)в, пРичем ЬР ( О. ПодРобных вычислений баланса энеР- гни мы производить не будем. Если выразить импульс 1о через Мо и Ео, то при 1 — а ао го — у (1 — 1) МоЕо. (59.23) Так как количество движения воздуха равно импульсу давления, действующего на стенку при 1 — о ос (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
