К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Указанных условий достаточно для однозначного определения процесса распространения нестационарной ударной волны. В случае просто адиабатических течений надо для простых волн знать условия на одной из характеристик (на линии слабого разрыва), для сложных волн — либо условия на двух характеристиках, либо на одной характеристике и на стенке или на линии особого разрыва.
В наиболее сложных случаях решения можно найти при условии на линии слабого разрыва, еще не зная закона движения где р, =- р, (Й). Для заданной границы ударной волны также выполняются вполне определенные соотношения. Если ударная волна образована при движении соответствующего поршня, то под задней границей ударной волны ыы будем подразумевать область ударной волны, непосредственно примыкающей к поршню, и при этом, очевидно, скорость на границе между поршнем и ударной волной должна быть равной скорости поршня. Зная закон движения поршня в виде Х„= Ха (г), мы зто условие можем записать так: иа = = и = ЫХВ/5», где и„— скорость движения среды на границе с поршнем.
В том случае, когда ударная волна образуется при расширении какой-либо сжатой среды, под задней границей ударной волны мы будем подразумевать границу раздела между ударной волной и данной расширяющейся средой. На границе раздела должны выполняться следующие очевидные условия: 492 гаспгостглнкннк пкстиционлгных гдиеных волн ~гл. ~х линии разрыва; при этом совместно определяется движение по обе стороны от линии разрыва, после чего уже определяется закон движения этой линии. То же обстоятельство может иметь место и на заднем фронте ударной волны.
й 58. Начальная стадия распространения плоской ударной волны при истечении продуктов мгновенной детонации в воздух Рассмотрим задачу о распространении плоской ударной волны при истечении ранее покоившегося газа в трубу, заполненную воз- духом. Давление в труи с урапаи еоииа алщииииииаи бе предполагается равролраоаииз ислими риимм гиии ным атмосферному. Для этой цели необходимо рассмотреть не только движение воздуха (что соответствует истечению продуктов мгнорис. 64. венной детонации), но и движение самого газа.
Пусть истечение начинается в сечении х = О в момент времени г = О и происходит слева направо. Волна разрел<ения, возникающая при истечении, как мы знаем, описывается особым решением (з 19): и = — (с„— с), х = (и — с)1. 2 (58 1) Поскольку истечение происходит в атмосферу, то перед фронтом растекающегося газа образуется ударная волна с начальными параметрами рт, ит. Граница раздела мея ду газом и ударной волной будет двигаться со скоростью ит.
Таким образом, положение границы раздела определяется соотношением (58.2) х = и,г. Теперь определим координату х левой границы волны разрежения. Значение скорости звука газа (продуктов детонации) при и = = и равно с = ст — — с„— (й — 1) и/2. Отсюда х=(ит — ст)1= ь 1 с„1 ~1 — — — ). (58.3) 2 / а+1 ст' с ) Точка с координатой х может двигаться как вправо, так и влево. Таким образом, значения и = и, с = с передвигаются в продуктах детонации по закону (58.3). Поскольку х ( хт, то необходимо положить, что на интервале хт — У = с 1 параметры газа постоянны и равны иг, ст. Таким образом, при истечении покоившегося ~ зв] псткчкнив пгодтктов мгноввнной дктонлции в воздтх 493 Рис. 65.
Поскольку слева от ударной волны движение газа стационарно, то и сама ударная волна будет стационарной. Закон движения фронта и давление ударной волны полностью определяются значением ит: сз ь и„= (58.4) рт = Для сильной волны (58.5) Таким образом, ударная волна определена на интервале и„~ ( < х ( Рт~, причем величина ит, рт определены формулой зт Рт=р ( ) и равенствами (58.5). Движение продуктов детонации задано так: на интервале (ит — ст)1 ( х < и, 1 мы имеем: и = и„= сопзг; с = ст = сопз1; на интервале — с„г ~( х ( (и — с„) ~ величины и, с определяются особым решением (58.1).
Если сосуд, содержащий газ, ограничен слева стенкой, поставленной на расстоянии 1 от начала координат, то, как мы знаем, ранее газа в воздух вследствие возникновения стационарной удар- ной волны от границы раздела внутрь газа идет стационарное воз- мущение, что и приводит к образованию двух волн разрежения в истекающем газе: стационарной и простой (рис. 64 и 65). » ув] исткчкннк пгодуктов мгноввннои дктонлции в воздух 495 стенки направо. Для определения закона движения ее левой границы необходимо из (58.6) определить | = 1 (1) при первом условии (58.9), далее определить х = х (1)„исключая отсюда можно найти х = х ((). В общем виде эта задача технически сложна.
Однако нетрудно определить момент времени, когда фронт волны достигнет стенки, что будет показано ниже. Закон движения правого фронта определяется легко. Поскольку возмущение передается со скоростью звука плюс скорость среды, то х = х, +(и»+с„)(( — 1,). (58.10) (58.11) х = ху + (лу + су) (С Су) где с = с,(ру)р,) '" есть скорость звука в ударной волне. Поскольку фронт ударной волны двия<ется по закону (58.12) то волна разрежения догонит фронт ударной волны в точке х, = = 2Р с (Ди + с.
— Ру) в момент времени 2туб и +с — Р (58 13) Так как ТТ)У» с ру Для сильной волны найденные выражения упростятся; Ру = (у + + 1)и»!2 — иу + Р» = (у — 1)иу)2; р» = р, (у + 1))(у — 1); отсюда -з ТГ» Т вЂ” 1 Т(Т вЂ” 1) у (58 15) р, Т+1 Таким образом, хз = (Т+ 1) куб 25 гз — ' . (5 . ) /(Т вЂ” 1)„,' ', /Т вЂ” ( ' 2Т 2Т Граница раадела между ударной волной и гааом движется по закону х = и (, следовательно, простая волна в точке х, = 2и ( при г, = 2(, догонит заднюю границу ударной волны. Далее, возникнет новая волна уже переменной энтропии. Легко подсчитать время и место, когда возмущение, идущее от стенки, достигнет фронта ударной волны.
Это возмущение также распространяется со скоростью иу + с„ по ударной волне. Таким образом, закон движения будет После того как волна разрежения догонит фронт ударной волны, давление на фронте последней начнет уменьшаться и дальше будет распространяться волна переменной амплитуды. Определим давление на задней стенке, ограничивающей объем первоначально покоившегося газа.
Давление в отраженной волне, как мы знаем [соотношение (23.8)1, определяется соотношением г За+1 н 1 'д [2(г — аЦ((2а)! ! "н ~! зг+з (58 17) 2 =с В том случае, когда и ( 2сДй — 1), левая граница простой волны будет распространяться налево; поскольку в волне имеет место соотношение — и =су 2 "у Ь вЂ” 1 Ь вЂ” 1 (58 18) то на стенке при и = 0 давление р, определится из очевидного соотношения —" = ( — ") = (1 —: — «) ( — ~); (58 19) это давление будет соответствовать моменту времени 1 = 11 (при р = р1) прихода фронта второй простой волны к стенке: г Зн-!.1 "н! 1 чз (2(г — а))((2а)! !' Рн'! 1,!э !' Ь вЂ” 1 нт' <з"+1! 21" г"н ((г — а)! а!)з ( р / ( 2 с п=о т т! (58.20) В том случае, когда ит ) с, левый фронт простой волны разрен;ения пойдет направо и давление на стенке будет изменяться согласно закону (58.17) до тех пор, пока фронт волны разрежения, отраженный от ударной волны, не достигнет стенки; аналитическое описание этого процесса представляет значительные трудности.
Сравнительно легко рассмотреть аналитически двия ение границы раздела между продуктами детонации и ударной волной в интервале времени мелинду моментами прихода к границе раадела фронта простой волны (58.9) и фронта волны раарежения, отраженной от фронта ударной волны. В самом деле, поскольку для ударной волны имеет место соотношение 2 2 и — — с = и„— — с,, Т вЂ” 1 Т вЂ” 1 (58.21) где с, ст — текущая скорость звука и начальная скорость внука воздуха на границе раздела, а для простой волны справедливо решение (58,9), то мы, проделав элементарные преобразования, 496 РАспРОстРАнвник нестАционАРных УдАРных Волн !Гл.
1х 1 55) ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ МГНОВЕННОЙ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ 497 можем написать ((с — с„) +с„(с — с ))г х = (и+с)1 ( г г й й(«-5) и = и«+ — с«~( — ) — $] Очевидно также, что т — 1 с« = сс+ 2 Здесь с„и с — текущие значения скорости звука в воздухе и в продуктах детонации соответственно на границе раздела, 脫— текущая скорость границы раздела.
На основании этих преобразований можно прийти к следующему соотношению между 1 и с: яг+г ((с — с )5+ с„(с — с )) с)сг и г й †1+ „— — «( — «) ](+ с — „. (58.22) „'", Ф вЂ” — '; й — 1 Т с Решение этого линейного уравнения не представляет труда. Начальные условия таковы: при 1 = 15 с = с, х = х,. Уравнение (58.22) описывает закон движения границы раздела. В тех случаях, когда и ( с, как мы указывали, к стенке пойдет левая граница простой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
