К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. при завершении процесса истечения газа), то этот импульс определяется формулами (т — 1) еп и о ™оса Мо = с„в (59.24) Очевидно, что величина Е, = Е„складывается из энергии продук- тов детонации, отданной в атмосферу Е, и энергии вытесненной массы воздуха Е„т. е. Ео = Ео + Ев, причем Ев = (чса чн) Ра т — 1 (59.25) Подставляя в выражение для Е, из выражения (59.3) вели- чину мы придем к формуле 1о = ( à — 1) — =- — ~ — (ч — ч„) + Ен— Ео т — 1( Ра а а откуда после преобразований имеем — Р.ч« 7о = — Ен —— са са (59.26) или Мнса Ра ) т — 1 Ра Ео то = — = ~ — — 1~ =- (У вЂ” 1) — ', (59 27) причем Е, = МЯ, где р„= ро и р„— начальная плотность взрывчатого вещества и среднее давление детонации, Мн — масса сдетоннрованного взрывчатого вещества и принимается )с = 3 пввдкльпля ликистичкская стадия пгоцкссл 505 (для типичных взрывчатых веществ).
При /г = у будем иметь точное соотношение Р Ра — Р (59.28) Р Р Сравнивая величину импульса 1 с импульсом при истечении продуктов детонации в пустоту 1„, придем к выражению где для типичных конденсированных взрывчатых веществ $= 0,83 и для газовых смесей $ = 0,80. Сравним массу воздуха в ударной волне с массой продуктов детонации. Для типичных варывчатых веществ имеем Ме/М„= = (у — 1) Ц/с', = 40. Поскольку кинетическая энергия ударной волны равна ча о а полная масса, движущаяся в ударной волне, есть Мч = рьА)/7, то 10 Р' 3 Мь а2 /' з (59.29) что по своему значению близко к выраяьению нестационарного импульса через М и Е для расширяющегося потока продуктов взрыва. В процессе расширения газа наступает момент, когда на границе раздела будет р = р,; но и '" О, и расширение газа продолжается до значения р ( р, (когда на границе раадела между газом и воздухом становится и = О), после чего начинается обратное движение газа (его сжатие) до значения р ) р„аатем снова расширение и т.
д., пока везде не станет р = р,. Происходят затухающие колебания гааового столба. Очевидно, достаточно рассмотреть первое расширение и сжатие, после чего практически процесс прекращается и устанавливается давление р = р„при этом на стенке в течение некоторого интервала времени оказывается, что р ~ р,. Таким образом, и величина импульса испытывает колебания около значения 1,. Рассмотренный нами случай предельной ударной волны дает приблиягение к значению р, сверху, а это значит, что при продвижении ударной волны давление на стенке, будучи ( р„приближается к значению Р,; после первого расширения начинается 5 5М ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 507 Резюмируя полученные результаты, можно сделать существенный вывод, что количество движения ударной волны при 1 — ~ со стремится к вполне определенному пределу.
Величина этого количества движения превосходит количество движения продуктов детонации, которое они имели бы при истечении в пустоту. Это объясняется тем, что масса воздуха, вовлеченного в движение, в десятки раз превосходит массу продуктов детонации. Отсюда также вытекает вывод, что из-за пульсации энергия, перешедшая в ударную волну, движущуюся вперед, будет на 20 — 25 Я меньше, чем вычисленная нами выше. Вследствие затухающего пульсационного движения продуктов детонации перед ними будет распространяться не одна, а несколько ударных волн. В самом деле, так как граница раздела между продуктами детонации и ударной волной, достигнув своего предельного (наиболее дальнего) положения, начнет некоторое время двигаться нааад и затем, достигнув своего предельного (наиболее ближнего) положения, снова начнет двигаться вперед, то перед границей раздела образуется новая волна сжатия, которая или сразу, или через некоторое время станет ударной волной.
Этот процесс может, затухая, повторяться несколько раз, однако лишь вторая ударная волна мо5кет обладать некоторой заметной энергией;последующие волны не будут иметь реального значения, поскольку их энергия ничтожна. Рассматривая совокупность первой основной и второй ударных волн, можно прийти к выводу, что на достаточно большом расстоянии от точки взрыва будет иметь место следующая картина: за фронтом первой ударной волны давление и скорость будут падать, затем на фронте второй ударной волны давление и скорость снова возрастут и за фронтом второй ударной волны на некотором от него расстоянии давление станет атмосферным, а скорость равной нулю, т. е.
будет иметь место состояние покоя. При этом температура воздуха будет больше начальной, а плотность меныпе начальной. При охлаждении воздуха давление будет падать, вследствие чего снова начнется довольно медленный приток воздуха с периферии к центру, и лишь после этого наступит уже окончательное состояние покоя (подобный процесс будет протекать весьма медленно и при обычных взрывных явлениях не играет роли).
Иногда (например, в книге Г. Куранта и К. Фридрихса «Сверхзвуковое течение и ударные волныэ) используют для изучения слабой ударной волны более точный закон движения ее фронта, который можно написать в виде соотношения (38.11) Ых 1 /и+с — с ~9 1)„= — „* = с„+ — (и + с — с„) + — ( — с) . (59.32) Однако, производя интегрирование, мы в результате очевидных 508 РАспРООТРАнение нестАционАРных удАРных ВОлн [гл. 1х преобразований а+с+са (и+с — са) х — Х 1 /х — ).)2 5 с(1 Х 8с 41 8с \, 1 ) 8 'а' что дает ": — с,) В )»7 = 5са — —, = .-+ или 4с Ус1 4с 4с х — Х = с,г + ' — †,' -(- '' , (59.33) Ер Уу А -,/ (Т' — 1) Ео Раса (59.34) С другой стороны, закон движения фронта ударной волны мы получили в виде х — ) = с,г + А')/~, выбрав произвольную постоянную )2 таким обрааом, что движение УДаРной волны мы РассматРивали в момент вРемени 12 и в сечении х„; пРи этом константа А Равна (хр — Л)/ЗУ ср — с,')У 12.
Величина давления на фронте ударной волны определяется из соотношения 2 2 2 Ьр»а аа — р (Є— с,), которое при Р-а ср принимает вид Т+( а 4 22Р»а = ( Раса(Р» са) Т+( (59.35) чтопРНТ = ср, х = х,Дает Т+( ""'). )»~Ы )' ~ 1= .у+(ра" ~ ° 1. ~1 ' (59.36) йруа— можем прийти к выводу, что закон движения фронта ударной волны будет отличаться от полученного нами выше лишь в члене, содержащем с-ч*, но мы знаем, что погрешность, происходящая вследствие пренебрежения изменением энтропии на фронте ударной волны, будет сказываться для зоны ударной волны в членах именно атого порядка малости (а интегральная погрешность даже в членах порядка )усс), поэтому член, содержащий 1-ч, в уравнении (59.33) не является абсолютно точным.
Мы знаем энергию ударной волны (кинетическую и потенциальную), а также величину энергии взрыва и ту ее часть, которая переходит в первую основную ударнууо волну. Зная энергию ударной волны иа (59А4) при 1' — 2 со, мы в состоянии определить константу А, входящую в уравнение энергии 5 553 ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 509 Задавая время с„протекшее с начала взрыва, мы, зная из (59.34) величину А, определяем из уравнения (59.9) значение ха — Х, а затем и величину давления а Очевидно, после этого из (59АО) можно определить значения плотности, скорости воздуха аа фронтом и скорости фронта ударной волны для этого момента времени.
Это обстоятельство, как мы увидим несколько дальше, позволит нам достаточно точно определить расстояние ха фронта волны от центра взрыва для заданного момента времени Га. Для больших х, и Га величина )5 должна быть мала по сравнению с величиной ха, а потому в пределе мы сРазУ Я<е в состоЯнии опРеДелить значение ха, знаЯ 55. Из наших соотношений следует, что амплитуда ударной волны как в отношении давления и плотности, так и в отношении скорости убывает обратно пропорционально корню квадратному из времени; длина ударной волны, т. е.
расстояние между фронтом волны и областью покоя, возрастает пропорционально корню квадратному из времени. В самом деле, координата фронта х = Х+ с,с+ + Аф' 5, координата точки, где скорость равна нулю, как зто следует из (59.6), равна х, = Х + с,г; отсюда длина волны выразится так: Ь= А)/г = 1/ (т раса (59.38) Далее, снова отметим, что величина количества движения в пределе при 5' -~- оо стремится к вполне определенному значению Х = Маса = (Т 1) с е. т+4 лр, — =с+ — —. Е5 4 рс (59.39) Здесь Лр, — амплитуда на фронте первой волны. Скорость фронта ") См. ПМТФ № 2, 1960, Представляет значительный интерес рассмотреть взаимодействие двух слабых ударных волн треугольного профиля, догоняющих одна другую, что может быть сделано на основе найденного решения для слабых ударных волн.
Эта задача была впервые решена М. А. Цикулиным *). Фронт первой ударной волны распространяется так же, как при отсутствии догоняющей волны: 510 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. 1Х второй ударной волны в квазистационарном случае равна — ' + ' + ' — 1' + 1' (59 40) 4 где с„с„и„и„Ьр„Ьр — скорости звука и газа и амплитуды непосредственно перед и за фронтом второй волны. Вычисляя отсюда приращение длины первой 6, и второй волны б„получим координату дагана гь по условию: бо = 6, + Л, .,Г *1 о1г 4Л~ роо (Ароо)о ( ~ (1 + оогоо Ло Л +, /~воо Ло + (~~Р~0) 1 1. = т+1 ар„(4 ) ~ в Л срм ло) ~1 л~„ло (с,ро)о) (59.41) Здесь 1 = 1 для плоских волн, А = )гг!г~ — для цилиндрических и 1 = г1го для сферических волн.
Амплитуда волны в момент догона увеличивается по отношению к амплитуде первой волны: ЛР~ .о I 1 Кроо Ло -о / 1оо + 12о Лро оо' + Гороо Ло оо' 1оо (59.42) где 1 — импульс волны. Импульс суммарной волны равен сумме импульсов взаимодействующих волн.
Воарастание амплитуды в результате догона двух волн проиавольного профиля на большом расстоянии также следует этому соотношению. В случае многих догоняющих волн последовательное рассмотрение пар волн приводит в конечном итоге к тому же результату: .о ггх1„.
Н~~ъ 1' 1оо (59.43) Приведем пример двух волн треугольного профиля одинаковой амплитуды и длины. Координата догона вычисляется из соотношения "з При Л/го =- 0,1 и для волны Аро = 0,1 алозо получим для воздуха (рс' = 1,45 атл) в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях: (гь — го)!Л = 58; (гд — го)/Л = 142; (гд — го)!Л = 3300. Амплитуда волны во всех случаях возрастает в )Г2 раз по сравнению с одиночной волной, ( гг] пгомкжуточнля стадия движкния гдхгнои волны 511 $ 60. Промежуточная стадия движения ударной волны (т+(). „+(т-() р (т — () р„„+ (т + П р, ' ( р„„/ (60.2) т,„(г,„') у (т — Пр а+(т+() р Для типичных конденсированных взрывчатых веществ эта предельная плотность р, р — 0,025р, = 5 10 г г1сэг, температура Т,„р — 25Т, = 7000'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
