К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 82
Текст из файла (страница 82)
2 ]' после чего легко определяется Ь = ~ рдх,. Переход к координатам Эйлера не представляет труда, по- скольку 526 РАспРОстРАнение нестАцпонАРных УдАРных ВОлн 1гл. ьх Здесь р, ро — значения давления и плотности при 1 = О, Ь = 0 (х = 0). Далее, в момент времени 1 = 0 (сразу же после окончания процесса выделения энергии) в сечении й = 0 начинается истечение газа направо. Налево пойдет волна разрежения. Для определения' движения среды в волне разрежения воспользуемся решениями (57.20) и (57.21), выбирая для волны разрежения, идущей налево, знак минус: 1 и+~ — + Р, „ , (61.87) й+1 й 1+ — „" 1+ —" 1+ — „'' (61.38) Поскольку движение начинается при 1 = 0 В сечении й = О, тоР = О, г"о = сопз1.
Нафронтеволны разрежениярйо/(й+ Ь,)= = ро, и мы будем иметь следующие уравнения: о+ь Аойр ой й й — — (61.80) 1+ й росо (1+А 2со со = сопзь — +— й — ! й 1 = О, Ь = О. Поскольку й со йо (61.41) й й ь 1+— йо то сопа1 = 2с,7(й — 1), и мы имеем окончательно следующие урав- й ь й — 11+ —— 2 Рй — — 2й йо и = сопзй — — 4оо р ой й — 1 о о й 1+ й где с = у' йр,/р, — скорость звука при на фронте волны должно быть й Ро й и= — — „ росс (1+ й й (61.40) 1+ —" йо 527 $611 УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАПИИ пения, описывающие волну разрежения: (61.42) (61.43) Поскольку мы не имеем точных решений для произвольного уравнения состояния, то, вычисляя, с одной стороны, —, = — р(и — с) 011 161 (61.44) и из (61.39), с другой,— НА Ь вЂ” „=-р" (1+ А) (61.45) мы увидим, что будет допущена небольшая погрешность в определении р на фронте волн разрежения или в определении закона движения самого фронта. В самом деле, на фронте волн разрежения мы имеем: р/ре = = (1 + й/Ь6); с = ~Г%рТр = сбй6~(й + й); и = сейчай (й + Ь6), а из (61.44) и (61.49: = — Реса (1 + А, ) а(1+ — „) 1+— откуда 1 — ЬЯЬ6 = 1; лишь в пределе при Ь -~ со, когда движение становится изэнтропичным, решения переходят в классические особые решения для бегущей волны и становятся точными.
Однако неточность при большом аначении й, или для относительно небольших размеров аоны, где произошла реакция, незначительна. Аналогичными методами можно рассмотреть закон движения бегущей нестационарной ударной волны как в однородной, так и неоднородной средах. При этом один иа законов или связь между р и и или между р и р на фронте волны не будет точно выполняться, но и в этих случаях погрешность можно сделать сравнительно небольшой, меняя А6 и Ь6 на различных интервалах. Вариация Ь6 в зависимости от изменения А6 на малых интервалах в пределе приведет к точному решению.
Введем новую переменную А6 = дЫрбс и положим в самом общем виде, что до фронта волны р, = иА6р„где безразмерная а 528 глспгостгйнкник нкстлцнонйгных гдькных волн [гл. 1х величина а = а (Я) = а (Ь); тогда, поскольку на фронте †)" = ) (й+1)к+(й 1) рр (й 1)к+(й+1)в 2 /)з й — 1 2 !<Й)а й 1 Р= +1 ре/)г — й+ ре= ( + ) ( — „,~ — й рю (61.47) будем иметь где 9 = 66/61. Очевидно, величина (Ь + 1)/2Ьа (1 + Ь/Ь,)-<'"-и = = / (О), где / (6) — некоторая функция от 6, легко определяемая, если известны р, =ф (Ь) и с, = ~р (Ь). Уравнение (6~ — 2й ) (: -(-, ) =/(О) (61.49) легко интегрируется в параметрическом виде.
В самом деле, из (61.49) имеем 6 =Р(6); (61.50) дифференцируя (61.49) по 1, будем иметь О = ИРЯ1, откуда 1 = $ "~ (9) = Ф (6). (61.51) Таким образом, исключая из (61.50) и (61.51) параметр 9, мы придем к зависимости р (6; 1) = 0; ~к(Ь; 1) = О, (61.52) к 1 Зй-з с = (й+1) ( 2йо ) (1 + й ), (61.53) определяющей закон движения фронта ударной волны. Далее, зная на фронте р = р (Ь), мы тем самым определим р = р (х), далее 1 = 1 (г), где г = 1 й й, после чего легко определить 1 + й/И, Ф, (г), а затем уже и Ф, (з), что полностью решает задачу о бегущей волне; однако один из законов, как мы указали выше, например связь между р и и или р и р, не будет точно выполняться на фронте волны.
Для сильной волны решение задачи значительно упрощается. Из (61.48) будем иметь 529 удАРБАя ВолнА ЦРН РВАльнОЙ детонАцнн 1 61] откуда ЗК вЂ” 1 А ) з г 2 /к — 1 к ( «а~')1+ 1 / = ...1А.'-,1) ~ (61.55) Ро Зная ро = ар (Ь), мы сможем сразу же вычислить этот интеграл. Особенно просто решается задача о бегущей сильной волне в среде с постоянными начальными параметрами. Тогда 6 = Ь/р,с„ а = а, = сопз1 и из (61.18) имеем Рооо или Зк-1 откуда, интегрируя при условии Ь = О, если 1 = О, получим ЗК+1 (1+ „") ' =(,'+1), где 2Ко Г 2уао / К вЂ” 1 'к 2ко Г (2К-)-1)роса 1 К -)-1 ( 11 -)-1 ~ = 'зоа-)-1 У (К (61.56) К+1 2 — 1) Ао Р Далее, поскольку на фронте Аорк Аарк (61.57) З<ЗК вЂ” 1) (1+ —:.)" ' то ЗК+1 1 1 ЗК вЂ” 1 1+ — = ( "" /', Р=- Ао'"Рог "' Ь ( Аорк ~ 61' Поскольку с, '= йрз/р; а = р,/Аро', (61.54) принимает вид А з ~1+ — „) (61.54) 3/а/Роса = )/1/йАоРк+', то 530 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [Гл.
1Х где Р з= 1+— Мо (61.58) подставляя эти выражения в решение (57.20) 1 М-~-1 определим К+1 За+1 У м — ~ Отсюда находим 1 М вЂ” 1 Далее, иэ (57.21) определим Поскольку на фронте волны к+ 1, м-~ р = — р„и' = — риз 2 2 (61.62) то 1 ЗМ вЂ” 1 Аа Р з ~ / ВМ +1~ Фк (з) = 8а ~~ ов ) — 1~ зК+1 ~ (за+ т 1 1 рм 1 / АМ й 1 1 ~/ в' т ) 1вк з ~ ! З1! УДАРНАЯ ВОЛНА ПРП РВАЛЬНОЙ ДКТОНАЩП! 531 откуда окончательно 1 Зк — 1 .1" = А ам и= — ф( — р ~1+А) + зм — ! ,!ам з зк + ук ~$/ к — +1~ ' Поскольку ИФзЫг = — г ЫФ11'мкз Иг, то будем иметь откуда находим значение я:= 1, при котором это выражение удовлетворяется. При прочих значениях я решение уже не будет являться точным, однако эта неточность при Й .:Р 1 незначительна. Небольшое изменение уравнения адиабаты Гюгонио ее вполне скомпенсирует.
Сопряжение на заднем фронте волны может быть сделано с помощью константы, но это сопряжение будет также приблизительным. Более подробно рассматривать закон об адиабатических одномерных движениях газа мы не будем; этому вопросу будет посвящено специальное исследование. При понижении давления ниже определенного уровня, в зависимости от желаемой точности результата, необходимо в уже выведенных соотношениях изменить лишь величину константы Й . Следует отметить особо, что падение давления на фронте ударной волны в случае реальной детонации будет происходить сразу же после ее образования, т.
е. с момента времени конца детонации. При этом начальное давление на фронте ударной волны, как известно, будет больше, чем в случае мгновенной детонации; на расстоянии порядка десятков начальных длин ааряда давление для обоих видов детонации приблизительно выравняется и далее законы распространения ударной волны для обоих этих случаев станут достаточно одинаковыми. Начальная стадия истечения продуктов детонации при инициировании с одного из концов заряда с этого конца ничем не будет отличаться от разлета продуктов мгновенной детонации, причем с„ = Р12. После вааимодействия волн разрежения, идущих от обоих концов, режим разлета станет иным, чем при мгновенной детонации.
Однако через некоторый промежуток времени процесс разлета будет мало отличаться от разлета при мгновенной детонации. ОтРАжкник удАРБОИ ВОлны От ИРкГРАды где Т вЂ” время конца отражения (иногда Т = оо); член р (Т вЂ” т) учитывает атмосферное противодавление на стенку. Далее, исходя из условий (62.2) на фронте отраженной ударной волны, мы полу- чим ( т '1д' = Р„д = ид(х;() + Уд т' причем чд (т+ О рд+ (т — () рд . (т — () р + (т+ () р* ' (62.5) Зависимость плотности от х и г в отраженной ударной волне может быть легко найдена сначала в лагранжевых координатах, поскольку для заданного Ь имеем р рдн. Пересчет атой зависимости для координат х и д не представляет труда, так как аависимость скорости от Х при аппроксимации (62.3) можно изобразить в виде линейной функции от Х, а значение скорости на фронте отраженной ударной волны нам известно.
Определяя отраженное количество движения, мы определяем и величину Йд. Аппроксимацию (62.3) можно уточнить, если написать рд (1+ба)"' (62 7) где величины йд и т, ищутся из условия сохранения импульса и величины производной д( 1п р/с( 1п ( при д = б. Представляет еще интерес рассмотреть некоторые закономерности отражения акустической слабой ударной волны от стенки. Прежде всего мы, очевидно, имеем право как для падающей, так и для отраженной ударных волн использовать уравнение изэнтропы в виде Р =Аор Ро (62.8) вместо иазнтропы р = А(р". Для малых иаменений давления име- ем Лр = ЗА(,рддр = ТМр", 'Ьр, откуда следует, что Ага = д(' з рв (' ') (62.9) Поскольку слабая падающая ударная волна может быть описана уравнениями — = ид+ сд', с, — пд = с, д (62ЛО) отсюда определится закон движения фронта отраддденной ударной волны Ф(х; () =О.
(62.6) 534 РАспРОстРАнение нестАциОнАРных удАРных ВОлн [гл. 1х то для отраженной волны, полагая, что стенка расположена при х = Ь и ударная волна подходит к стенке в момент времени т, мы будем иметь следующие уравнения: х х — 2Š— = их+ са; их — сх= (62Л1) Отсюда мы видим, что для слабой ударной волны скорость действительно представляет собой линейную функцию х, а скорость звука (а следовательно, и плотность и давление) не зависит от х: х ид =— (62.12) Поскольку на фронте имеют место соотношения Иха 2 (И1 Сг + Иа Сд) И И1 Сг С С1 2 а х — 2Ь их — сх = с 1 фронт отраженной ударной волны будет распространяться по закону И*~ х с й 1[1 21 2 1 (62Л3) Принимая во внимание начальные условия отражения х = Ь, с = т, мы будем иметь для координаты отраженного фронта соотношение х, = с, )1 [т — с,[ — Ь |/ — + 2Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
