К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 86
Текст из файла (страница 86)
(65.39) сд+ (дд — и)д 'сд+ (хд — и)' и = Г'-дЦ, Р = гс 'д], кд = Гс-дО, с = Гс дпд, (65.40) где $, т], 6, од зависят от гд, хд, гс, даваемых равенствами (65.2д). Указанные решения могут иметь приложение, в частности, при изучении процесса разлета продуктов детонации фигурных зарядов. Уравнения (65.38) и (65.39) дают решение указанного частного случая. Если (д = — О, то мы придем к обобщенному решению Прандтля — Майера для обтекания какого-либо профиля или угла стационарным потоком газа. Следовательно, нестационарные течения при /д = О не существуют.
Можно легко найти обобщения указанных решений (пространственных и плоских), если принять, что 1 651 некоторые неустанонившиеся течения ГАВА 557 Рассмотрим еще один случай точного решения уравнений, описывающих пространственные иззнтропические неустановившиеся движения гааа).* Основную систему уравнений воаьмем в виде (2 13), а уравнение неразрывности в виде(2 19). Перейдем к независимым переменным (1; х; у; р) и положим, что и = и (р); и = Р (р); ид = сн (р); тогда система основных уравнений примет вид де 1 дд Ис 1 дд рФ вЂ” + — — =0; рФ вЂ” + — — =О, Ир р дх ' Ир р ду 65.40' дд дд дс где Ф = — + и — +и — — нд. Пусть дд дх ду (65.42) з = дде (Р) + хдд (Р) + Удо (Р) + до (Р) тогДа Ф = Ге + и1д + Р1« — ид и система (65.41) пРимет виД Отсюда следует, Ф= — /с— о И1пр ди что (65.44) При ~е = 0 движение газа будет стационарным. При го = 0 движение будет автомодельным в обычном смысле.
Если у = 0 (Р = 0), то при 1 = 0 будем иметь обобщенное течение Прандтля— Майера; когда з = х1д (р) + 1о (р), при 1о = 0 получаем обычное течение Прандтля — Майера. «) Этот внд течений был найден Г. С. Гелнцыныы. рФ вЂ” '„'"+У,=О, рФ вЂ” — 1= О, дх др и Ф = с)с1+1«д+Д, а 1дсд 1и р д/1 +1,'+1, сИ 1п р )~1+ /е+ 1~ рФ вЂ” '+/о =О, дн еи дю +1д д1 +/о д1 (65.43) также 1дсд 1и р )с 1+ 1д, +),о 1о + идд + и/о — ид = с 1 1 + Й + ~о, . 558 (гя. х пРостРАнственные движения ГАЭА 3 66.
Начальная стадия двумерного иеуетаиовнвшегося течения газа Рассмотрим задачу о плоском неустановившемся истечении сжатого газа из трубы (рис. 72). Газ будем считать подчиняющимся уравнению политропы р = сопз1 р". Пусть в момент времени ~ = 0 убирается стенка и газ начинает истекать вправо. Очевидно, что течение газа будет изэнтропическим и нестационарным. При этом по газу справа налево пойдет волна разрежения, фронт которой будет параллелен осн у. Скорость фронта равна — сю где с — скорость звука в невозмущенном газе. В момент времени г = )/с„эта волна дойдет до левой стенки Рве.
72. трубы, где ) — длина трубы. В случае истечения газа в плоскую трубу движение его описывается уравнениями одномерного не- установившегося движения газа. Однако в нашем случае будет иметь место расширение газа в стороны. Расширение вначале будеть происходить в двух боковых волнах разрежения. Определим изменение положения фронтов этих волн во времени. Очевидно, что эти фронты боковых волн разрежения будут являться характеристиками уравнений газовой динамики: первых двух уравнений (2Л4) и уравнения (2.20) при ю = О. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 559 Уравнение характеристик / (х, у, 1) = О при этом, как известно, имеет ввд Так как в нашем случае фронт боковой волны разрежения будет примыкать к области одномерного движения, где составляющая скорости вдоль оси у и = О, то уравнение характеристик примет вид (66.2) Вследствие неразрывности параметров потока при прохождении волны разрежения значения я и с на фронтах боковых волн раз- режения должны быть равны значениям и и с в одномерном не- установившемся рилгаеосском потоке, для которого х 2 — (сн с).
(66.3) д ' А — 1 Поскольку движенне в начальной волне разрежения автомодельно и зависит от одной независимой переменной 1, = х/1, то в нашем случае, поскольку в определении параметров потока в боковой волне разрежения не участвуют боковые размеры трубы, то параметры этой волны будут зависеть от двух независимых переменных: гд — — х/1; гг = э/1. Уравнения (2.14) и (2.20) в этих переменных примут вид =О, (66.4) Движения газа, описываемые уравнениями (66.4), будут автомо- дельными.
Уравнение (66.2) теперь примет вид — — (к — г,)+ — г,=с 1.г ~ — / +~ — '1 (66.5) дгд дгг г г' ~ дгд/ ~ дгг/ и после преобразований, поскольку г1/ = — сггд + — сггг = О и и — гд = с, д/ д/ дгд дгг ди — (и— дгд дс — (и— дгд дс дс — (и — г ) +— д., дгг ди гд)+ д дс г,) + — (Р— дгг дг— (и — гг) + 2 2с дс ")+й 1д. 2с дс г,) + —— А — 1 дгг 560 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИХ(ЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. Х его можно будет переписать в виде сс 2 2 2 — сс 22 (й+Х)1 = — — +с=— 2 + (66.6) Решение полученного уравнения при условии 221 = О, 222 =0 примет внд 1+1 3--1~ ! 2 ' )2 1 (и — 1)' Г7 Есн — ..„'...„„+ „1,'.1— 2-1 -(- —.""-Г ' '1 (66.7) В случае 12 = 3 решение (66.7) принимает вид г, = — (г1 — сн)2 1п 2 з 1 н с 11 н (66.8) при 2 — 1 21 = х1' = — „', с„~1- ~,,',+ ',) (66.9) сн 21 нли, для Й=3, при 1П " ' = — 1!2, сн 21 = 0,39с„; г2 = 0,30с (66ЛО) значение 22 = з, становится минимальным для верхней боковой волны разрежения.
На основе анализа полученных данных картина неустановившегося течения газа в рассматриваемом случае изображена на рис. 72. Неустановившееся течение газа в начальный момент можно себе представить следующим обрааом: в центральной зоне идет так называемая римановская волна, основные аависимости между параметрами которой известны нз теории одномерного неустановившегося потока; снизу и сверху расположены боковые волны разрежения. Полученные решения справедливы до момента времени 11, в который обе боковые волны разрежения сойдутся в точке, где 22 = 22 = г,мон (для верхней волны), при этом г2 = — а!2Г1, где а — боковые размеры трубы. Момент слияния этих двух фронтов боковых волн разрежения соответствует моменту времени, при нАчАльнАя стАдия дВумеРнОГО течения ГАЗА 561 бб1 котором одновременно выполняются условия: г — 1 откуда получаем 1 — г и 1 1 г — г 2 г — и ~ — 1 ~~+~/ (66.11) что определяет значение гг, и далее г, и х* = г,бг.
Аналогично для гг = 3 + = (си — г,) —,!и " = 0,30си. (66.12) и где ~р* — обычный потенциал; с' иг+ и' ° + гг=р+ — „, + (66.13) что является уравнением Бернулли для рассматриваемого класса течений. Здесь СЧ()г — 1) = 1 — теплосодержание. Обращая зависимые и неаависимые переменные, после обычных преобразований, используя уравнение неразрывности, придем к уравнению д ((и — гг) — с)+ д ((У вЂ” г,) — с)=2 д дгг дгг дгг (66.14) пРичем л, = д$/ди; гг = дз!ди, гДе 6 — новаЯ потенЦиальнаЯ функция, так что (66.15) и) для полноты нзложення мы повторяем некоторые вычисления $65, После встречи этих волн разрежения между ними, сгтмметрнчно осн х при у = — а!2, возникает новая срединная волна разреясения, которую можно описать общим решением. Это решение не будет автомодельным. Приближенно его можно искать, полагая, что параметры этой волны не зависят от у, а зависят только от х и 1.
Найдем теперь внешние характеристики или внешние границы расширяющегося газа. Для этой цели преобразуем систему уравнения (66.5), введя потенциал скоростей, поскольку иззнтропическое движение газа всегда потенциальноб). При этом и= —, н= —, здесь гр= —, др др Ф дгг ' дгг г 1 вт) цилнндгнчкскив и дктоййцнопиык волны 563 В заключение интересно отметить, что только при 1 — «ос правая часть газа подчиняется римановскому решению и будет поглощена последующими волнами; при конечных временах, прошедших после начала разлета, зта часть будет существовать. 6 67. 1йилиидрические и сферические детонационные волны «) ди ди 2 дс — +и — + — с — =0; дс дс й — 1 дс дс дс й — 1 ( ди Жисй — +и — + —,(с — + — /) =О; дс дс 2 (,' дг с (67 1) здесь /(Г = 2 для сферических волн, Д/ = 1 для цилиндрических волн и Х = 0 для плоских волн.
Система уравнений (9.10), описывающих автомодельные движения, имеет вид с) )ад д 1а. (ас — х) дх дх (У (й — 1) + й+ 1) х — 2 (а~ — х)с — у Г 2(ав — 1)+ ас 2 ю у ( й + х (йс + 1Ц вЂ” х (1 — х) (ас — х) (67.2) «) Впервые переменное а = с/г ввел О. Е. Власов в 1937 г., задачу о сферической детокацвовиой волне решил Я. Б. Зельдович в 1940 г. (9). При изучении неустановившихся пространственных движений среды наибольший интерес и практический смысл представляют движения, обладающие симметрией. В классе задач, относящихся к этому типу движений, наиболее важными являются задачи о распространении цилиндрических и сферических волн, которые в природе встречаются весьма часто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
