К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 90
Текст из файла (страница 90)
В случае, если а, + О, мы поступаем анало- гичным образом, при этом координаты точек, вообще говоря, будут зависеть от а, и а,. Поэтому из условия (69.7) мы найдем некото- рую функцию ~р (а„а,) = О, (69.9) что определяет свявь между а, и а,. Прежде чем перейти к энергетическому методу определения ам выпишем выражения для и, р и р. Очевидно, и = Ги гт(з) = !и р= !" $( ). р= — "" зи!Ч.-П ч Т (69ЛО) Напишем теперь выражения для полной энергии (т. е.
суммы внут- ренней и кинетической энергий) ударной волны в любой момент времени (пока волна сильная) ии Е=В~ ~ ~ + Р ))гкйг. о (69.11) *и Е= В ~ !ко-и+имя+пи ( '" + — ')ЗИг. (69Л2) ! Т(Т вЂ” !) 2 о Поскольку полная энергия постоянна и, вообще говоря, задана, то интеграл не должен зависеть от г и поэтому (Х + 3) а, + а, = 2. (69ЛЗ) В рассматриваемом случае а, = О и 2 а = —. !у+3 ' (69Л4) Здесь В = 2 при )и' = О, В = 2я при Х = 1, В = 4я при )т' = 2, ги — координата фронта ударной волны, Š— полная энергия в указанном выше смысле. Выражение (69Л1) сразу приводится к виду 1 Вз) ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА (()„— и) ( ~ + ~ ) — рх1г)2 = сопз( = 22.
(69.21) "') Т вЂ” 1 2 Отсюда для автомодельных движений следует, что (а,— х) ( ' — + —,) — — = К х2 ) Чх (>2 (69.22) т (т — 1) 2 ) т Р2)2+2 При начальных условиях (69.3) имеем, что И = — О, откуда непосредственно и следует решение (69Л8). Имея это решение, квадратурами определяем а з = с)х-" (х — — ) ( Та -! =.р()! ~+ а1 х+ а1(т — 2) ! )-а, — "1('- )"" х т ) 2 р = т! = сз (а1 — х) ' ' ( ~Ь ) С2(Р2(Х) (69.23) а) а1(т — 2) +1 — т Далее определяем 1 — 1 а| а1 1 2 (1-2) а,21 и = с((а,-1>х(1-',> х — — ) 1 т) Р = — С,С212(а' ') Х2(1-а» (а, — Х)' 2 Х вЂ” 2 2 2Т а1 12 т — 1 2 Х ~х+ (,)+ 1 — 2 с(С2)ра(х).
(69.24) Здесь ( т — 1 т +41+ а1(т — 2)+1 — Т ( 2 а)(т — 2)+1 ! 1' Ь=2а(1+ Отсюда определяется температура 22 С,,Т = " = — '>Иа-» Ха(1-'*)(а, — Х) Х (т — 1) Р 2Т а,-1 х (х — ' — ') (' ""+' (х+,' ) . (69.25) Так как полная энергия постоянна, то последнее выражение при- водит к следующему результату: 586 !гл. х НРостРАнстВенные дВижения ГА3А При этом величина р = р = сопе1 определяется из второго соотношения (69.24): Р 6 / т+1 )К)- ) / т+1(.-2 /т+1 а)т — 2а)+1 Р„(, 2Т / (, Т / ( т 2а)т — 4а,+3 — т / (69.27) Можно указать асимптотические выражения для и, р, р и Т вблизи центра: и г/1; отсюда имеем У И 202+2) 2(А(22) К+) 2(2-2)(Х+П р Г 2 2 1 ()2+З)(7-й р 1 М+З, 7' 7. ~-~( (и+акт-)) (69.28) Следует заметить, однако, что излучение при высокой центральной температуре может сильно изменить указанные зависимости. Рассмотрим два предельных случая: 1) при у = 1 имеем а=а„— 1, Ь= — (а,— 1)', ) = —, (69.29) для любого Х; 2) при у (2а, — 1) = 4а, — 3 или у = = (3/(/+ 1) (Л( — 1) знаменатель последнего сомножителя формулы (69.27) обращается в нуль, при этом Ь ( О, следовательно, в случае Ф = 2 у = 7, р = О.
Следующая таблица дает значение 6 для различных у и /)7: 5(з 7'3 2(7 0,18 0,16 1 2 1 2 0,11 0,45 0,39 0,35 0,36 0,32 0,33 0,30 024 0,10 018 0,42 0,16 0,39 0,15 При у = 2 + е, где е — О, а = — а„ Ь = — 2 (а, + 1/е), зя21 4 (3) К+з (2 )я+2 Вычислим теперь величину интеграла в выражении (69,11): 22 В =- В ~ рз"+2 ( у — + — ") — '. (69.30) (т(т-1) 2 / 2 Проаналиаируем теперь найденные решения; при х = а,/у = а имеем у -+- оо, г = О, и = О, р = О, р = сопе1, Т = оо. (69.26) 587 ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 1 аз) На основании (69.18) и (69.23) имеем а х' (Т вЂ” 1) ' э1, т+1 а Т(Т вЂ” 1) 2 ' а ' нф,н' Т вЂ” 1 'Ч,н' Т где чан и ~ра„— значения функций ~рги ~ра при х = хн.
Таким обра- зом, хн х х —— Т Обозначим через $ интеграл хн 1н х —— а Т (69.32) Тогда т+ Ез Я+а 2Т (69.33) Преобразуем это выражение; поскольку 2аа я+а -(я+а) Рт = — Рагн Г„ Т+1 (69.34) то будем иметь Е (Т+')*В~ глм 4Та,' (69.35) В Р, нк" Рта Е= — за и+1 Т 1 = Т (69.36) Величина Вгн~м)(Х + 1) = Р представляет объем, занимаемый ударной волной, величина р !(7 + 1) дает плотность объемной внутренней энергии на фройте ударной волны.
Поскольку Рт!(7 — 1) = Р и~~/2, то плотность полной энеРгии на фРонте волны равна 2р„/(7 — 1) = е . Следовательно, (69.37) Рис. 79 дает величину за в функции от 7 для различных Х. Так как Е можно представить в виде Е = Уз, где величина е Обозначив через $а величину: $а = ((у + 1))2а,)г (1 — 1/7) (Лг + 1)$, получим 588 НРостРАнстВенные дВижения ГА3А [гл. х обозначает среднюю объемную плотность энергии, то величина (69.38) 2 с показывает отношение средней плотности энергии к плотности энергии на фронте ударной волны.
Рис. 80 и 81 иллюстрируют распределения р, р и и для цилиндрической и сферической волн при у = 7/5. РУ Р4 ДУ 7Б' бг ф~ 09 (Р ф' ' Рис. 79. Задача о точечном взрыве в координатах Лагранжа решается аналогично решению в координатах Зйлера (см. з 9). При р„= 2 (аь — 1) = совами имеем а, = 0; отсюда а = а„а, = 2 (а, — 1), а, = а1 2 Из условия сохранения энергии находим, что а,=, З,да- 2(Я+1) ( ) (м++т)— лее, аз — — — у „2, оа — — — (Х + 1), Поскольку ф = Р(д) д-з = гд-з = Ф,(д) =- Фа(з), то на фронте г Л г = — — =да; а а а' таким образом, ыз Г(да) = ги, и = г„ Основное уравнение (см.
уравнения (9.59)) при этих условиях легко решается в общем виде. 589 ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 9 99] Перейдем к определению импульсов сильных ударных волн. Рассмотрим сначала плоскую волну. Предположим, что в центре симметрии имеется плоский бесконечно тонкий очаг взрыва и ударная волна от него распространяется в обе стороны. Вычислим интеграл 1=$(р — р.)а=$ра, (69.39) определяющий величину импульса, действующего на стенку. Прежде всего заметим, что нз формулы (69.27) р = Орю Далее Ф тгг, Оу ~ гд Ркс.' 81. Рве. 80. очевидно, что поскольку Х = О, а1 = 2!3, В = 2, то Е = = 2тьзр г )(у — 1). Так как рт = 2р .09!(у +1) = 8раг~~Ду+ 1) г, то (69.40) что дает выражение гв через Е. Таким образом, получаем 1 1 Т вЂ” 1 Е 99 8 е к )'=$6 — — — = —. (Т вЂ” 1) — — 1, 2 б9 9 8 зв 9 9 СЗ в или где Мз = г„рв есть масса воздуха в ударной волне, распространяющаяся в одну сторону от стенки.
Поскольку в ту же сторону идет 590 (гл. к простРАнстВенные дВижения ГАЭА энергия Е!2 = Е„то Т+1 42 (69.42) Далее, так как отношение кинетической энергии к потенциальной постоянно: ЕА)Е„= аг = сопз1, причем "н г рнг я а рхгг — г л3 3 з лг О1— о о (69. 43) "н то 1 = 20 1/ 2 — ЛХ Е„. У т+1Ц~ м (69.44) Подсчитаем теперь количество движения газа в ударной волне, распространяющейся в одну сторону: гн (69.45) Зто выражение принимает следующий вид: о хн 4ра (' р х гг(г (т — 1) ()У + З) 3 р х 22 х г 2 2 = Знго (69.46) Проиаведя некоторые преобразования, мы придем к формуле 1=2) р' (61о=ра~н Г Т+1 Ем„ Т вЂ” 1 оо (69.47) где введено обозначение хн р х гг(г х Поскольку количество движения в ударной волне равно импульсу, действующему на стенку, то мы вправе приравнять выражения — г ага р х Т вЂ” 1 о 1 = ~ риггг.
о 1 гн Гг "н 1 =1 ~ рхзгЬ = ~/ —, ~ рхзгЬ = гн ° руга+~ ~ Т (Т 1) Л а 1 611 59$ ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА (69.41) и (69.46), откуда будем иметь ц=26 Т Т+1 (69.48) "н х, Х = В ~ ригл((г = (рта'~" 1Вг„~ ' р, ~ н Т 1 а а Я+1 4 Р (у+8)(Т-1) р х ал+1 а(р х гнат н н гн (69.49) хн р х ам+1 г(г где т), = ( — — —. Поскольку .) Р х 1 а+а ) х 2 а га 8ра ан В (Т вЂ” 1) (У -(- 1) Маг Т+ (Т+)( +) 4 и (69.50) то в результате элементарных преобразований, исключая из м+з (69.49) величину гн г, будем иметь Х=2(Я+1)Ч1)г — 1 2 причем Мн — — Врага~~/(11' + 1). Рассчитаем теперь количество движения, приходящееся на один квадратный сантиметр поверхности радиуса г„: .ГТ+ В(1У+1) = — = 1'н ' 21)1 )' Т вЂ” 1 Р" ХР,В ' (69 52) Вг Отсюда в частном случае для плоской волны, поскольку В = 2, будем иметь и / гнрал Т+1 ., гг .ЧаЕ Т+1 '=Х=т) г 4, т-1 =Ч)г 4, т-1 т.
е. в результате придем к соотношению (69.47). Определим теперь, как мы уже делали это в $68, сумму абсолютных величин количеств движения частиц рассматриваемой системы для сферических и цилиндрических волн; для этой цели воспользуемся выражением [гл. х 592 НРостРАнственные двихзения ГАЗА До сих пор мы определяли количество движения воздуха в ударной волне для заданного момента времени; интересно выяснить величину потока количества движения, проходящего через один квадратный сантиметр поверхности, отстоящий от центра взрыва на расстоянии г„; эта величина определяется формулой лзз л~ы х "', (69.53) лъз где ~, — время прихода ударной волны к г . Произведя некоторые преобразования, мы в результате придем к выражениям В М, 1з=Ч(Л +1)Чззз' ~~ з '~0 = Ч(%+1)Ч, )' —,„", ' — „' (69.54) l ~ М зз 1~/ .ЕР,(У '( з) (69 55) где Анализируя эти вырах<ения, можно прийти к выводу, что для сферической волны з' и з, = г„'~', для цилиндрической волны з и 3з сопз1 и для плоской волны 1 и зз у Г Как видим, лишь для сферической волны количество движения, рассчитанное ка 1 сгзз, убывает с расстоянием, для цилиндрической волны количество движения постоянно, а для плоской— возрастает с расстоянием.
По мере того как ударная волна будет распространяться все дальше и дальше от центра взрыва и давление на ее фронте падать, движение воздуха в ударной волне будет все более значительно отличаться от автомодельного. Оценим примерные границы применимости найденного решения; можно допустить, что при давлении на фронте не менее чем 20 кг на квадратный сантиметр указанным решением еще можно пользоваться, так как при этом плотность на фронте ударной волны будет всего лишь не более чем на 10з~з' отличаться от предельной постоянной плотности.
Эта величина 593 9 бш ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА и будет характеризовать примерную точность полученного решения. Кроме того, необходимо также учитывать и собственную энергию воздуха, вовлекаемого в движение ударной волной; с увеличением расстояния эта энергия возрастает. Однако влияние собственной энергии воздуха будет сказываться на значительно ббльших расстояниях, чем влияние переменной плотности. В самом деле, Е = Чар у /(у — 1), а собственная энергия воздуха в единице объема равна р,/(у — 1) = 2,5 10' эрг/сма, следовательно, на указанном расстоянии собственная энергия воздуха будет равна лат ЕРа Еа Т 1 УАРу (69.56) При ру/р, = 20 ег/сма и $9 = 0,6 для сферического взрыва, например, имеем Е,/Е = 1/12 = 0,08.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
