К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Интересно отметить, что при у = 7/5 давление эа фронтом сходящейся волны сначала возрастает, а затем уже начинает падать, Плотность за фронтом при любом у монотонно возрастает. Весьма важно отметить, что не существует сильной сходящейся волны с постоянной энтропией на фронте аналогично детонационной волне. В самом деле, в этом случае а1 = 1, поскольку аб = = О, и основные уравнения (69.2) принимают вид б(у 1()п 1 (1 — х) — — (Ь вЂ” П у ах (1 — х)1 — у 1(х [А7(Ь вЂ” 1] +4+1) х — 2 х[(У+1)у — (1 — х)а) [пу = — ~ 1 б[[пг+1п(1 — х). Г 57+1 (69. 99) Решение нужно искать в области г„( г а.
со. Однако решение, удовлетворяющее начальным условиям ип аа /)/(/б + 1), с„= = /бй/(/б + 1), г„= г/1 или х„= 1/(/б + 1), у„= [/б/(/б + 1)[б, существует только в области О ( г ( г„. В самом деле, в точке г = г„имеем 71ЗЯх = О; 1[у/Гбх = (/б — 1)/й (/б + 1), и как было показано выше, диЯг = 1[с/б(г = со; Уп/б(гб+ О; УсУгб+ О. Отсюда следует, что в этой точке линии и =- и (г), с = с (г) не имеют 604 НРостРАнстВенные дВижения ГАЭА [гл. х перегиба, а просто касаются прямой г = з„. Следовательно, в области г = з„решения не существует.
Представляется возможным очень просто рассмотреть движение газа после отражения волны от центра симметрии (при г ) 0). В момент отражения при г = 0 имеем: г = О, г = 0(0 = сопз1,, р -с- оо, р = р„р, и = О, при г) 0: г-с- оо, р = га'с-1>/сч р = р„р, и г<' — 'У"с Очевидно, что при ~ = 0 конечное П Лд у 45 г Лд 9 ~~ ЩФ~ Ряс. 84. количество энергии сходящейся волны сосредоточено в точке (полная энергия волны бесконечна).
Таким образом, движение газа после отражения эквивалентно движению газа при точечном взрыве с той только разницей, что ударная волна, идущая отцентра симметрии, в рассматриваемом случае распространяется по движущему неоднородному газу. Численное решение задачи не представляет особых трудностей. $ 70. Цилиндрические и сферические волны в акустическом приближении Рассмотрим сначала сферическую волну. Для бегущей сферической звуковой волны, как мы знаем (8 5), имеются следующие соотнотяения: Г,(с — с 0 Р. де дю с г с а (70.1) д(р г1 и= — = —— дг г ю юю] цилиндвичвскив волны в икустичвскои пвивлиюквнии 605 -е сек 47 кем Рию.
85. Р ф'йу за'~ се есек гав есик ЮЮ сек =еем век Ю.аи Рис. 86. 1 уо1 цилиндгические ВОлны В АкУстическом пРиБлижении 607 Сферическая волна, занимающая конечную область пространства и имеющая малую длину по сравнению с расстоянием ее от центра, может быть описана более простыми соотношениями Ра 1 Лр= — '— с ЛР и= — =с а г р (70.2) при этом в выражении для скоростимы пренебрегаемвторым, малым по сравнению с первым членом. Так как скорость распространения фронта ударной волны описывается выражением (70.3) Р Рд которое с точностью до членов первых двух порядков равно значению производной д (рй)/с(р, где аргумент и равен полусумме (и + и,)/2, то, так же как и для плоской слабой ударной волны, мы будем иметь выражение, определяющее скорость фронта сферической слабой ударной волны: ьгу =- —, '((и+ р — „) + (и+ р — „) ~ = 1 д ЬР Ьс з [и+с+с,) = — с, + —,~ — + — ~.
2 ра са (70.4) В случае идеального газа, поскольку с = с, + (у — 1) и/2, это выражение принимает вид Ру=са+и=са+,Лс, т+1 т+1 е (т — 1) (70.5) Так как на фронте волны имеем и = Гун/г и значение функции г',н может быть для фронта принято постоянным, то Й т+1 Р1н — =/г'у=с + ас а 4 г (70.6) Интегрируя это выражение, придем к следующей зависимости между координатой фронта волны и временем: т+1 г"1 "+ 4с, г = г, + с,1 + — 1п 4 с т+1 ус+ 4 1н а (70.7) где при 1 = 0 г = г, (считая, что движение начинается на сфере радиуса г,). Из этого выражения видно, что длина ударной волны 608 пРостРАнственные движения ГАЭА 1ГЛ.
Х возрастает пропорционально логарифму расстояния: Л 1п (г + сопзс). Поскольку энергия волны постоянна и для рассматриваемого приближения равна о С+А Сн(г+сооаС> 4я ~ р иагас)г= Ео — ос О (70.8) то амплитуда волны и, в частности, амплитуда скорости будет ме- няться с расстоянием по закону (70.9) и— г 1г 1н (г+ 4 Гсн) или (70ЛО) Произведя некоторые преобразования, можно прийти к выраже- нию М ~Г(ЛМ)а+, (70.И) где М„= 2р,Л; слМ = 2слрЛ. Как видим, величина количества движения падает обратно пропорционально квадрату расстояния, пройденного волной. Из (70.2) и (70.9) следует, что Гсов 1 т+1 )гг 1п (г+ — сг 4с анс о Таким образом, дополнительное падение амплитуды в слабой ударной волне по сравнению со внуковой происходит пропорцио- 1 нально величине .
Следует заметить, что в том )Г!э (г+ совал) случае, когда нельзя пренебречь в выражении для скорости вторым членом, пропорциональным г ', при переходе амплитуды плотности через нуль скорость будет иметь еще некоторое положительное значение, однако в рассматриваемом приближении на балансах энергии и импульса вто никак не отразится. Вычислим теперь величину количества движения для сферической слабой ударной волны.
Очевидно, л л л — — с — с Ы= 4я ~ ргаис) — 4я ~ рг'ис)г = 8я ~ сЛригас(г о а о 1 ~м пилипдеичвскик волны в лктстичгском пеивлпжкнип 609 Аналогичные выводы можно сделать и для цилиндрической слабой ударной волны. Поскольку в пределе и 1ф г, Лр 1/)Г г, то Р, = Угой = с, (1 + Аф г), откуда г = г, + с„1 + 2А ['[г г — ]( гз] — 2А' ]п уг~ + А 1 и г Мг — у (70А2) Таким образом, дополнительное падение амплитуды пропорционально величине 1 ]' ~' — У что впервые было установлено автором в 1954 г. Для количества движения будем иметь такое соотношение: Л7 (Лр)з ) — (~РО'~ .
(70АЗ) г Лрй = — р [~р(со) — <р( — оо)] = О, поскольку при 1 = — со волны вообще нет. Следует заметить, что, точнее говоря, величина ~ (со) пропорциональна (Лр)', как мы установили выше для количества движения, равного импульсу давления. Отсюда вытекает, что по мере прохождения волны через заданную точку пространства будут как области сжатия (Лр ) 0), так и разрежения (Лр (0). К атому заключению можно прийти и на основании следующих соображений; избыточная масса растет в волне пропорционально р,г'ог — г. Позтому, исходя из закона сохранения массы, необходимо положить, что за областью сжатия должна быть область разрежения. Необходимо отметить, что если плоская волна может быть или волной сжатия или волной разрежения, а также представлять собой комбинацию обеих волн, то сферическая (цилиндрическая) волна конечной ширины обязательно должна содержать и зону сжатия и зону разрея<екия.
Это вытекает из таких соображений: при г -+ 0 потенциал ~р должен оставаться конечным; отсюда функция Р, (г — с,1) при г — ~- 0 должна стремиться к нулю при любом т. Следовательно, при г - 0 потенциал ~р (г — с,~) при г — ~ со также должен стремиться к нулю. Так как Лр=с,Лр= — р —, то з дй зс * 610 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА игл. х б 71. Приближенные методы интегрирования уравнений для цилиндрических и сферических волн Исследуем сначала возможность нахождения общих решений. Для этого воспользуемся уравнениями, написанными в форме Лагранжа: (71А) причем г, и "= ~ 1'о Ро ого = ~г Р'[». о о (71.2) Будем искать решения, предполагая, что имеет место связь -'- = В (Ь) — — [А'- . Я], (71.3) дифференцируя по г, придем к уравнению (57.28) (71.5) Кп — Н г 2л — 1 Ч Оп — 1 Как мы покаэали в 2 57, при А = А,~: (Ь +Ьо)~ — о( Ао решение этого уравнения имеет вид (57.31) дп 1 и = „, [Р,(~+ т) + Во(2 — т)], (71.6) где ~2л — 1 + ~й~ 1 Для бегущей волны одна иэ функций равна нулю.
Для г имеем из (66.6) решение г = „и „[Ф,(г-[-т) -]-Ф,(г — т)]+Н(Ь), (71.7) где Ф... =- ~ г'1.ой, а Н (Ь) связано сВ(Ь) = — ль ~Ао — „] . д~ одВ~ заменяющая уравнение состояния; тогда система уравнений примет вид — = — [А чг и] — В(Ь) = — „~А' — „" ~ — В(Ь); (71.4) ~ 11! ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 611 Далее определяем ч =- гьдг!дй и из уравнения (71.3) р, причем, определяя р, мы вводим еще одну произвольную функцию времени Т (1). Таким образом, мы находим решение в виде р = р[(Е+т), (Š— т), Н(Ь), Т(с)]; ъ = Р [(й+ т), (1 — т), Е1 (Ь), Т(с)]; (71.8) и = и [(е+т), (е — с), Н(Ь), Т(1)].
Поскольку функция Т (1) произвольна, то ее следует определять таким образом, чтобы полученная аависимость между р, ч, Й и 1 наиболее слабым образом зависела от 1. Для бегущей волны оДна иа пРоизвольных фУнкЦий, напРимеР г'з (1 — т), Равна нулю, и решение (71.8) позволяет, полагая Т (г) = О, найти связь между р, ъ и Ь. Поскольку Р = Р Пг + т) тт (Ь)1' ч = Р [(~ -]- т), Н(Ь)], (71.9) то будем иметь, исключая (1 + т); р = [ [Р, Н (Й)] = ~ (Р, Ь). (71.10) Указанные аппроксимации уравнения состояния, например, на различных интервалах давления могут быть различны.
Как видим, предлагаемый здесь способ отличается от классических способов интегрирования уравнений газовой динамики тем, что остается вначале произвольным уравнение состояния; ищется некоторая связь мея1ду р, ч, Й, г, при которой получающееся уравнение элементарно интегрируется. Далее, необходимо задать граничные и начальные условия, например, на границе раздела двух сред или на поршне таким образом, чтобы оставались один или несколько произвольных параметров, надлежащий выбор которых позволил бы приблизить связь между р, ч и Ь к истинному уравнению состояния при наиболее слабой зависимости от 1, причем на рааличных интервалах давления произвольные параметры могут быть различны. Ниже мы рассмотрим пример, иллюстрирующий предлагаемый метод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
