К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 97
Текст из файла (страница 97)
а РГО (Π— х) (74.16) На линии (74.7) заданная частица среды приобретает максимально возможную скорость й, при которой с = с„р = р„далее, каждая частица разлетается с этой скоростью, независимо одна от другой, поскольку происходит кавитация среды.
Определим зту максимально воаможную скорость. Для этой цели, сравнив выражения (74.7) и (74.16), найдем, что 4с',с (~ — т) = (х — о) (х, + / + 2 (сот — аЦ. (74Л7) Это выражение дает зависимость между значениями хо и 1 вдоль линии, где происходит кавитация. Далее, из выражения (74.8) находим, что (74Л8) Подставляя найденное выражение для 1 в (74Л7), придем к связи между хо и й: (х, — /) (хо+1+ 2(сат — а)) = оГах 3 1 — а1Г ит х 1 — а1 = 4с, ~ — + — т — ~ ~ — + — — — ~ .
(74Л9) — а~2с 2с ~ ~ 2с 2 2с Займемся теперь некоторыми вычислениями: если в момент подхода к свободной поверхности на фронте ударной волны имеем з — а и=и„, с=с„, то и„— с„= — с„2с„— с, = откуда с„= с,/2 + (1 — а)/2т; при разлете первая частица получит скорость (74.20) 636 нкгстлновившикся двпжкнпя в плотных сгкдлх [гл. хг Соответствие(74А9) дает такой же результат, что является контролем. Установим область существования найденного решения; очевидно, при и = 0 и с = с, мы имеем х= а+ с,8.
задней границы ударной вол- равна Это выражение. дает закон движения ны. Скорость движения фронта а ++а. ° — т~— х — а зе (74.22) откуда х = а+с„г+ А)/г, (74.23) при этом константа А определяется из таких условий:при г = т х = ). Отсюда окончательно для закона движения фронта ударной волны получаем выражение х = а + с,1 + () — а — с,т) ) 6т. (74.24) Рис. 90 дает схематическое изображение движения всех трех фронтов: фронта задней границы ударной волны, фронта волны аесеш е ееь разрежения, линию, на раесехеееия которой начинается кавитация, а также траектории частиц жидкости.
Когда до задней границы ударной волны доходит волна разрежения, режим г г истечения меняется одна- ) ко мы не продолжим далее решения, поскольку оно не а'еаех представляет большого инхсааеаа мь~ тереса. Можно только от- метить, что после этого кап х витация практически закончится. В случае металла ка- витация может начаться значительно позже достижения нулевого давления, поскольку в металле будут действовать значительные силы сцепления между частицами, противодействующими растяжению. Разрыв начнется тогда, когда растягивающие усилия, возникающие вследствие градиента скоростей, будут превосходить силы сцепления.
Следует рассмотреть еще один интересный случай кавитации. Пусть жидкость, уравнение состояния которой р — р. = в(р — р.'), 637 кАвитлцпя плотной сеиды сжата в некотором цилиндрическом объеме длиной /. В момент времени 1 = О в сечении х = О жидкость начинает истекать из этого объема в трубу такого же сечения. При этом в области (74.25) — с„1 < х < (с„ — 2с,) 1 будет иметь место движение жидкости, подчиняющееся решению и+с=с; и — с=х/1. (74.26) В области (с„— 2с,) 1 < х < (с„— с,) 1 (74.27) скорость движения частиц жидкости будет постоянна и равна величине и = с„— с„поскольку в ней всюду с = с„р = р, (ниже давление в жидкости упасть не может). В момент времени 1 = 1„= //сз фронт волны разрежения дойдет до стенки (х = — /) и отразится от иее; возникнет новая волна (отраженная) и+ с =; и — с = —, откуда и =; с = — .
(74.28) х+ 21, х х+1 1 Фронт отраженной волны будет двигаться по закону х = с 1 — 2/. (74.29) В момент времени 1 = 1, = //с, всюду в области отраженной вол- ны будет и "„х+1 с = с,; х„ (74.30) и са х+1 (74.31) с„ с„ 1 Переход к лагранжевым координатам не представляет труда. В простой волне мы имеем х = сз1 — 2)' — х,с,А (74.32) где х, — лагранжева координата; в отраженной волне х +1 х = с,1 — ' 1 (74.33) В этот же момент времени отраженная волна догонит границу области постоянных значений с = с„и = и,. При этом х = = / (сз/сх — 2!. Дальше процесс пойдет так, что в области (74.27) значение скорости сохранится, а левее начнется кавитация жидкости, поскольку там скорости различных частиц жидкости рааличны.
Каждая частица жидкости будет иметь свою скорость: 638 неустхновившнеся дВпженпя В плотнъ|х сРедАх |Гл. х! при этом и с+! *„+! (74.34) с„ с„с Таково распределение скорости в волне кавитации по лагранжевой координате. 4 75. Распространение сферической ударной волны в воде 2 и = /с — ! (си — с). (75 А) С еще большей степенью точности можно полагать, что для воды справедлива связь между скоростью течения и местной скоростью звука (с): и =- (с — с,). (75.2) Это выражение с течением времени (до прихода какой-либо отраженной волны) становится все точнее и точнее, поскольку увеличивается расстояние от центра симметрии.
Принимая для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ уравнение изэнтропы в виде р = Аср' (75.3) а для воды уравнение изэнтропы в виде р =А (Р— р'), (75.4) придем к таким волнам (см. Я 67 и 68): а) для продуктов детонации 2с — с„ — " г+Ф, [гзс(с„— с)[; и.= с„— с; (75.5) сн б) для воды[ Вс — с 2 =, ' г+Ф [г'с(с — с,)[; и=с — с,.
(75.6) си Наиболее просто решается задача для случая мгновенной детонации. В этом случае можно приближенно считать, как это мы делали ранее, что для продуктов детонации справедлива зависи- мость 1 701 РАснРОстРАнение сФеРическОЙ УдАРКОЙ Волны 689 Произвольная функция Ф определяется из условия: при 1 = 0 г = г,. При этом волна (75.5) имеет вид (75.7) г Рн< 4 —— га га сн сн В случае необходимости мох<но воспользоваться более точными решениями Я 67, 68; — — 1 — ( —,— 1)н " аа — ~ -"н с,', 6+1 сн + Ф, ~г ( — — 1 ) ~, (75. 8) где 8 = и — с = с„— 2с; (=, — 1) 1я ' + 2 = +Ф, ~г (=, — 1)~, (75.9) а — +1 а а г 2с с где « = и + с = 2с — с,. При этом волна (75.8), исходя из усло- вия, что при 1 = 0 должно быть г = га, имеет вид г 2сн аа( —,— 1) —," ( —,— 1)а1) .
))0.10) Правее волны разрежения (75.7) или (75.10) должна находиться волна, отраженная от границы раздела. Согласно гипотезе А. А. Булгаковой и Н. И. Поляковой эту волну можно аппроксимировать как стационарную, т. е. описываемую уравнениями 1 В а 2исн — < га на са А — + 2 а — 1 2 (75А1) В случае )с = 3 эти уравнения принимают вид и'+с' =А; 2ис = Вlга, (75А2) ( —,— 1)1п н — +1 сн )гГ' (0' )а аг н + 640 нвгстАновившйггся двнжвния в пло~ных сгкдах 1гл.
х! откуда а = ~/ А+ —,, )1= )гг А — —,. (75ЛЗ) Для того чтобы определить произвольные функции Ф в (75.6) или в (75.9), надо знать закон движения границы раздела. Как показывагот вычисления, скорость движения границы раздела, как и следовало ожидать, падает быстрее, чем в случае плоской волны. Вычисление произвольной функции Ф при этом не представляет труда.
В случае детонации газовых смесей начальные давления на фронте ударной волны будут невелики и жидкость можно считать несжимаемой. При детонации конденсированных взрывчатых веществ в случае сферического взрыва на расстояниях около 2г, давление в продуктах взрыва на фронте ударной волны уже значительно упадет и при дальнейшем развитии процесса жидкость можно будет считать также несжимаемой. Существенно отметить, что в рассматриваемом приближении для сжимаемой жидкости мы в случае сферической волны имеем право использовать соотношение Лг 1 Р. = — „= — (и„+с+ с,) = с =- и„+ са.
При произвольном п Р = —,(иг+ с+с,) =, 1 и+1 3 — а а+1 2 Г 2(а — 1) 2(а — 1) а а 4 — са = са + — иг Для того чтобы определить закон движения фронта ударной волны, необходимо знать произвольную функцию Ф,. Закон движения фронта сферической ударной волны будет отличаться от закона движения фронта плоской ударной волны тем, что скорость фронта будет быстрее убывать с расстоянием, поэтому длина сферической ударной волны будет меньше, чем длина плоской ударной волны. Это вполне естественно объясняет сходство законов движения границы раздела сферической и плоской волн от места взрыва.
Приближенно можно положить, что, начиная уже с небольших расстояний от места взрыва (при г = гг ) 2га), вакон движения фронта сферической ударной волны выражается соотношением аг и+1 ггиг ггаг Р, = — =с + — — =с +— У аг а 4 г а где величина г,и,/г равна скорости и„: ггаг — =и,, (75А4) 5 7м РАспРОстРАнение сФВРическои УдАРнОЙ Волны 641 причем и — значение скорости и„при г = г,. Из этого соотношения видно, что, начиная с расстояний порядка 5г„скорость фронта ударной волны становится практически равной начальной скорости звука. Из соотношения, выражающего закон движения фронта сферической ударной волны, и уравнения изэнтропы следует, что зависимость давления на фронте волны от расстояния может быть выражена формулой (ру — р,) (уа — уу) = ~1 — — ) = пу — — —, (РУ ра) ~ Ра~ 5 55 а У У (1 —, .
(75Л5) ( „+1) Отсюда на малых расстояниях от места взрыва, где жидкость еще сжимаема, рт— или га (1 — — ) (75Л6) Ж")' На больших расстояниях, где я5идкость практически несжимаема, или, точнее сказать, ее сжимаемость подчиняется линейному закону Лр = пАр," 'йр, (75.17) давление будет зависеть от расстояния следующим образом; У ААРа+5еа йр= (75.18) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
