К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 92
Текст из файла (страница 92)
599 теория точечного ВЭРыВА $ 991 Таким образом, значительная часть энергии взрыва будет выноситься в верхние слои атмосферы; атмосфера как бы защищает нас от основной части энергии разрушительного действия взрыва.' Перейдем к рассмотрению задачи о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне.
Эта важная и новая задача была впервые поставлена и решена Л. Д. Ландау и автором в 1944 г.*) И2). Если эта волна распространяется из рг бесконечности, то движение газа за фронтом волны будет автомодельным. г Наибольший интерес представляет изучение сферической сходящейся волны. Основные выводы, которые можно получить на основании решения поставленной задачи, например об изменении давления на Т фронте волны, легко перенести на неавтомодельную сходящуюся волну и на детонационную сходящуюся волну. Ряд вычислений и некоторая часть задачи (в смысле определения условий на 7г фронте волны) аналогичны задаче о точечном взрыве, когда мы имеем дело с силь- ст ной расходящейся волной.
Уравнения и начальные условия на фронте волны такие же, как в задаче о расходящейся иа центра симметрии сильной ударной волне, однако область существо- Рис. 83. вания решения в последнем случае определяется неравенством О ( г ( г„(г = г~-"), так как прн заданном ~ = ге г меняется от величины г = г„до г = О.
Параметр а, вычисляем, исходя из закона сохранения энергии; он определяется выражением (69.14) а, = 2/(Л' + 3). В нашем случае, когда движение волны также автомодельно, но волна идет к центру из бесконечности, область существования решения определяется неравенством г„ ~ г ( ео, а значение параметра а, уже нельая найти, исходя из закона сохранения энергии; оно должно быть определено из других соображений, причем решение г„ также должно быть иным, чем в случае расходящейся волны. Величина г„зависит от давления на фронте волны, заданного на определенном расстоянии, т. е. от полной энергии сходящейся волны, которая стремится к бесконечности. Прежде всего посмотрим, существует ли решение в области ги ( г ( ео, прн этом — со (г ( О.
Поскольку за фронтом ударной волны скорость должна падать (нли во всяком случае не возрастать), то, рассматривая процесс для какого-либо фиксиро- ") Это решение было найдено независимо от Гудерлеи. 600 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА (гл, х ванного момента времени 1 = („ можно сделать вывод, что х = игаlг падает за фронтом и при г-а оо ха-О. Следовательно, х должно определяться в области 0 с х < х„, а величина производной И 1п ЕЯх (О (в случае расходящейся волны И 1п г/ох ) 0). В точке х„, у„имеем Ы1ау а1 Е)ва Т вЂ” 1 Нх Т+1 [У вЂ” 1+1 ) аз — 1 [(А + 1)' (69.87) 2 4а1Т+2УТа1+4аа — 3 (Т+1)' отсюда, если имеет место неравенство а, [4Т + ау + 41 ) 3 (у + 1) (а, — х)а — у = 0; у [2 (аг — 1) + ()т' + 1) ух)— -ух(1 — х) (а, — х) = 0; отсюда, исключая у, находим, что х= х= а1Т (У+ 1) — Т+ 2 (1 — а1) + у [а1Т (У+1) — Т+ 2 (1 — ай)' — 8ТУа1(1 — а1) (69.88) Далее, Корни у = у = (а, — х)'.
х=х,= а|Т (У + 1) — Т + 2 (1 — а|) — у[а1Т (У+1) — Т+2 (1 — а1) )а — 8ТУаь (1 — а1) 2ТУ х,=а, пе удовлетворяют искомому решению, поскольку значения аг получаются меньше предельных, При х, = а„у, = 0 мы имеем случай расходящейся волны. Следовательно, если решение уравне- то Н 1п гЯх (О, т. е. искомое решение действительно существует. Величина производной должна сохранять знак, так как изменение ее знака свидетельствовало бы, что х есть многоаначная функция г илн что и — многозначная функция з, а последнее исключается по чисто физическим соображениям.
Следовательно, необходимо, чтобы в исходных уравнениях (69.2) числители и знаменатели дробей обращались в нули одновременно. Потребуем, чтобы в нуль одновременно обратились выражения 691 5 991 ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА ния написать в виде Р(х, у,а)=с, (69.89) то необходимо потребовать, чтобы линия (69.76) проходила через точку х„, у„ и точку х, у. Поскольку х„, у„ и х, у — функции а„ можно написать что Рд(ад) = с, Р, (а,) = с, (69.90) х=хн откуда Р, (а,) = Р, (а,), что и определяет однозначно величину а,. Поскольку одно из уравнений (69.2) между х и у не имеет аналитического решения, удовлетворяющего поставленным условиям, то указанная операция нахождения величины а, должна проводиться численно.
Приближенное значение а, можно найти, допуская одновременное обращение в нули выражений (а, — х)9 — у; у [2 (ад — 1) + у (дд' + 1) х] — ух (1 — х) (а, — х); [дт' (у — 1) + (у + 1)] х — 2; (69.91) отсюда 2 У(т — 1)+т+1' ад [7У (т — 1) + 7 +1]' — (3 — Гт ) а [Х (Т вЂ” 1) + 7+ 1[— — 2 (Лà — 1) — 7(у — 1) (Х+ 1) = О. (69.92) Заметим также, что подкоренное количество в выражении (69.88) должно быть ) О, в противном случае корни х будут мнимые. Значение а„определяемое из условия равенства корней х и х„очевидно, также должно удовлетворять условиям задачи. Определим это значение.
Итак, пусть [2 (1 — а,) — у + + аду (Х + 1)]9 = 8ддуад (1 — а,); отсюда а', ([у (Х + 1) — 2]9 + 8дт'у)— — 2а [(у — 2) [у (Л + 1) — 2] + 47Лд! + (2 — у)9 )~ О; (69.93) одно иэ значений а, почти совпадает со значением, определяемым формулой (69.92), другое, близкое к нулю, не удовлетворяет условиям задачи.
Определив приближенное значение а, = а, (у, дд'), а также значения х„д, у„и хд, у, и численно решая уравнения (69.2) между х и у, например, методом Рунге — Кутта, проверяем, лежит ли точка (х„, у,) на интегральной кривой. Поскольку это приближение не является вполне точным, то, внося поправки к хд, уд и исправляя значение а„решаем задачу методом последовательных приближений до тех пор, пока точка не будет находиться на 602 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гл. х интегральной кривой. Эти соображения далеко не тривиальны к принадлежат авторам аадачи. Следует отметить, что наш математический аппарат в дальнейшем подвергался несущественным усовершенствованиям, сделанным уже чистыми математиками, усложнившими задачу ради математической чистоты, но не добившимися, естественно, новых результатов, поскольку единственное решение уже было найдено нами.
Как покааывают вычисления, если исходить из значения а„ определяемого формулой (69.92), то достаточно двух приближений. Значение же, определяемое формулой (69.93), является почти точным. Интересно рассмотреть, какие значения принимает а, для различных у и Л'. Соответствующий анализ и вычисления показывают„ что прн 7 = 1 а, = 1 для Л/ = О, 1, 2; при 7-» оо имеем а, = 1 в случае Л' = О, аг = 1/2 в случае Л/ = 1 и а, = 3/8 в случае Лà — 2.
Для сферической ударной волны (Л~ — 2), рассмотрение которой представляет наибольший интерес, были вычислены такие значения: а„= 0,717 для 7 = 7/5 и а, = 0,638 для 7 = 3. В случае Лг = 1 а„= 0,834 для 7 = 7/5 и а, = — 0,810 для 7 = 3. Для того чтобы свойства явления оказались вполне выясненными, необходимо проанализировать решения в окрестности точки 1/з = = 0 при 1+ О. При этом, очевидно, из уравнения (69.2) ох/с( 1В г =- = О, и уравнение между х и у в окрестности точки х = О, у =- 0 можно представить так: Их х т — а| — == — + Иу 2у та1 откуда решение имеет вид х = А, )/у+ 2," у = А,)/у или у = А,х'. (69.94) Далее, определяем (69.95) Е=А х-" 3 (69.96) — ° )аня+и — а Следовательно, при 1/г = О, г = со имеем рар= сопзс и= Аз/'-'х'-' = 0; р = — /а< -пхап-а1 = 0 (69.
97) з или ~-а~ 3 и-ао и — г " р — г а (69.98) Температура Т = О. Предельное значение плотности может быть найдено только численно. Поскольку г = г//а, то в окрестности 603 1 бб) ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА точки (1/г) = О имеем а~ — 1 1 б(а,-17 И - Г '*; р - (1 — СОПЗ((Г а )а,(77+1)-1; р - рГ " На фронте р — гб("' ПМ = г-б, где Ь = 2 (а1 — 1)/а1. Для сфери- ческой волны (Х =- 2) значение Ь и предельной плотности р„р может быть задано табличкой. 775 ь Рпр уп 0,7 0,8 2,72 2,70 1,45 Результаты вычислений, описывающие характер распространения сферической волны для 7 = 7/5 и у = 3, даны на рис, 84, 85, 86, 87, 88. На рис. 84 дано распределение плотности, давления, температуры и энтропии за фронтом сходящейся сферической волны детонации; на рис.
85 дано распределение скорости для той же волны в различные моменты времени при у = 3; на рис. 86 — распределение давлений для различных моментов времени при у = 3; на рис. 87 — распределение скорости для различных моментов времени при значении у = 7/5; на рис. 88 — распределение давлений в различные моменты времени при у = 7/5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
