К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Можно приближенно учесть влияние переменной плотности на параметры ударной волны. Поскольку а, =, ', то будут У+3 иметь место соотношения 9(а,-п+а, р г " = г-ОУ+"; у (69. 57) (69.58) Р Га| Отсюда следует, что на фронте должно быть я+1 9(а,-и 9 1+ к+в-— ру Ру '* =Р (69.59) Е=В ~ (' 1' + — ', )ГЮГ. о (69.60) Коэффициент а, теперь необходимо определять из связи между ру и ру для фронта ударной волны (по ударной адиабате); на различных участках адиабаты величина а, будет различна.
В пределе для слабой волны мы должны прийти к обычной иззнтропической связи между давлением и плотностью р р", т. е. будем иметь 2 (ог — 1) = (у — 1) а„что также следует из соотношения аа = = 2 (а, — 1) — (у — 1) аз при аз = О, имеющего место, если Я = сопз$. Попытаемся теперь в первом приближении учесть влияние собственной энергии вовлеченного в движение воздуха. Баланс энергии можно написать в виде 594 (гл. х г!РостРАнстВенные дВижения ГА3А Отсюда следует, что изменение с расстоянием давления на фронте волны будет подчиняться аакону Е (т — 1) (УУ' + 1) +УВЫ (69.Я) В АУ+1 Е =М ~",) = г, ~р .
+ (69. 62) 1 / ч ~У+1 На расстояниях свыше ( — ) = 1000А'У1 ($ 59) ударная волна ча оторвется от продуктов детонации и начнет распространяться самостоятельно, при этом давление на фронте будет еще выше, чем 20 кг/сгга, а движение фронта будет почти автомодельным; поскольку волна начнет двигаться самостоятельно, изменение давления с расстоянием будет подчиняться закону Р Р ... В(т — 1](А'+1) рЕ(т — 1) ' " "" 6) У а - „1Ча1 — (69.; ) (коэффициент $а может иметь несколько иное значение, чем при строго автомодельном движении). Как мы знаем, для плоской волны имеет место почти в точности указанная закономерность (р„— р, г а>га). Более подробно вопрос о переходе сильной ударной волны (цилиндрической и сферической) в слабую мы рассмотрим в следующем параграфе. Теория точечного взрыва имеет применение в ряде технических задач н, в частности, при научении электрических разрядов в воздухе.
Результаты вычислений распределения параметров и и с за фронтом автомодельных ударных волн иллюстрируются рис. 66, Однако движение воздуха за фронтом ударной волны на больших расстояниях от места взрыва, как мы уже указали, будет отличаться от автомодельного. Уменьшение плотности на фронте приведет к тому, что и за фронтом ударной волны плотность будет падать более резко по мере удаления от фронта, а это должно привести в свою очередь к тому, что передняя часть ударной волны как бы оторвется от своей тыловой части и начнет распространяться по совершенно иным законам, чем те, которые мы только что вывели. Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в $ 72.
В заключение отметим, что при детонации реальных зарядов взрывчатых веществ всегда существует такая область, для которой распространение фронта ударной волны почти в точности подчиняется законам автомодельного движения. В самом деле, полная начальная энергия взрыва может быть выражена так: 595 1 Вз) теОРия)точечного ВзРыВА Аналогичным образом может быть решена задача о распространении ударной волны в неоднородной среде. Пусть распределение плотности в этой среде подчиняется аа- кону р,=Аг", (69.64) где А = сопз(, а = сопз(; тогда на фронте Волны Рн = т+1 Аг".
т — 1 (69.65) Поскольку р =- (а»)) (г) и г = г(», то аа = аа1. (69.66) Далее, из уравнения баланса энергии (69.12) следует, чтосправедливо соотношение (69АЗ) (3 + А() а, + аа = 2; (69.67) из (69.66) и (69.67) находим 2 3+У+а (69.68) Начальные условия останутся неизменными. Так как 1(я+1) р»аа 1» ~+~ь — 1 »+А+» 1- ям+1) ! то будем иметь, что на фронте волны р г-(%+1) (69.69) т. е. прежнюю зависимость. Скорость движения фронта волны а,— 1 я+1+» г а — — г а'=г 1 (69.70) а )вя (»1 — х) ( — (т — 1) Их (У(Ь вЂ” 1)+т+1]х — 2 (»1 — х)1 — у (69.71) Г 2 (»1 — 1) + а»1 л т + (У + 1) х~ — х (1 — х) (»1 — х) Начальное значение г находится из баланса энергии.
Решение задачи о движении среды за фронтом ударной волны сводится к решению уравнений (9ЛО) 596 [гл. х НРостРАнстВенные дВижения РАЗА при условиях х„= 2НДу + 1); у„= 2 (у — 1) а'",/(у + 1) 2; г = га, после чего квадратурой определяется 1п т) = — [1В (х — а,) + ~ + " ' — ~, (69. 72) причем начальное значение Ч = Чн = т+1 — т+1 Аг, " =- + Аг,",. т — г " т — 1 (69.73) Здесь, как обычно в задаче о сильном взрыве, отброшено начальное давление по сравнению с давлением на фронте волны р. В атом приблия<ении плотность за фронтом р' связана с плотностью перед Рассмотренная задача может иметь применение при изучении движения ударной волны, например, в атмосфере, плотность которой убывает с высотой. Однако при этом сильная ударная волна с предельным сжатием на фронте распространяется на такие расстояния, где плотность меняется Во много раз по сравнению с плотностью в месте взрыва.
При этом волна перестает быть автомодельной. Численное интегрирование задачи с тремя переменными очень затруднительно даже при счете на электронной машине. Можно предложить полукачественный подход, остроумно развитый А. С. Компанейцем (46) и основанный на одной существенной особенности точного центрально-симметричного решения. Именно, в этом решении энергия распределена почти равномерно по всему объему взрывной волны и только вблизи самого ее фронта в два-три раза превышает среднее аначение по объему. В этой последней области сосредоточена и вся масса вещества.
Естественно предположить, что это же свойство имеет и взрывная волна в неоднородной атмосфере. Действительно, если давление внутри волны постоянно в пространстве (давление пропорционально плотности энергии), а плотность массы равна нулю, то уравнения гидродинамики в основной части объема выполняются тривиальным образом. Тогда, чтобы описать распространение волны, надо воспользоваться условиями на самом ударном фронте.
Если уравнение фронта волны в цилиндрических координатах есть 1 (г, з, г) = О, то нормальная составляющая скорости фронта Р„определяется известным равенством (7.24) и равенством (30.6), вытекающим из условий (27.13): 597 твОРисцточичного ВЭРыВА фронтом р постоянным отношением Р' 'с +1 т — 1 ' где у = ср/с . Давление выражается через плотность энергии е (69 75) р=(7 — 1)з=(7 — 1)Х вЂ”, Я <59.76) ч (~) = я ) г' (г, е) есг, с1 (69.77) где г (г„з) = г (з„г) = О. Подставляя (69.75), (69.76) н (69.77) в (69.74) и выражая плотность по барометрической формуле, приходим к уравнению в частных производных для функции г: < д ) — ем"'<'< д ) +11=0.
(69 78) Здесь зо — аквивалентная толщина атмосферы; у — вспомогатель- ная переменная, определяемая равенством с до / ХЕ<то — с) у= 1,<ч 2Ро о (69.79) ро — начальная плотность воздуха в точке взрыва (г = О). Уравнение (69.78) решается по методу разделения переменных г=$у+~с(х р' $ое с 1; о дс ~ ),с'1о -*с* о (69.80) (69.81) , При малых е или у волна должна быть сферической.
Для этого достаточно положить функцию Е ($) равной нулю. Исключая где Š— полная энергия взрыва; ч — объем, занятый взрывной волной; Х = Л (у) — коэффициент,показывающий, во сколько раз плотность энергии около фронта больше, чем средняя плотность по объему. Допущение о постоянстве )с, по поверхности лежит в основе предлагаемого здесь метода. Будем считать уравнение фронта волны в цилиндрических координатах разрешенным относительно радиуса: г = г (г, Е).
Тогда полный объем волны есть 598 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА ИГЛ. Х тогда $ из (69.81) и подставляя в (69.80), получим г = 2го агссоз ~ — ех'тх (1 — х'+ е--'~х ф (69.82) г 1 адесь х = р/2го. Отсюда получаем положения верхней и нижней точек волны и го: е-ххкох, 1 х (69.83) а также положение и значение ее максимального радиуса е * "' = 1 — х', г = 2го агсз1п х. (69.84) Таким образом, максимально возмононый радиус волны равен яго. При этом х = 1, так что верхний край волны уходит на бесконечность. Но это происходит аа конечное время т, которое определяется иа (69.79) как (69.85) о где ошс — х) й(х) = ~ агссозо~ — —;-е"~о(1 — хо+ е )]Ми.
(69.86) 2 -о |а П+х1 Время ухода волны вверх на бесконечность оказывается конечным благодаря тому, что скорость волны, согласно (69.74), стремится к бесконечности при г-~ос. На рис. 82 изображены кривые для пересчета от х к о и(оо(х)]Ш. На рис. 83 нанесены в неко- 7Е тором масштабе рассчитанные сечения волны вертикальной плоскостью, проходящей через ф точку взрыва, для нескольких моментов ,~~ ее времени. Разумеется, решение теряет смысл раньше, чем г, обратится в бесконечность. Тем не менее можно сделать следующий вывод: как ни была велика полная энергия взрыва, сильх ная ударная волна может распространяться Рис.
82. согласно полученному здесь аакону вниз не более чем на 1,38 го, или примерно на 11 кго. При дальнейшем распространении вниа ударный фронт будет ослабляться быстрее за счет волн разрежения, уходящих от него вверх по открытой в пустоту области, захваченной волной. Распространение волны по невозмущенному воздуху будет напоминать короткий удар по веществу, граничащему с вакуумом, рассмотренный Я. Б. Зельдовичем [7].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
