К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Напишем выражение Мг а н 578 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА (гл. х После некоторых вычислений будем иметь: для Х = 1 при целых значениях /о и""' 2 1) (68.24) о (4й+ 3)~ 12 1( /с+ '(1 1, для /о' = 2 при целых значениях й Ао— Моон (2й+ 1) (6й+ 7)~ 3 2М~~П (Зй+ 2)((й.+1) (Зй+ 4) ' нли, окончательно, вставляя значение с„из (68.17), получим )/.2М Е (2й+ 8) 2Я''н((2й+ 1)О'(2(й+ 1))* ~ (68 26) о= о о (4й + 5)( (при /у = 1) и (6й+ 7)! ... 1(68.27) к о о( + )3(й+1)(Зй+4)(зй+2]((з(й+1))(2о(о+и 1 (при /т = 2). В слУчае нецелых значений й величины Хо бУдУт выРажатьсЯ через Г (й), однако поскольку величина Хо мало зависит от /с, то нет необходимости прибегать к гамма-функциям.
Удовлетворяя при аппроксимации (68.28) законам сохранения массы и энергии, мы не вполне точно удовлетворяем закону сохранения количества движения. Однако погрешность для обычных показателей изэнтропы невелика и при й = 1 составляет всего +10о4 (максимальная погрешность). Если в аппроксимацию плотности ввести третью константу, тогда было бы возможно удовлетворить всем трем законам сохранения, однако это не повысило бы фактической точности результата, но привело бы к дополнительным осложнениям решения задачи. Рассмотренная аппроксимация интересна тем, что при Х = 0 мы получаем точное решение. Определяя массу, количество движения и энергию в отраженной волне, мы молчаливо допускали, что в области особой (первой) волны эти величины равны нулю.
Покажем, что это действительно так; поскольку фронт отраженной волны движется по закону с(г/й = и + с, а при 1 -~ со с = О, и = 2с,Д/с — 1), то в пределе фронт отраженной волны будет двигаться по закону г = = 12/(й — 1)1 с 1, а отношение ширины области особой волны к отраженной будет порядка 1/(З, где 6 ) О, как и в одномерном случае; при 1-о- оо это отношение стремится к нулю. Следует заметить, что фронт отраженной волны относительно быстрее догоняет впереди лежащие области особой волны в случаях цилиндрического и сферического разлета по сравнению с разлетом в трубе, поскольку происходит более интенсивное расширение газа и потенциальная энергия быстрее переходит в кинетическую.
629 в вв] РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ Так как вопрос о разлете газового шара чрезвычайно вансен, на что мы указывали выше, то рассмотрим еще два приближенных реше- ния для отрал<енной волны. Считая по-пренонему, что и = ГВ, аппроксимируем плотность следующим выражением: р= '„„[1+ А, „' р. А,( р ) ]. (682о) Мо = В~ г~р ог; о т В гьоо Во р ~,о Рс~г о (68.29) гь+1 то = В') РА'р в о причем г = [2/(рс — 4)) сов; после некоторых преобразований и вычисления интегралов будем иметь М с (68.80) Решая эту систему уравнений, определяем константы А„А„Ао. Сделанная аппроксимация в равной мере может быть применена и к задаче о расширении газа в трубе ( ос = О). Данное приближение, удовлетворяя всем трем законам сохранения, в среднем должно удовлетворительно описывать расширение газа в отраженной волне.
Сделаем теперь еще одно наиболее простое приближение, которое позволяет, в частности, рассматривать задачу о расширении газа в любой подвижной системе координат, что имеет важное космогоническое значение. Положим, что Мол (а„о)~~~ В (68. 31) В случае Х = О, В = $, при )о' = 1 В = 2Л, при )о' = 2 В = бя. Здесь константы А„ А„ А, будем искать, исходя из трех законов сохранения: массы, количества движения и энергии: 580 пРостРАнстввннык движкння ГАЭА [гл. х и допустим, далее, что фронт отраженной волны раарежения распространяется по закону г = ан1, где а„— некоторая скорость, значение которой мы определим ниже.
Законы сохранения массы и энергии приводят к выражениям М, = ~г" дг = —; МоА Г Мо.4 о ( о)ан ) у+т н о (68.32) Ао ) гноя М Ааон М оо о(, й + „Н З(З+Л~) А(А — )) о причем г = а„~. Отсюда определяем Ан и а„: . Г з(з+)т) Ан =)у+ ( ан = со ) (,э ( 4)А(А о) ' ' (68'33) При этом количество движения будет о М ) ( Л+~ МоЛан )у М У+1 / о(Э+У) осн у+ В ь' А (а П ()и+ о) ° (68.34) Выражая 1о через М, и Ео, придем к значению ) )' 2ЛХоЕо у+э Как видим, при такой аппроксимации, удовлетворяя законам сохранения массы и энергии, мы допускаем некоторую погрешность в количестве движения, которая, однако, не превышает (8 ой для )о" = 2. Как мы видим, скорость движения фронта отраженной волны в сделанном приближении получается меньше, чем истинная, что приводит кнедоучету некоторого количества газа, находящегося в первой простой волне; однако, поскольку в среднем расхождение в количестве движения получается небольшим, следует полагать, что это обстоятельство несущественно.
Укажем в заключение, что при инерциальном расширении газовой сферы или цилиндра относительная скорость, с которой удаляются друг от друга две какие-либо частицы, возрастает пропорционально их расстоянию. 1 66! 581 ТВОРВЯ ТОЧВЧНОГО ВЗРЫВА 6 69. Теория точечного взрыва. Сильная автомодельная ударная волна.
Сходящаяся сильная автомодельная волна *) Допустим, что в некотором бесконечно малом объеме, который занимает бесконечно малая масса какого-либо вещества, происходит мгновенное выделение энергии, причем величина выделенной энергии конечна и значительно превышает плотность энергии окружающей среды и, в частности, воздуха. В этом случе в области выделения энергии, которую можно считать точкой, произойдет внезапное повышение давления и температуры воздуха.
Из этого центра начнет распространяться сильная ударная волна, поскольку начальные давления и температура весьма велики. Очевидно, эту волну в процессе ее распространения мы можем рассматривать как сильную, до тех пор пока собственная энергия воздуха, вовлеченного в движение в зоне ударной волны, будет мала по сравнению с начальной энергией взрыва, что равносильно утверждению о малости начального давления воздуха по сравнению с давлением на фронте ударной волны. Плотность на фронте ударной волны может при этом считаться постоянной.
Так как движение не зависит ни от каких характеристических величин, имеющих размерности длины или времени, то можно рассматривать это движение как автомодельное, причем независимым переменным должна являться некоторая величина г = г/1 '. Рассматриваемый случай можно уподобить точечному взрыву, когда энергия взрыва конечна, а масса продуктов взрыва бесконечно мала (равна нулю). Для сильной ударной волны, как мы знаем, на фронте имеют место соотношения р = — р.в 2 6, Ру 7+1 2 1+Т ра Т вЂ” 1 ' у Т+1 и = — 1).
(691) Уравнения, описывающие автомодельные неиээнтропические движения, имеют вид (9.10) а)ил (., — х) „, -(7-1) 6) 1п з х [Л (Т вЂ” О+ (Т+1)[х — 2 (ат — х)з — л (69.2) Г 2(е1 — 1) +аз у~ Т + х (У вЂ” 1) 1 — х (1 — х) (ат — х) г[ 1п $ + 6[ 1п (х — а,) + ( — ' 6[!п г = О, ') Эта задача была решена а 1944 г. иезааиеимо Л. И. Седовым [211 и автором; аналогичное решение найдено также Г. Тейлором [751, [761.
См. также [361 и [531. 582 пгостганстввннык движвния газа (гл. х где х = иМ, у = с'Яг', $ = р(х*, г = г1 ач При р = сопзс а, = О. Условия на фронте волны имеют вид 1 2 1 2х, х„= иг — = г Т+1 г Т+1 Вг — = Тг 2Т (Т вЂ” 1) з у =с 1)2 ):) (69.3) 2Т(Т вЂ” 1) аг (Т -[-1)' Ыг г ш йг = — = а Задача, таким образом, сводится к отысканию решения первого уравнения (69.2), проходящего через точку (х„, у„).
Уравнение (69.2) при сделанных предположениях принимает вид а[а у (~г — ) —,~х — ' — (Т вЂ” 1) Ых [ЛГ(т — 1)+(Т+1нх — 2 (ю — х)~ — у (69.4) Г 2 (аг — 1) у[ Т + х (М + 1) ~ — х (1 — х) (х, — х) а' [и з + с[ !п (х — а,) + д [п г = О. (сг + 1) х (69.5) х, у и х„, у„. Напишем решение первого уравнения (69.4) в виде Р(х, у) =с,. (69.6) В этих уравнениях остается неопределенной константа а„которая в данном случае может быть определена из энергетических условий, что и будет сделано ниже. Однако представляется необходимым указать на типичный метод нахождения этой константы в более общем случае. Очевидно, знак производной 4 [в ЫЫхне должен изменяться на всем интервале интегрирования, в противном случае функция и = и (г) не будет однозначной, что исключается по чисто физическим соображениям.
Для однозначности необходимо и достаточно допустить, чтобы или числители и знаменатели каждой дроби первого уравнения (69.4) обращались в нули одновременно (но не обязательно все сразу) или обращение двух числителей или знаменателей в нули происходило бы вне интервала интегрирования. В обоих случаях из равенства нулю двух каких-либо выражений в первом уравнении (69.4) мы имеем условие того, что интегральная кривая проходит через точку х (а,), у (аг).
Таким образом, интегральная кривая должна проходить через точки теОРия точечного В3РыВА Из условий (69.5) имеем р (И у) = р (хи~ уи). (69.7) Поскольку координаты обеих точек зависят от а„то имеем из (69.7), что некоторая функция от а равна нулю: <р(а,) =О, (69.8) что и определяет а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
