К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Наиболее простыми вопросами в этой области газовой динамики являются задачи об автомодельном движении среды. Изучение автомодельных движений, как мы увидим, позволит подойти к исследованию произвольных, неавтомодельных волн. Сначала рассмотрим две задачи, относящиеся к изэнтропическим автомодельным движениям газа. Система основных уравнений, описывающих одномерные сферические, цилиндрические или плоские волны, при постоянной энтропии, как мы знаем (2 2), имеет вид (2.25). Напишем два первые из этих уравнений, вырансая член (1/р) др/дг первого из них в форме (2.18), а уравнение неразрывности — в виде (2.20); при этом в уравнении (2.20) полагаем х = г; г = ш = 0 564 (гл.
х ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА Где, в соответствии с (9.4) и (9.6), имеем х=п —, у=с —, г=г(-'. г ог' (67.3) г' г'' Поскольку энтропия Я р/р" за фронтом детонационной волны должна быть постоянна, то р со/й-'. Плотность определяется выра- 1 о — — (а,— П я<ением р = Е (г) (а*, поэтому г(а — [уго] й — '1" — о . Энтропия Ю вЂ” р/р„— угое ~" П(о("-'~(о-и ° — с (г) (ао, откуда ао = 2 (а,— 1)— — (/о — 1) ао. При Я=сола( мы имеем ао = О, 2 (ог — 1) = (/о — 1) ао. Так как на фронте детонационной волны плотность должна быть постоянна, то ао = О; отсюда следует, что а, = 1, т.
е. независимая переменная г = г/1, а отсюда также следует, поскольку на фронте детонационной волны имеем В = — = — = г = гн, Ыг (67.4) И г (67.5) 2но ( ч — т = — 1— о н= мы придем к выводу, что давление, плотность и скорость за фронтом детонационной волны постоянны и что энтропия за фронтом детонационной волны везде постоянна, так как ее возрастание на фронте везде одинаково. Очевидно, что поскольку движение начинается при г = О и начальные условия зависят только от величин, имеющих размерность скорости, то давление должно зависеть от г = г/1. Итак, для описания детонационной волны мы придем к такой системе уравнений: о()п у а' )п о оох (1 — х)о — у о(х [М(й — 1) +й+1[х — 2 х[(А(+1) у — (1 — х)о[ ' Условия на фронте сильной детонационной волны будут иметь вид В й+1 й+1 ' [н й (67.7) Роог* й+1 1 н= й+1 или что детонационная волна будет распространяться с постоянной скоростью.
Напротив, полагая, что устойчивая детонационная волна распространяется с постоянной скоростью, и исходя из условий (39.9 — 39.11), которые имеют место для фронта детонационной волны: 1 и) цилиндгические и детонхционные волны 565 В случае )е' = 0 приходим к тривиальному особому решению; в самом деле, приравнивая числитель и знаменатель правой дроби нулю, получим (1 — х)' — у = 0 и, учитывая, что х = и//г, у = схЯг', будем иметь: х/1 = и + с. Определяя с, находим г а+1 а+1 В г = — = — и+ сопз$ = — и+ —, Т 2 2 2 В случаях /е' = 2 и Л' = 1 задача решается численно; необходимо проинтегрировать уравнения (67.6) при условиях Результаты вычислений для сферической и цилиндрической волн при /с = 3 даны на рис.
73, 74, 75. А'=У с(аеаакескаа Йалк а х=Р1 Рнс. 73. Рис. 74. И)ау (1 х) у (67 6) 2Их х ((У + 1) у — (1 — х)а) Й)вх дх Анализ решения показывает, что в точке ха, ра имеем Йс/Йх = О. Отсюда следует, что в атой точке Йи/Йс = оо и Йс/Йс = оо. При и = 0 имеем х = О, у = 1, поэтому с = с = 2. Покажем, что в этой точке Йи/Йг = 0; Йс/Йх = О. В самом деле, пренсде всего имеем Йа = Йг/Йг; Йх = (1/г) (Йи — и Йг/г) = Йи 1/г (при и = О); так как при 1 = сопз( = /а Йу = 21 (сЙс — с' Йг/г)/га, то из (67.6) получаем 1 = 1 — (г/с) Йс/Йг, откуда Йс/Йг = 0 или Йс/Йс = О. Далее из (67.6) сразу нее следует, что при х = 0 у = 1 и Йи/Йг = О. В области 0 ( х < й имеем и = О, с = г. Линия х = з( является линией слабого разрыва для вторых производных.
В точке, где и = О, с имеет значение несколько меньшее, чем Р/2. В случае /с = 1 имеем 666 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ! АЗА 1гл. х тривиальный результат з у' у = сопзс, Первое уравнение дает откуда Х) с=с,= —; 2 (67.9) Далее, Фс11п з = с11п и~( — ) — 11. (67.10) Плотность определяется уравнением с~ад 1п р = (г — и) с(и. (67.11) Характерной особенностью сферических и цилиндрических детонационных волн является быстрое падение давления за фронтом волны. На фронте детонации давление имеет ту же величину, а Р8 Ряс. 75.
2 А+1 з = г„= )ут — — сопзс; (67Л2) Рс си 2 (А — 1) 3 17 . Ра А = (А+1)с что и в плоской волне; в центре для сферической и цилиндрической волн давление несколько меньше, чем в случае плоской волны. Уравнения, описывающие распространение сферической или цилиндрической детонационной волны, позволяют решить одну интересную задачу. Пусть из начала координат в момент времени 1 = 0 (момент начала детонации) начинает расширяться с постоянной скоростью ис сферический или цилиндрический поршень. При этом перед поршнем возникает ударная волна.
Очевидно, что движение газа в области между поршнем и движущейся перед ним ударной волной будет автомодельным, причем г = Ю; параметр аг должен обязательно быть равным единице вследствие того„ что скорость газа у поршня постоянна и равна скорости поршня и„.
Мол<но изучать волны любой амплитуды, но мы для простоты рассмотрим случай сильной волны. На фронте волны з сЛ цилиндгичкскик и дктонлционнык волны 567 Отсюда на фронте 2 2(й — 1) й ~и= й ( < ~ Ун= (й.( <Р На поршне г = ис = тг, откуда я = 1. Для определения параметров движения в области 2<(<< + 1) ~( х < 1 решаем уравнение (67.6) и находим сначала ф, (х, у, Ь,) = О, учитывая, что линия г=гэ Рис. 77.
Рис. ?6. проходит через точку хю у„. Далее, находим г = гфз (х, у, Ь,), учитывая, что линия проходит через точку й = и„х = 1. Затем легко определяются и и с (или р) как функции г. На рис. 76 дан пример распределения скоростей и давлений вдоль оси г. На рис.
77 изобран<ены траектории, частиц. Решения для сферического (Аг = 2) и цилиндрического (Аг = = 1) поршней совершенно аналогичны. Поскольку мы не моя<ем найти аналитического решения уравнений (67.6) при данных граничных условиях, задача должна решаться обычными численными методами. Данная задача может быть полезна при изучении нестационарного обтекания некоторых осесимметричных поверхностей. Анализируя результаты вычислений для цилиндрических и сферических волн, можно прийти к выводу, что всюду в волне величина и — 2с/(<с — 1) = () остается приблизительно постоянной, причем на фронте детонационной волны зта величина равна — В,<(гс — 1); при и = О (з = — <г',<(й — 1); для плоской волны, как мы знаем, величина (5 = — <г/(й — 1) = рс = сопз< всюду в волне.
Подобные волны по аналогии с плоскими будем называть простыми волнами. < Попробуем теперь найти приближенное аналитическое выражение, описывающее детонационную волну. Для этой цели напишем исходную систему уравнений в виде — + ~ — а+: (3) — + Лг — — = О; д гй-)-1 з — й ~д й т дг < 4 4 ) дг 2 4г (67.14 дб /3 — й й+1 1 дд й — 1дс — сР д< (< 4 4 ) дг — +(:а+ — Р) — +Л = ' * =О. 2 4г 568 [гл, х ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА Положим теперь, что )1 = )1о = сопзс = — Р!(л — 1); тогда общее решение первого уравнения этой системы будет иметь вид +') "( — ".
-')"" 1 — "-+ (-.-") 2 4 + Ф(г~ —, +1) ( — — 1) ~, (67.15) Уро(ь — ~) ) 0о где Ф = Аг~ — +1) ( —" — 1) причем (А +') ~<И-~>М + ) а- — „В ~т ( — +~) ( — -1) о в где В качестве примера проведем до конца вычисления для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ (й = 3). При атом решение будет иметь вид а — в (~, ) („~). (67Л7) что для волны дает — =2 — ( — +1) +~ —" — 1) 1п о — — т Ро (67ЛЬ) Интеграл берется при )о = (2г + 3))(2г + 1), где г = О, 1, 2, 3, ...
Произвольная функция может быть легко определена, исходя из условий: при г = Р1 а = а,, Р = ао. зь (67.16) Отсюда следует, что $ 671 цилиндРические и дето нсционные ВОлны 569 Рассмотрим теперь другое приближение, которое позволит также в случае й = 3 получить решения в еще более простом виде. Полагая снова, что везде в волне и — 2с/()с — 1) = рс =сопз1, мы, исходя из основной системы уравнений (67 1), будем иметь Первое уравнение соответствует одномерному движению. Решая второе уравнение, придем к выражению ( + 2 Ыс 1 ( + 2 6~) (67.20) В рассматриваемом случае для детонационной волны произвольная функция вырождается в константу, которая определяется как Ф = сопев + ( „+:2-Ъ) Нс "сз-1' '(с+ — "„ро) Здесь с„= )сР(()с + 1).
В случае сс = 3 имеем Отсюда следует окончательное решение задачи: 4 — ' = 1+ 2 — — ~/ 3 ~( — ') — 1~ . (67,21) Легко убедиться в том, что оба приближенных выражения, описывающих детонационную волну (67.15) и (67.20), при и = 0 определяют закон движения слабого разрыва как х = Рь'2, при атом с = Р!2. 570 1гл. х пгостРАнственнык движкния ГАЗА Второе приближение является несколько менее точным, чем первое, поскольку в первом приближении мы лишь полагаем, что р = ~, = сопз1, а во втором, помимо этого, полагаем, что ди/дс = = 2/(/с — 1). Знание хотя и приближенных, но простых аналитических решений полезно при изучении детонации сравнительно небольших зарядов и, особенно, при изучении характера разлета их поверхностного слоя, который при этом лишь частично участвует в реакции горения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
