К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Указанные два вида приближений могут быть с успехом использованы в задаче о поршне, а также при решении ряда задач, описывающих и неавтомодельные решения, в которых приходится иметь дело с волной, бегущей в одном направлении. Для волны, бегущей слева направо, необходимо полагать, что и — 2с/(/г — 1) = = ~з = сопз1, а для волны, бегущей справа налево, и + 2с/(й— — 1) = па = сопз$. Можно было бы также рассмотреть аадачу о цилиндрическом или сферическом распространении фронта пламени. Эта задача решается столь же элементарно, как и задача о детонационной волне, однако она не имеет большого практического значения, и мы на ней здесь останавливаться не будем.
Заметим только, что условия на границах (на фронте ударной волны и на фронте пламени) будут теми же, что и в одномерном случае. Фронт пламени, распространяясь от центра, будет образовывать впереди себя ударнуго волну. Область между этими фронтами является областью неустановившегося движения несгоревшего газа. За фронтом пламени будет или просто область покоя, или область покоя, сопрягающаяся с областью простой волны, распространяющейся за фронтом пламени. Решение соответствующих уравнений, в которых полагается з = г//, не представляет труда.
В заключение остановимся еще на двух задачах, рассмотренных Л. И. Седовым (25] и представляющих интерес. Пусть в некоторый начальный момент времени все частицы какого-либо газа, заполняющие пространство, имеют одинаковую скорость, направленную от центра. В этом случае движение будет автомодельным, причем от центра будет распространяться сферическая поверхность слабого разрыва со скоростью — „, =(~ +~) (67.22) где из — скорость разлета частиц, с — скорость звука на поверхности слабого разрыва (зта скорость переменна). Внутри области, ограниченной слабым разрывом, газ будет находиться в покое. Плотность газа з этой области будет уменьшаться с увеличением скорости и при достижении скоростью некоторой величины иза 571 $ [зз РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ станет равной нулю. Вне области покоя плотность и давление газа будут уменьшаться с течением времени и с расстоянием.
Аналогичную задачу можно рассмотреть, считая, что газ движется с постоянной скоростью +и, к центру симметрии. В этом случае при соударении газа в центре симметрии возникает ударная волна, распространяющаяся от центра симметрии с такой скоростью, что саади нее остается область покоя. Вторая задача, как мы увидим далее, имеет важное приложение.
6 68. Разлет газового шара в пустоту тогда общее решение второго уравнения (67Л4) можно будет написать в виде 1— +Ф [г( — + 1~ ~ — „— 1) (68Л) где Весьма большой интерес и значение, в частности астрофизическое и космогоническое, имеет решение задачи о разлете газового шара в пустоту. Задача может быть поставлена следующим образом. Имеется сферический объем газа, внутри которого вследствие быстрого выделения энергии внезапно повышается давление, распределяясь равномерно во всем объеме, причем газ в этом объеме остается в покое. В некоторый момент начинается разлет.
Требуется определить возникающее движение газа вне указанного объема — в пустоте. Очевидно, истечение начнется с периферии сферы; в глубь ее пойдет волна разрежения со скоростью, равной местной скорости звука. Через некоторый промежуток времени фронт волны разрежения достигнет центра сферы, после чего из центра сферы начнет распространяться новая отраженная волна. Р Аналогично ставится и задача о разлете цилиндрического объема газа.
Аналитическое решение аадачи, по-видимому, невозможно даже для первой бегущей к центру волны. Мы воспользуемся приближенными решениями, используя для атой цели сначала уравнения (67.14) и полагая, что для бегущей волны имеет место соотношение а=и+ — с=па= сопзс; 2 й — 1 572 НРостРАнстВенные дВижения ГАЭА 1ГЛ. Х Произвольная функция определится из следующего условия: при1=0 г=г, (68.2) где го — радиус шара, В качестве примера приведем решение задачи, полагая й = 3.
В этом случае оно имеет вид (ао = сн) — — 1 8 (~, — 1))п'" +2 ~ н сн сн + Ф ~г ( —, — 1) ~ . (68.3) Произвольная функция при указанном начальном условии равна со Г х — 1 1 .о г / ро Ф = — — ~~()(о — 1) 1н — + 221, где Х = — [ — — 1)+1. 2~„~ х+1 ~/ го ( со н После некоторых преобразований мы сможем написать оконча- тельно решение для простой бегущей волны в виде 1 = — — + — — (",( — 1) 1п г (6 1 го 'н 'н + —, (Хо — 1)!и (Х, ), (68.4) -и- + ~,йо — — с) — + — ~ — ссе — с~ = О. (68.5) ас Г Э+1 1зс Ис ГЬ вЂ” 1 81 ~о а — 1 )Эг г ~ 2 где Х имеет то же значение, что и в предыдущей формуле. Заметим, что на границе истекающего газа при г = г, + сиг мы будем иметь с = О, и = сн, р = с„; на фронте'волны разрежения при г = г— — си1 будем иметь и = О, с = сн, р = — с, что служит контролем физической правомерности сделанного приближения.
Рассмотрим теперь несколько менее точное приближение, используя для этой цели уравнения (67.1) и полагая снова ос= 2 2 = и+ 1 с = — 1 си = ссо — — сопз1. В этом случае мы отбрасыи= и= заем первое уравнение и интегрируем второе, которое принимает вид 573 1 681 РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ Его общее решение мы напишем следующим образом: ~ <н ПЯ Я(Н 1 ~и1 * "-'" (".'"-) " (68.6) В случае )с = 3 и Лг = 2 решение упростится и примет вид 2. — с„ — — г+Ф(г с(сн — сЦ. (68.7) сн Произвольная функция при указанном выше начальном условии может быть определена так: Отсюда после некоторых преобразований напишем решение по- ставленной задачи в следующем весьма простом виде: 1( — "а' (68.8) сн г сне 4 —— го го (-:.
+Ж'- го сн сн о' оно го го (68.9) 2 ) ~ г ' 2 сне о о и= — сн 1 — 6Ц вЂ” — 1) го — — ':"( —.".-1151 (68.10) При г = г, + с„1 имеем с = О, и = сн, при г = г, — с„1 получаем е = сн, и = О. Если графически изобразить закон распределения и = и (г), с = с (г) при заданном 1, то мы получим следующую картину (рис. 78). Внутри волны величина а будет несколько меньше чем 2с„/()с — 1), и, в частности, при )с = 3 — меньше чем с„; полагая, что в волне 574 НРостРАнстВенные дВижения ГАЗА [ГЛ. Х где О = сопз$, мы сможем улучшить написанное выше решение, поскольку задача сведется к решению одного линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Как мы уже говорили, с и через некоторое время, а именно при г, = г,/си, фронт волны разрежения дойдет до центра сферы, после чего возникнет новая волна.
Поста- и раемся также приближенно найти ее аналитическое выражение. Для этой цели с=. 7 прежде всего рассмотрим заРис. 78. дачу при достаточно большом времени, протекшем сначала процесса (при с = со). При этом газ,неограниченно расширяясь, займет весьма большой сферический объем в пределе, стремящемся к бесконечности, и давление газа будет стремиться к нулю. Рассмотрим систему уравнений газовой динамики (2.25) при 7 -~- со, р -«-О ди ди — +и — = О; дс дг (68Л1) Поскольку уравнение нераарывности можно написать в виде д (" Р)+ д (' Р)+Р' д =О (68Л2) а уравнение движения дает очевидный интеграл г и= —, Т (68ЛЗ) что и свидетельствует об инерциальности движения, мы будем иметь следующее выражение, определяющее плотность газа: (68.14) Определим вид произвольной функции г" (гlг); по аналогии с одномерным движением в трубе можно предположить, что эта функция имеет вид р( — ") = А~~ — 1 си) — —,~ Н, (68.15) 575 1 зз) РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ причем 3 7 9 3 — а й=З,—,—, — ...; =ам, 3' 3' 7а '' 2(Ь вЂ” 1) а = О, 1, 2, ..., Оо.
Константу А можно определить, исходя из закона сохранения массы: Ме = 2Ия~глрйг = 2ЛгяА ~ ~( — „1 сн) — —,1 (при )т' = 1, 2). Проиаведя интегрирование, мы придем к выражению (2~+1)( Уя „г 2 лам 2~"~~(о))а ~ — а ) ~й — 1 н) откуда н (") Н Закон сохранения энергии при этом тождественно удовлетворяется; в самом деле, ма Г Ее = — ~ и'НМ = Л'я ~ —.
Г~р Йг = ан з а аа = )уяА 1 й~ — с,) — — „, 1 Ы вЂ”, = М „„" 1 ° (бЗА7) о Заметим, что отношение потенциальной энергии к кинетической энергии при г — ~- со стремится к нулю, поскольку при 1 -~ со отношение плотностей энергии 2р!()с — 1)риз рн а)иа стремится к нулю, а в любом конечном объеме полная энергия равна нулю. При цилиндрическом или сферическом разлете газа полное количество движения можно определить в пределе прн 1 -~ со как сумму количеств движения отдельных частиц или объемов газа; при этом следует помнить, что центр массы газа остается неподвижным, поскольку прп разлете газа действуют лишь внутренние сильь 577 г оо1 РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ причем на основании (68АЗ) р (1) должна стремиться к И при 1-~- оо. Данное соотношение полностью решает поставленную задачу о разлете газа при Лг = 1 и Л' = 2.
Следует обратить внимание на то, что в центральных областях плотность и давление газа всегда более высоки в отраженной волне, чем на периферии. При решении некоторых задач можно пользоваться значительно более простыми, хотя и менее точными выражениями, определяющими плотность и скорость в отраженной волне. Предположим, что во всей области отраяоенной волны плотность не зависит от г и является функцией только времени, а скорость по-прежнему является линейной функцией г. Тогда для сравнительно больших моментов времени, протекших с начала процесса разлета газа, мы на основании решения (68.14) можем прийти к следующему соотношению: г н 'И' Константы А и р могут быть определены из закона сохранения массы и энергии: он Π— 1 о он 1 1он о о Отсюда имеем: для Ат =1 (3=21о+1, А =~— ! Ь вЂ” 1 ~о 2 (а+1) для Ф= 2 ~)= Зй+2, А (26+з)~ ~а — 1~о 1 Р~(З-(-Г)~21З+1 ( З,( 4н В случае нецелых значений р в последнем выражении придем к гамма-функциям от (1 (Г (р)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
