К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Для изучения иззнтропических потоков этот метод менее удобен, чем для адиабатических, поскольку при этом труднее исключить Рассмотрим теперь класс решений, которые в некоторых случаях являются точными. Предположим, что давление зависит только от времени: р = р (1). Напишем систему уравнений в 612 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА форме Эйлера (2,25) (гл. х ди ди 1 др — +и — + —— дг дг р дг д1в р д)п р ди Ли +и до дг дг г д1в р д1в р Гди Уи 1 +и до дг ( дг г =0; (71Л1) Первое уравнение при р = р (1) дает г = и(+ Р(и) (71Л2) Остальные два уравнения преобразуем к независимым переменным ((; и), тогда они примут внд — + " (71 13) гй )г ой (о+Р' ио+Р ~ ' Принимая во внимание (71.12), получим — = — — =- — — +— д1ар 1 д1вр Г 1 лги 1 Гй й Гй Со+ Р' г (71.14) Отсюда р = ф, (и) г Аг(г + Р ) '; р = ф (и) г огг (г + р ) (71.15) (71.16) (У вЂ” 1) (У вЂ” 2) го иго 2 где оз = сопз(.
Тогда , иогг (71.17) Если рассматривать решения (71.12), (71.15) и (71Л6) как приблияоенные, расширяя этим класс разрешимых задач, то можно не удовлетворять уравнению сохранения импульса; ошибка, допускаемая при этом, может быть сделана достаточно малой. Найденные здесь решения могут быть с успехом применены при изучении отраженных волн для изэнтропических течений, тогда фо ф1 И р = () (г оо) ~ (71Л8) где () = сопа1. Будем теперь искать решения, предполагая, что (71.19) Для того чтобы выполнялось требование р = р (1), необходимо допустить, что 614 ~гл.
х ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА причем В самом деле, общее решение для адиабатических движений должно содержать три произвольные функции. Мы нашли решение, зависящее от двух произвольных функций времени и одной константы. При подстановке найденных решений в уравнения Эйлера мы связываем эти функции и константу одним условием. Поэтому для уменьшения погрешности мы располагаем, во всяком случае, одной функцией.
5 72. Разлет продуктов мгновенной и реальной детонации в воздух Дадим вначале качественное описание процесса разлета продуктов мгновенной детонации сферического заряда в воздух, что эквивалентно разлету сжатого газа, который ранее был покоящимся и занимал сферический объем радиуса г,. Так же как и в случае одномерного разлета, по продуктам детонации пойдут две волны разрежения, одна из которых, расположенная ближе к центру, будет простой (бегущей) волной разрех<ения, а другая, примыкающая к воздуху, будет волной сложной, определяемой общим решением.
По воздуху при этой пойдет ударная волна. Поскольку плотность и давление в продуктах детонации будут падать весьма быстро, в среднем подчиняясь закону 1 — г-мя+и (72Л) вытекающему из закона сохранения массы, а в ударной волне давление будет падать несколько медленнее, в среднем согласно закону р г-(м+Н (72.2) вытекающему из закона сохранения энергии, то в продуктах детонации возникнет волна сжатия, фронт которой относительно самих продуктов детонации будет двигаться в направлении к центру взрыва. При определенных начальных условиях фронт атой волны сжатия может и в абсолютной системе координат начать двигаться по направлению к центру взрыва, что будет способствовать ее превращению в ударную волну. Продукты детонации в процессе своего расширения будут некоторое время оказывать воадействие на воздушную ударную волну 615 л уы гкзлкт пгодгктов дктонлции в воздгх передавая ей постепенно свою энергию; так же как и в одномерном случае, продукты детонации при расширении займут некоторый предельный объем, соответствующий их среднему давлению, меньшему, чем атмосферное, после чего начнется процесс сжатия продуктов детонации до давления выше атмосферного.
Этот процесс пульсации продуктов детонации довольно быстро затухнет, и продукты детонации займут некоторый объем, соответствующий их равновесному состоянию при атмосферном давлении. Как было показано ранее (4 44), этот предельный объем, который занимают продукты детонации при атмосферном давлении для типичных конденсированных взрывчатых веществ, составляет приблизительно 700 — 1300 начальных объемов взрывчатого вещества.
Этому объему соответствует для сферической волны сфера с радиусом, равным приблизительно 10г;, для цилиндрической волны радиус предельного цилиндра, который будут занимать продукты детонации, составит приблизительно 30г«. Как будет показано ниже, максимальный радиус сферы или цилиндра действия продуктов детонации будет в полтора-два раза превышать предельные радиусы.
В тот момент, когда начнется сжатие продуктов детонации, т. е. в момент достижения продуктами максимального расстояния от центров взрыва, по ударной волне побежит волна разрея«ения, постепенно останавливающая воздух, движущийся за фронтом ударной волны; произойдет как бы «отрыв« фронтовой части ударной волны от ее тыловой части и продуктов детонации. Как показывают расчеты для сферической волны в момент отрыва, ее длина, т. е. расстояние от границы раздела до фронта волны, составляет в случае детонации типичных конденсированных взрывчатых веществ приблизительно 10 — 15г«, при этом энергия продуктов взрыва почти вся переходит в энергию ударной волны. Лишь не более 10 — 15% начальной энергии задерживается в продуктах взрыва и затем частично расходуется на образование второй ударной волны. Расслштрим приближенно закономерности движения границы раздела.
Для этой цели воспользуемся уравнением (60.16) (72.3) Здесь для сферической волны в обозначениях $ 60 имеем: М = = (4/3) яр„алг~; Я = 4кгу, Ми = а Миу. Принимая, что на границе раздела в среднем р !р = (г /г )«*, придем к уравнению 617 3 зз] РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ Х = Щ(2МАЕо (9 = 08) (72 10) Здесь Мо и Ео — масса и энергия продуктов взрыва, Е, = Мо() = = Мо)7з/2 (из — 1).
Это количество движения продукты детонации могут получить при разлете в пустоту. В случае раалета в воздух необратимые потери энергии будут приблизительно компенсироваться собственной энергией воздуха, вовлеченного в движение, в справедливости чего мы убедились, рассматривая плоскую ударную волну. Поскольку масса, вовлеченная в движение, при этом возрастает, мы будем для определения импульса иметь соотно- шение 1= 9~I 2Мо(1+ — У) Ео' 1 = — = — р' 2М Е (1+ — «), — 4я„з — 4д~' о о(, Мо)' (72.11) где Мт — масса воздуха, вовлеченного в движение.
В случае сферической волны на расстояниях до 15г, з ' 4 з 3 "о( о) 3 (72.12) на расстояниях же свыше 15г„т. е. после отрыва ударной волны от продуктов детонации, мы будем иметь М = 4яр гз)„где Х— длина ударной волны, причем в среднем (72 13) )~ = 5~ о = 12го нации; давление на фронте ударной волны в этом случае будет выше. Однако более быстрое падение давления на фронте ударной волны в сравнении со случаем мгновенной детонации, происходящее благодаря более быстрому падению давления в продуктах детонации на сравнительно большом расстоянии от места взрыва, приводит к тому, что поля взрыва в отношении давления и скоростей будут в обоих случаях примерно эквивалентны (волна сжатия, идущая от границы раздела к центру, при реальной дето нации будет сильнее). Несмотря на то, что мы еще не знаем достаточно хорошо процессов распространения сферических и цилиндрических волн, весьма легко оценить количества движения воздуха в этих волнах.
В самом деле, для сферической волны, например, начальное количество движения продуктов детонации нам известно. Оно точно такое же, как и в случае распространения плоской детонационной волны: 618 пРОстРАнстВенные движения ГАЭА 1ГЛ. Х Поэтому выражение для количества движения примет вид при г (15г, 2М«пе 1 + 1 4 а 2МоЕа 1 + (72Л4) при г ) 15го 1- а'~/аи,и, (а -~- ' ); ~=а,~ 2«,е,(1.~. ' ).~ (72.15) Преобразуем последнее соотношение: Эа141з — Ма где ра — плотность взрывчатого вещества, и — 3. В пределе на больших расстояниях от места взрыва будем иметь *) ЭВМ,' г г 9 ~/ 4ярД~/— 4лг 4ги~ — 1 ~/ У 4яра (72.17) 1 г' ' (72Л8) Вблизи от места взрыва при г( 20г, для сферической волны вависимость давления от расстояния будет вырая<аться соотношением р (72Л9) «) Это соотношение впервые было получено автором аналитически в 1947 г.
Последнее соотношение справедливо до расстояния порядка 500га; на ббльших расстояниях ударная волна будет вырождаться в звуковую волну и давление будет испытывать гармонические колебания около значения р,. Зависимость импульса от расстояния будет выражаться формулами акустики, т. е. 620 [гм.
х пгостРАнствкнные движения гАЭА где величина Е постоянна для волны, рассматриваемой в акустическом приближении. Мы видим, что действительно по мере падения амплитуды ударной волны зависимость давления от расстояния становится акустической. Вблизи от места взрыва длина ударной волны быстро возрастает, так как скорость ее фронта больше, чем скорость границы раздела (зта граница на расстоянии 10г, — 15г, вообще останавливается).
На относительно больших расстояниях от места взрыва, как мы уже неоднократно указывали, длина волны, напротив, слабо возрастает со временем. Область движения ударной волны после ее отрыва от продуктов детонации может быть приближенно описана уравнениями автомодельных движений, до тех пор пока давление на фронте ударной волны еще не очень мало (больше 20 кг/см'). Болев точная теория сферической и цилиндрической ударных волн может быть построена путем использования ряда приближенных приемов интегрирования основной системы уравнений. ГЛАВА Х1 КЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ 5 73.
Распространение плоской ударной волны в воде при взрыве В настоящей главе мы будем рассматривать неустановившееся движение в плотных средах, например в воде, принимая во внимание, что при больших начальных давлениях, возникающих, в частности, при взрывах, необходимо учитывать сжимаемость среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
