К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В случае детонации у стенки волна разрежения (73.27) в момент времени 1 = 3//2Р в сечении х = 3//4 дойдет до точки слабого разрыва в самой детонационной волне, поскольку в этом случае решение (73.26) определяется лишь на интервале х/1 > Р/2.
При х/1 е-. Р/2 з зз) глспгостглнвнпг, плоскои гдлгнои волны в водк 62Ч Полагая х)г = .О, определим йзз = из в момент удара детонационной волны о плотную среду. Уравнение (73.44) допускает Зевав/а ваввз// гав/севвеа//а х=// Рис. 89. 1 Ч /зи ((и-(-с )а сз) з + )п— зс ((и+ ',)' — з„') ' =О, аналитическое решение, Поскольку 1 х = И + — ((и + с ) — са)з (73.45) то, дифференцируя (73.45) по з' и затем интегрируя, имеем 630 неУстАИОВившиеся дВижениЯ В плотных сРедАх (гл. х! где (з = сопз1; из последнего равенства получаем 1 (и + са) — [(и + са)з — са[ с (и+с )з — сз з са — ассов а 4 а у' з 1 з (73.46) Константа зз опРеДелЯетсЯ из того УсловиЯ, что пРи х = [ мы имеем и = ису и ( = И7; фоРмУлы (73.45) и (73.46) и дают Решение задачи в параметрической форме.
Теперь возможно определить значения г'1 и г'„причем Г1 определяется сравнительно просто; поскольку х = (и + с) 1 + Р,(п), а 1 = (1 (и) и мы имеем тождество и = (и + с — с,)!2, то г"1(и) = и(1+ — ' [(и+ са)' — сз[ — (2и+ са) (, Ч что дает 11 х = (и +с)(( — (1) +~ и + — [(и +с )з — с [з [(1, (73 47) Ч Для определения Р (и — с) поступим следующим образом. На границе раздела двух сред (и + са) — с„= Чз (и — [))~, где [) = и — с; решая это уравнение относительно и, найдем и = и (р); подставляя последнее выражение в (73 45) и (73.46), найдем (=(з(и — с), х=х (и — с), что и определяет функцию г'з: г' (и — с) = з — (и — с) 11.
(73.48) 1 з1 —— 4 (и -[- с ) — с 1 з — агсза— з с (73.49) Если рассматривать первую схему истечения, т. е. истечение налево в пустоту, то при ( — и оо скорость и-и О. В окрестностях точки 1Й = О имеем $73) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ 631 начальных условий, при гДе 13 — константа, опРеДелЯемаЯ из этом 1 1 (и+с) — с 3 -з сс Хсс 3 3 „, + с 4 — аГС13 — г 'г~ Езгз 3 гДе хс = С,гз; отсюДа, посколькУ и -» О, имеем с 4 с го агсы— а )Гз 3 х„р — — — е Ч (73.50) Таким образом, при ) -» оо хзр стремится к положительной константе.
Это означает, что граница раздела перемещается на конечное расстояние. Если бы мы рассматривали истечение продуктов детонации в среду, обладающую ааметным противодавлением, то пришли бы к пульсационным движениям газовой полости. Решим задачу для случая, когда 3) мало. Иэ (73.44) видно, что х мало и может быть выражено так: ха азу 33 (73.51) 3 ~ сз — г)а —,1 Интегрируя (73.51), найдем х' (23)3 — + Зсс'„) = 44 (23)3Х)з + Зс',). (73.52) Вычисления дают для г)3 = 0,1, с, = Х)/2: — — 0,22, — 'У .=1,12, — "" =( — э) =1,06, (73.53) что приблизительно соответствует случаю распространения волны в алюминии. Аналогичные вычисления по точным формулам для случая 3)з = 1,0, с, = Х)/5, — '3 = 0,4, —" = 0,51, — 'Р = 2,5.
(73.54) что приблизительно соответствует случаю распространения удар- ной волны в воде, приводят к реаультатам 632 негстАнОВНВшпеся ДВиженпя В плотных сРВДАх 1гл х1 2а 20 2 и = — (с — с,); р = Аас = А (с"-' — са-'). а О а (73.55) /1 и+с = —; 2 Отсюда 20 20 ~/2 2 — — — (с — с )) 1)2 = са-1 са-' (73.56) 2  — 1 а/ а что при п = 3 дает 21 ( +Э Эа) =с са Очевидно, в этом случае скорость движения границы раадела и давление на границе будут меньше, чем в предыдущих случаях. Фронт волны разрежения, идущий по продуктам детонации, через некоторое время встретится с фронтом волны разрежения, идущим от другого конца; фронт волны, образующийся после взаимодействия указанных волн, догонит границу раздела, затем фронт ударной волны и ослабит его и т.
д. Эта задача также может быть доведена до конца, однако большого практического интереса она не представляет. Если рассматривать задачу в неограниченной среде до конца и учитывать противодавление среды, то можно показать, что область, аанятая продуктами детонации, будет пульсировать около некоторого значения объема, причем амплитуда этих пульсаций будет постепенно затухать. Важно выяснить другое. Ударная волна рано или поздно примет такую форму, что давление и скорость будут падать от ее вершины к тылу.
В случае удара детонационной волны о среду в ней сразу же возникает такая волна; в случае детонации, идущей от границы раздела со средой, ударная волна примет указанную форму только после взаимодействия хотя бы с одной отраженной волной. $ 74. Кавитация плотной среды у свободной поверхности Когда какая-либо плотная среда, расширение которой описывается уравнением 4 (ра р") (74А) движется таким образом, что головные ее части имеют ббльщие Основными рабочими формулами здесь являются (73.44) и (73.50); пользуясь ими, мы и определили и01///, х„р/1, после чего из обычных формул вычисляем с,„и р „.
Рассмотрим теперь случай, когда детонация начинается на границе с плотной средой, при этом сначала в среде возникает стационарная волна, параметры которой определяются из соотно- шений б33 казптлция плотнои саиды скорость и давление, чем тыловые, то в случае полного ее расширения до внешнего давления возможны явления, аналогичные кавитации, т. е. такие явления, когда происходит разрыв среды на отдельные части (капли). В самом деле, когда в случае полного расширения давление среды падает до внешнего давления, то при этом плотность не может стать меньше заданной начальной плотности (р,) среды. Поскольку различные части среды при расширении двинсутся с различными скоростями, то происходит интенсивное растяязение среды. В случае я~идкости среда распадается на ряд отдельных капелек — происходит кавитация жидкости. В случае твердого (металлического) тела навигация сможет развиться только при достаточно большом градиенте скоростей. Рассмотрим сначала кавитацию в какой-либо жидкости.
С большой достоверностью можно ожидать следующего распределения скоростей течения среды и скоростей звука в ударной волне, подходящей к свободной поверхности жидкости (для п = 3): и+с = (74.2) и — с= — с а~ х — а х — 3 и+с=,; и — с= (74.3) где 1 — значение координаты свободной поверхности, т — момент и время подхода к ней ударной волны. Фронт волны разрежения, очевидно, также будет двигаться по закону х — ( = — с (1 — т).
(74.4) Значение координаты х = х, при которой с = с„ определится из соотношения 1 (х — а х — 1) (74.5) где и — скорость среды, с — скорость звука в среде, а — константа, определяющая протяженность ударной волны. Здесь мы пишем параметры среды без черты наверху. Все эти величины могут быть найдены иа сравнения аппроксимации (74.2) с более точными выражениями для ударной волны, найденными в предыдущем параграфе. Однако главный интерес для нас представляет качественное исследование задачи о кавитации, и мы не будем останавливаться на численном ее решении.
Возникающая после прихода ударной волны к свободной поверхности жидкости волна разрежения характеризуется уравне- ниями 834 негстаноэившиеся дВижениЯ В плотных сРедАх 1гл. х! При этом и=й — 2 (:+ * ) — * с„. (74.6) Решая эти соотношения, найдем х = ( — — — (г — т) + 2с, — (1 — т). С а с т т т (74.7) Зто выражение дает закон цзин<ения фронта кавитации. Далее, определяем й= ' — Зс,+2с,— ' (74.8) Нх х — а с (74.9) Интегрируя (74.9), придем к вырансению х = а — с,1+Ау'г.
(74АО) Значение константы А определится из условий: в момент времени т прихода ударной волны к свободной поверхности х = х, тогда 4 хо (с Уст. отсюда х = а — с,1 + с, )/1т + (х,— а) )'от. (74.11) Далее, для волны разрежения будем аналогично иметь ах 1 сх — а х — 1) — — + й 2(, с с — т (74.12) Интегрируя, получаем = — 1 — а (1 — т)+ А ~ 1(1 — г). (74.13) Константа А определяется из условий 1 х =- ( — с,(1 — т) — — а + (ха — а) )/ — + с, )~,Ст — с,1, -Здесь значение и определяет скорость среды на фронте кавитации. Для дальнейших вычислений перейдем к координатам Лагранжа; для этой цели положим и = дх/Ш и определим связь между значениями х и х„где х, — лагранжева координата. Для исходной ударной волны 635 КАВИТАЦИЯ ПЛОТНОЙ СРКДЫ $743 откуда х, = — / ~/~ †, + (а — с,т) (1 --~/ †, ), (74Л4) что дает т (хо — а+с т) ' ~ (хо — а+с т) (74Л5) отсюда 4 = — )Гх' — /о + 2(хо — 1)(с,т — а) 1 х = — ~ — — Р— т) +, УГ(хо — /) (хо+ /+ 2(сат — а)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
