К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Для того чтобы определить закон движения фронта разрывной волны, необходимо знать скорость воды и глубину до фронта, а такпсе, в случае сопряжения ударной волны с простой, связь между и и г в простой волне или, в случае сопряжения со сложной волной, связь между и, ), г, г для сложной волны; тогда из уравнений сохранения, определягощих состояние на фронте разрывной волны, и указанных условий можно определить три искомые величины и„)„Р, причем в случае сопряжения с простой волной мы приходим к трем алгебраическим уравнениям, а в случае сопряжения со сложной волной нам необходимо, поскольку Р = Ыхп(г, решить одно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и два алгебраических уравнения.
Следует особо отметить, что реальным руслам соответствуют значения а = 2, 2/3, 2/5 и т. д., г = 1, 2, 3,..., — 1 (рис. 89, где показано параболическое русло для а = 2), для русла прямоугольного сечения, поскольку х = (у/а)П' = сопят, мы получаем значение 1/а = О, что, как мы указали, соответствует показателю изэнтропы )г = 2. В этом случае волны двух направлений можно определять или приближенно, или методом характеристик. 9 77.
Распространение сильных волн в твердых телах ') Теория распространения слабых волн, продольных и поперечных, в твердых телах развита достаточно полно. Точно так же имеются многочисленные экспериментальные сведения в области ") Этн вопросы были рассмотрены Х. А. Рахматулпвым в независимо от него автором. За границей подобные задачн также рассматривались (см. книгу: Г.
К у р а и т в К,Ф р и д р и х с, Сверхзвуковые течения п ударные вопим, ИЛ, 1950), 7 77) РАспРОстРАнение сильных ВОлн В тВеРдых телАх 65Т поведения твердых тел при сравнительно небольших динамических и статических нагрузках. Изучение поведения твердых тел при больших нагрузках, возникающих при взрывах, начато сравнительно недавно, и в этой области наши сведения как теоретические, так и практические еще крайне недостаточны. Здесь мы делаем попытку развить и углубить некоторые известные результаты теории распространения сильных (нелинейных) волн в твердых телах, возникающих при больших быстро меняющихся взрывных или иных нагрузках.
В отличие от жидкости, которая после л7обой практически достижимой нагрузки, когда эта нагрузка снята, возвращается в исходное состояние, так что лишь температура конечного состояния может несколько отличаться от температуры начального состояния, твердые тела обладают так называемой остаточной деформацией; кроме того, сама кристаллическая структура твердого тела при достаточно больших давлениях может видоизменяться или даже исчезнуть. При этом остаточная деформация при растяжении обычно больше, чем при сжатии.
Даже в случае распространения слабых волн влияние остаточной деформации может быть значительным. Поэтому теория распространения волн в твердых телах имеет свои трудности по сравнению с теорией распространения волн в жидкостях, однако в ряде случаев малая сжимаемость твердых тел облегчает решение вадачи. Известно, что при воздействии какой-либо силы, приложенной к твердому телу, например металлу, в поле возникает бегущая волна деформации (нагрузка); в зависимости от величины этой силы, рассчитанной на единицу поверхности, т. е. в вависимости от величины приложенного давления, эта волна имеет различную интенсивность. При отражении воли от свободной поверхности тела или снятия (полного или частичного) нагрузки возникают новые волны — волны разгрузки.
В настоящее время для решения ряда принципиальных теоретических и технических задач представляется необходимым исследовать вопрос о воздействии весьма высоких давлений на металлы или иные твердые тела, когда в этих телах возникают сильные волны и уравнение, свяаывающее деформации и напряжение, не подчиняется закону Гука.
Зависимость плотности тела от давления или деформации от напряжения лишь при не очень больших давлениях (деформациях) подчиняется закону Гука. При давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер закон Гука уже недействителен. Для ряда твердых тел наклон кривой о = О (з) в некоторой зоне при он<агни уменьшается. При давлениях порядка миллионов атмосфер твердое тело фактически становится квазижидким и даже 652 нвтстлновившикся движвния в плотных сгвдлх [гл. хг гааообразвым и в атой области давлений р — р", где п — показатель политропы; в пределе при еще больших давлениях этот показатель стремится к значению п = 5/3 (рис. 93).
Если закономерности распространения слабых деформаций в пределах применения закона Гука хорошо исследованы, то, напротив, закономерности распространения сильных волн нагрузки и разгрузки, когда тело находится в пластическом состоянии и необходимо учитывать сжимаемость материала, из которого состоит тело, изучены недостаточно подробно и обстоятельно.
-а=! — ~ У У вЂ” = и, (77.3) где проиаводная дх/д8 берется при постоянном Ь, т. е. для заданной частицы. Вводя удельные объемы к=в Р тз = — и Ро (77.4) Здесь делается попытка аналитического изучения распространения сильных волн нагруаки и разгрузки в металлах. Напишем основные уравнения в форме Лагранжа, характеризующие движение деформируемой среды; очевидно, что таких уравнений будет два — уравнение движения (З.т) и уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) (3.18) при Х= О. Итак, имеем уравнения (77.т) (77.2) К уравнению (77.2) следует добавить очевидное уравнение о 77о РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 653 и дифференцируя по времени второе уравнение (3.22), получим (77.5) Итак, окончательно, в координатах Лагранжа движение среды описывается уравнениями (77.2) и (77.5).
При этом необходимо учесть связь между р и р или р и ч, т. е. уравнение состояния сре- ды (77.6) р =р(р) р =р(ч). или (77.7) Изменениями энтропии для твердых тел даже при относительно больших давлениях можно пренебречь, и поэтому уравнение состояния имеет простой вид (77.6) или (77.7). Уравнения (77.2), (775) и (77.7) имеют обычный газодинамический вид.
В теории упругости и пластичности обычно вместо давления вводят так называемое техническое напряжение (77.8) о= — р и величину деформации (77.9) р то део В этих параметрах уравнения (77.2), (77.5) и (77.7) можно написать в виде дм 1 де де до ро де део ' Характеристики уравнений (77Л1) и (77Л2) в форме определяются хорошо известными соотношениями (см.
Вдоль линий де / др /' де — = и + р' — = и.+ (1 + е) у .,— — ) д,—— У роде (77.13) Эйлера (8Л5)). (77.14) имеют место .соотношения оои = +- 1/ — оое = ~/ †. Ро ие ро (77.15) ди 1 де де (77.10) де ро део дь ' (77 Л1) и = о(е). (77.12) Поскольку до/дхо = (е)о/о)е) (де/дх,), то уравнение (77ЛО) примет вид то ох дх оСхо + дх ро Бео + и (1 + е) оСхо ( и (77 (6) оСС дхо ЕС дС р аГС оСС Отсюда оКхо/о(С = (оКх/о(С вЂ” и)/(1 + е) = г' йг/ро оКе.
Таким образом, в координатах Лагранжа имеют место следующие характеристи- ческие соотношения: вдоль линии (77Л7) имеет место связь между о, е и и: / 0 оСБ с(и = ~~ — ° Ро (77Л8) Очевидно, величина део / да дС р,де (77Л9) определяет скорость распространения возмущений от частицы к частице.
Эта скорость связана с местной скоростью звука с сле- дующим соотношением: р -,/др р о и= — 1. — = — с=— Ро оСР Ро 1 + е (77.20) В случае слабых возмущений р = р„х = хо и (77.21) со где с, — обычная скорость передачи продольных колебаний в рассматриваемой среде, и мы приходим к волновому уравнению доз о дои СО дсо дхо ' (77.22) причем х - х„ поскольку величина смещения частиц бесконечно мала. Решение уравнения (77.22) общеизвестно: и = г" (х + с,С) + г'0 (х — соС), (77.23) где Р, и г' — произвольные функции. В случае малых возмущений имеет место закон Гука, связывающий о и е: О=Ее. (77.24) 654 неустАновившиеся дВижения В плОтНых средАХ 1ГЛ. хо Поскольку х=х(хо; С), $ 771 РАспгостгенкннк сильных волн в тввгдых твллх 655 Черту над буквой Е' мы ставим для того, чтобы не путать модуль с энергией, где Š— модуль упругости. Скорость звука слабых возмущений равна (77.25) В случае сильных возмущений (деформаций) закон Гука уже не имеет места н связь между о и е становится более сложной.
Интегрирование уравнений (77Л() и (77Л2) в общем случае мы проведем ниже. При движении среды возможно, как мы увидим ниже, возникновение ударных волн разгрузки, поэтому напишем основные соотношения для ударных волн. Закон сохранения массы выражается уравнением ро 0 — ' ре(Р пе) нлн пе + сей = 0 (77 26) где р„— плотность на фронте волны, )7 — скорость распространения фронта волны, и„— скорость течения среды за фронтом волны. Под е„здесь следует понимать величину в на фронте волны. Закон сохранения импульса также легко выразить: /'б Р =~ — )юо, Ро (77.28) поэтому уравнения (77.26) и (77.27) полностью определяют свойства ударной волны разрежения, если задан один из параметров, например (е. Уравнение сохранения энергии такяге имеет классический вид Р,+Р Еи Ео = (оо чи) 2 (77.29) где Е, и ń— внутренние энергии до фронта и за фронтом волны соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
