К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Для этого воспользуемся очевидным условием, что в волне, идущей к стенке, 674 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ 1ГЛ. ХП газа установится реясим и = (х+1)~р(1), р = р(1). (78.23) Допуская, что давление, а следовательно, и плотность в среднем в газе не зависят от координаты и меняются только со временем, мы прежде всего вычислим кинетическую энергию газа: х и ти Ек —— — ~ ри'с(х = —,, р(х+/)'= — „,", (78.24) — с где (78.25) ш = р (1 + хи). При этом потенциальная энергия равна и и= Ь 1 ° (78.26) Если учесть, что у стенки давление может быть несколько выше, чем у метаемого тела, то величина кинетической энергии может быть выражена формулой Е» = (78.27) При времени, стремящемся к бесконечности, отношение потенциальной энергии к кинетической стремится к нулю, и поэтому вся энергия переходит в кинетическую.
При очень больших значениях М/и величина 9 = 4. Напишем теперь уравнение баланса энергии Ри (*+ 1) ти'. 1Гий а()с — 1) и — 1 + бз 2 Здесь Š— полная энергия (начальная энергия газа). Поскольку на поверхности метаемого тела р = ЛИи„/с11, то уравнение баланса энергии теперь можно написать в таком виде: где 9 ) 1 — коэффициент, зависящий в свою очередь от величины М/ш. Известно, что при истечении в пустоту (что отвечает случаю М/т = 0) этот коэффициент должен быть равен 9 = 2/с/3(/с — 1), что вытекает иэ закона сохранения энергии 2 ~)и тс 60 )с (а — 1) ( ) 78.28 675 1 гз1 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА Но Ыи /в(1 = с(и'„/2с(х, и последнее уравнение принимает следуюшую форму: + —" (/с — 1) (1+ — ) = — „— „" .
(78.31) Решение этого уравнения при условии, что при х = х, должно быть и = и„имеет вид (78.32) (+в звм Далее, очевидно, давление на поверхности метаемого тела после прихода первой отраженной волны от стенки может быть выражено формулой М тс и1 (й 1) (1+ЗЗАГ) 1 сх ( ( +~в П (~в в и В пределе при М/т -~ со мы получаем обычное уравнение изэнтропического расширения. В другом предельном случае при М/т = О получаем, что р„= О, а и, '= с'„60//с (/с — 1) = [2с„/(/с — 1))в, т. е.
закон сохранения энергии. Таким образом, в этих двух предельных случаях решение является точным, а в промежуточных случаях будет давать достаточно хорошее приближение. Можно было бы для уточнения учесть некоторую переменность давления с расстоянием и в величине потенциальной энергии. Выражая потенциальную энергию через среднее давление и через давление на границе метаемого тела, которое меньше чем среднее, мы придем к соотношению Р„(х+ О чр„(*+ 1) Р„(*+ 1) П (78.34) й — 1 й — 1 й| — 1 где величина Ч )1, однако можно не вводить в уравнение величину в(, а несколько изменить значение показателя изэнтропы, полагая, что этот измененный показатель й, = 1 + (й — 1)/в( ( й. В этом случае, когда труба, в которой происходит движение газа и метаемого тела, имеет конечную длину х = Ь, мы должны решение наших уравнений оборвать при достижении телом этой границы.
Величины скорости и давления на границе тела вычисляются по уравнениям (78.32) и (78.33), если положить в них х = А.. При этом в глубь трубы пойдет волна разрежения. Однако эта задача представляет второстепенный интерес, и хотя ее решение не встречает затруднений, мы его давать не будем. МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ 676 згл. хп 3 М l 3 Мз з — — — =(з~ — а)» г+ —,— ).
(78.35) 2 т 2 т) и+а=1; Отраженная волна: з м ь+ —.— + 2 2 т +а= 3 м '+: 2 т Фронт отраженной волны догоняет 2 т + — — в сечении з м з м (78Л6) 2 т тело прн т = 2+ метаемое 2 т $=1+ —— з м (78. 37) при атом "=('+ — м) ° .=»,1+ 3 ~) '. (78.38) Возникающая отраженная от тела волна будет характериаоваться уравнениями з м с+ 2 — +2 з м = с + а; 3 = (з — а) т + Р(и — а). (78.39) т+ —— 2 т Первое уравнение очевидно, поскольку при отражении от какой- либо преграды, находящейся справа, волна о -»- а не должна меняться. Для того чтобы определить произвольную функцию Р (о — а), воспользуемся снова уравнением Мз»и/ззз = р, которое в данном случае можно написать в виде 3 М з 4+ — —.»- 2 2 т Его решение при условиях $ = $„т = тм и = и, будет иметь внд М / 3 М ЗМ + т Зм.а/ ~~+ 2 т) 2т/ 3 М 2т ЗМ т ~~ !ЗМ ~з М», 2 т)' 2+— » — +2) (78.41) Интегрируя уравнение (78.32), полагая, что х = Х, найдем закон движения метаемого тела.
Рассмотрим теперь более точно задачу о метании тела в случае Й = 3, учитывая волну, отраженную от поверхности метаемого тела. Для этой цели выпишем сначала уже полученное уравнение для первых двух волн, полагая в них )з = 3. Простая волна: з те) ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА Зная закон движения метаемого тела, легко при помощи алгебраи- ческих преобразований определить произвольную функцию М 2+9— л'(о — а) = 2 2+3— т 4+12 — — х( — ) 12— 2 -~.
ь— (78.42) Таким образом, полное решение для волны, отраженной от тела, будет иметь вид М + т! т 3 Мт 3 М -~3 — — — — — )+2+ —,— = М(, ЗМ 4 ль) 2+3— (78.43) 3 М тт = (л — а) (т+ — — — 1 — — ) ' 4 пь зм) зм, т змт $ + —, — + 2 = (Р + а) ~с+ —,— ) . 2 т 2 т) Можно убедиться в том, что любые последующие отраженные волны будут также характеризоваться уравнениями вида (78.44) т — ть гДе зт, $н ть и т; — постоЯнные величины, посколькУ все хаРактеристики при те = 3 прямолинейны. Эти постоянные определяются для каждой волны о + а или и — а, исходя издвух условий: одного алгебраического, получаемого приравниванием момента и ко- ПОластть ооралсенной сосны ординаты отражения значения о и а известным зна- типаев чениям для падающеи вол- простой Пучь енпесснны, и второго, дифферен- юин атенсео теса циального, получаемого из сравнения законов движе- атП х ния тела по известной Рве.
95. волне и по волнам (78.44). Система волн, возникающих при движении тела, изображена на рис. 95. Перейдем снова к рассмотрению задачи при произвольном значении 7с. Большой интерес представляет вычисление количества 678 Ггл. хы МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ движения газа и метаемого тела.
Легко видеть, что в пределе при бесконечно длинной трубе полное количество движения определится соотношением Очевидно, эта величина количества движения равна импульсу, действующему на стенку. В случае конечной трубы, зная оставшуюся в газе энергию, можно рассчитать импульс, действующий на стенку, при помощи следующих приближенных соотношений: 1=1 ~/ 1 — — "+~0,8~/2тЕ~, (78.46) ~н н р,(~+ 0 где Е = ~ — оставшаяся потенциальная анергия газа, величина ь — 0,9 учитывает различие между количеством движения газа, истекающего в бесконечную и конечную трубу ($ 23). Член 0,8ДГ2шЕ„характеризует количество движения газа, истекающего после вылета тела из трубы. Аналогично можно было бы рассмотреть задачи для трубы, открытой с одного конца, или наиболее общую задачу о метании сжатым газом двух тел различной массы, движущихся в противоположных направлениях.
Существенно подчеркнуть, что, особенно при метании тяжелых тел М/т )) 1, сделанное упрощение решения задачи, когда предполагается, что в отраженной волне приблизительно р = р (с), достаточно хорошо оправдывается и физически обосновывается. В самом деле, при малой скорости метаемого тела взаимодействие волн происходит многократно, пока тело проходит малую часть пути и давление во всем объеме успевает выравниваться. Рассмотрим еще одну задачу, имеющую важное прикладное значение (задачу о фауст-патроне).
Представим себе, что в бесконечной трубе в объеме, длина которого ~, мгновенно сгорел заряд пороха, масса которого т. Слева продукты сгорания могут свободно истекать (в пустоту), справа они толкают тело массы М. Слева направо в объеме, занимаемом продуктами, пойдет волна разрежения (см. 3 20): и= — (с — с„); — = — и+ с. 2 с+1 (78.47) а — ~ и' С 1 тз) ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА От метаемого тела направо пойдет волна разрежения (см. соотношения для классической задачи Лагранжа): 2 и = — (с„— с); =й — 1 2й М х= — — 1+ й+1 т + (и — с) (( + — — ) .
(78.48) В момент 1 = (/2сп в сечении х = — ((2 фронты волн 1 и 2 встретятся и возникнет слоягная волна разрежения, котораяможет быть описана соотношением, аналогичным (21 14), 2й М ( й+1 т гп "„х 2п! [2 (2п+ 1)) д"-' [(Я2(гп+Ц1+«Р— Х,~ и-1 2(2«+1)(„[ (У2(2«+1)(+ + У1„) (78.49) дЦ д( дэ х=и( — —.
ди ' Закон двюкения метаемого тела, пока его не догонит правый фронт волны (78.47), будет описываться соотношением (78.7): у 2 (2« ( 1) дп-8 [(У 2 (2г+1) 1+«)8 — 2(2«+1) (п) (78.51) 2п1 [2 (2«+1)[" дйп ~ у'Г Давление на стенке будет меняться по закону, который описывается равенством (21.30).
Когда правый фронт волны (78.49) догонит метаемое тело, возникает новая сложная волна и закон движения метаемого тела изменится. Найти аналитическое выражение для этой новой волны не представляется возможным. Реальные системы, где газ может свободно истекать в одну сторону, применяются для метания относительно тяжелых тел(когда М/т ) 1); прн этом к моменту прихода фронта волны (78.47) к метаемому телу оно практически еще не успеет набрать сколько- нибудь заметную скорость. С большой степенью точности можно вообще пренебречь собственным смещением метаемого тела и рассматривать отражение волны (78.47) от этого тела, как от неподвижной стенки.
При этом, как мы знаем, отраженная волна будет характеризоваться выражением (21.14): 680 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ (ГЛ. Х11 Импульс в любой момент времени получим, производя вычисления, аналогичные тем, которые производились для получения формулы (21.31): Рн н о(н-ам) Рн( Ча [2(п — ад(2а)(! / Р ) он+о + 2о" с Пп а)( а([о (, Р р сп а — о н и о(н-а+1) + 2п + зрп С;( [2 (и — а))(2а)Ц [ 1 / Р ) оооо 2он с [(и — а)( а( 2 (п — а + 1)! [ (, Рн Отсюда О(Н-аа1) а =со н у [2(п — а))(2ад(2а+1)! / Р ') оны [(и — а)( аЦа ( Рн ) = о( Ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
