К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 105
Текст из файла (страница 105)
При горении, например, пороха можно считать, что «(Е Ит А — =Š— = — р, Ыс И» й — 1 — Р = Аи„=иип ~(/с — 1) +й|+(х+1)(ии')', (80.8) где, например, ип = Ыид/Ыхп. Далее, мы опускаем индекс «п». Решение этого уравнения не представляет труда; в самом деле, положим, что (х + 1) и' = г = с(и/с( 1п (х + 1), тогда уравнение (80.8) примет вид Ыи + и и (/с 1)~1+дат) ' его решение з = — + А — — (т1+ — ) и. А1 й — 12 тй 2 )«Здт) (80ЛО) где 9 — калорийность пороха, А = соней, и, как это часто дела- ют, приближенно положить а = 1; тогда для поверхности метае- мого тела будет иметь место уравнение 889 в во) ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В начальный момент времени г = 0; когда начинается горение и = О, г = (ди/и й) (х + 1), то константа А, должна равняться нулю, поскольку ускорение равно нулю, а величина г должна быть конечной.
Далее, поскольку г = Аи/й 1п (х + 1), то мы должны проинтегрировать уравнение пи и — (/ т г= з)п(х+О 2 (, звм! = А — — (1+ — и; (80.11) его решение при начальные условиях и = О, х = 0 имеет вид '=.'("А) и = — ~1 — ( — ) ~ . (80,12) (+ зем Далее, легко написать формулу, определяющую давление: М г 2 А р =Мии'=— Х (+— зем х 2 (1+ зем) (() (1 — ( — ) ~. (80.13) Аналиа этой формулы показывает, что при значении х)в = (1 + 7(()э давление достигает максимума и определяется выражением Рп тах = ( 2 ЗМВ (1 + Л ) (1 — У~, (80.14) М й — 1 Змаве тв I где (й — 1) (ЗМЕ+ т) 2 ЗМВ =еме+(а — () (змв+ )' " а — (зме+ В момент окончания горения величина АЕ)г7( обращается в нуль и закон движения становится таким же, как при расширении ранее покоящегося газа (з 78): 2ае„(а — П змв (х, +(Р4' /2~~'„(ь — () зме м зме+ ~х+() ( м зме+т и ) ' (8018) здесь р имеет значение, указанное в (80.14), Š— полная выделившаяся энергия Е„= т().
При этом необходимо знать величины ид и х, для момента конца сгорания, поэтому необходимо проинтегрировать уравнение (80 12), полагая в нем и = Ых /с(г. Интегрирование дает 690 [гл. хн МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ здесь х, = хД, причем при с = О, х = О. Зная положение метаемого тела в момент времени, когда горение окончилось, мы можем вычислить величины скорости и давления и, и р,. В том случае, когда закон горения более сложен, чем (80.7), численное решение уравнений ие представляет труда. В случае, когда метаемое тело относительно легко, т. е. когда М/т ( 1, возможно высказать некоторые суждения о методике расчета первой волны разрежения при медленном сгорании пороха. Рассмотрим закономерности горящего пороха, считая, что зерна несгоревшего пороха вовлекаются в движение пороховыми газами и движутся в каждом сечении с той же скоростью, что и пороховые газы.
Для этой цели напишем уравнение газовой динамики в координатах Лагранжа ($4) ди 1 др , дх + — — =0; — =и; дс Рв да ' дс (80 17) Ври Вра Последние два уравнения следуют иэ закона сгорания сст/ссс — р'. Зти уравнения дают дх (рр+ р,) = р ° (80 18) Здесь р„р„р, — плотность газа, плотность пороха(массовая плотность) и начальная плотность пороха соответственно. Примем, далее, а = 1 и изотермический закон горения а р арв (80.19) д'х др — + — =О; дп дСс ' (р р;) = в,р, ~ (80.20) где й = раа, Ва = Всв/рв.
Условие иа границе метаемого тела примет вид Ми = р= — М вЂ”. др дСс ' (80.21) где с, — скорость звука в газо-пороховой смеси; св = сопэ1. В ре- зультате некоторых преобразований можно прийти к такой систе- ме уравнений: 691 постепенное выделение энеггии $801 Условие на фронте волны разрежения: при х = — сед Й рх. (80.22) дО/д8 = р, систему уравнений Вводя новую переменную (80.20) можно написать в виде — + — „=В,О дх дд дс (80.23) или в виде дел д~р д~р — — =В дп даз з дс (80.24) (80.26) где дф/д1 = — О, дф/дв = х.
Решение системы уравнений (80.20) или уравнения (80.24) при условиях (80.21) и (80.22) можно получить или численными, или приближенными аналитическими методами. Нет необходимости, далее, искать отраженную от стенки волну, необходимо лишь найти закон движения фронта этой волны, что легко сделать, поскольку на фронте волны д, — — и+с, (80.25) а значения и и с известны из предыдущего решения. Определив момент и место встречи фронта отраженной волны с движущимся телом, далее уже можно применять найденные выше приближенные решения, основанные на гипотезе, что в среднем в отраженных волнах и = (х + 1)<р(1), р = р (1). Следует указать, что на фронте первой волны раарежения, там, где и = О, давление выражается следующим образом е): с'Вр = —, откуда — = е" ар р с'в~ с дс' Р Рассмотрим теперь некоторые закономерности медленного горения газа; в этом случае удобнее воспользоваться уравнениями, написанными в форме Эйлера, которые, как мы знаем, имеют вид ($ 4) д +и д + д —— 0; а, (1пр)+и)п(а )+ д — — О.
(80.27) Эти уравнения и уравнение энергии удобно написать теперь в таком виде: ди ди 1 др др др ди — +и — + — — =0; — +и — +р — =0; д~ дх Р дх ' д~ дх дх ' (8028) ар+и р + 7ср — = (Й вЂ” 1) р~а" + е) Этот круг задач в более общем виде и подробнее рассматривается виже в $82. 692 МЕТАПНЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. Х1! Двя определения характеристик этой системы мы, поступая обычным способом, придем к уравнениям — "+ с йи = (й — 1) ٠— = и+ с. (50.29) Поскольку — ' = й — Щ то й+- с Йи = йдф Р (80.30) Характеристики системы (80.29), как мы видим, не обладают интегрируемыми комбинациями, однако вследствие их очевидного физического смысла решения ряда задач методом характеристик не представляет труда.
Мы видим, что состояние газа, описываемое выражением й +сои = йд~, ди ди д1 д0 — +и — + — = —; д~ дх дх дх ' д~ д~ э ди (д0 д0~ . — +и — + с' — = й~ — +и — ~; дс дх дх ~дс дх) ' (~;) + и ( ~ ) + (й — 1) с' д— " —— й (й — 1) ( д, + и д ) . (80.32) Введем величины а = 1 — ф тогда система (80.32) в случае й = 1, с = с„примет вид В результате мы пришли к системе уравнений, которая может быть без особого труда проинтегрирована общими методами интегрирования уравнений газовой динамики (например, с помощью интеграла Римана). Особые решения этой системы находятся элементарно.
распространяется направо со скоростью йх/ЕС = и + с, а состояние газа, описываемое выражением сН вЂ” спи = йдф распространяется налево со скоростью Нх/й = и — с. При значениях й, близких к единице, что всегда справедливо для горения газа при значительных температурах, можно считать, что с = с„= = сонэк, причем с'„ЛТ„где Т, — температура горения, т. е. считать процесс горения и движения газа, пока происходит горение, иаотермическим. Тогда мы сразу же на характеристиках имеем интегрируемую комбинацию 1 ~ сии = ~ -(- сопзс, (80.31) где сопзс может быть без нарушения общности принята равной нулю. Для доказательства этого напишем уравнения (80.28) в параметрах и, с, й 693 $ во1 постепенное выделение энеРГии Положим, что а = а (и); тогда, вставляя а (и) в уравнения (80.33), будем иметь ди ди, ди ди ди св ди — + и — + а' — = 0; — + и — + —, — = О, (80.34) дс дх дх ' дг дх а' дх где а' = с(а/с(и; из сравнения этих выражений имеем а = ~ с„и + сопв1 = 1 — () + сопв1, (80.35) т.
е. мы пришли к соотношению (80.31). Подставим в первое урав- нение (80.34) значение а, тогда будем иметь д, + — д(и+си) =О; ди ди решение этого уравнения имеет вид (80.36) х = (и ~ с„) С + г" (и); отсюда следует, что решение 1 = ~ + ис„+сопв1, х = (и + с) 1 +г (и) (80.37) описывает бегущую волну, распространяющуюся направо, а ре- шение 1 = 1',1 — иси + совами, х = (и — с) 1 +г' (и) (80.38) — бегущую волну, распространяющуюся налево.
После того как процесс сгорания заканчивается, дальнейший процесс, связанный с движением (расширением) газа, уже не будет изотермическим; расширение газа будет подчиняться обычному адиабатическому закону р — р~. Для перехода от одного режима движения газа к другому мы должны сопрячь решения, справедливые для горящего газа и химически инертного газа (продуктов сгорания) на границе, где горение закончилось. Для этого требуется определить движение самой границы раздела между горящим и сгоревшим газом. Мы сейчас не будем рассматривать подробно общих решений для горящего газа в случае й = 1, поскольку метод интегрирования подобных уравнений при й = 1 нам уже хорошо известен, тем более, что главный интерес для нас будут представлять элементарные особые решения. Вместо сложных общих решений мы воспользуемся также приближенными простыми решениями.
Займемся теперь некоторым анализом особого решения. Прежде всего очевидио, что выражение (80.36) определяет скорость течения газа и, а выражение (80.35) сразу же определяет величину а = 1 — ф далее, пользуясь соотношением с,',8 1п р = да = с( (1 — ~), 604 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ, Х11 определяем величину сн )и Р = а + сопзь = 1 — Ц + сопзс; (80.39) н Рн так как а = ~ исн + сопз$, то +с„111 Р = + ым1.
рн (80.40) При всех этих вычислениях, как видим, нет необходимости знать даже закон выделения тепла ф за исключением случая определения 1 = а + 1) = () -+ си + сопз1. Точно так же закон тепловыделения безразличен для определения давления в горящем газе, поскольку 2 р = рсн. (80.44) Описанный изотермический процесс горения и расширения газа, разумеется, не будет пригоден для изучения всех случаев горения; можно считать, что в среднем для всего газа он будет выполняться при условии, что сначала какое-то количество тепла выделяется во всем объеме газа достаточно быстро, после чего давление везде становится р = рн ) р„а затем остальная часть выделяемой энергии (также по всему объему, но уже несколько неравномерно, больше там, где больше скорости истечения, т.
е. расширение газа) расходуется на преодоление какой-либо внешней работы, например на выталкивание инертного воздуха, который мог заполнить часть трубы до начала процесса. При атом в первой стадии процесса Д не должно зависеть от координаты х, а во второй — зависеть от х сравнительно слабо,но значительно изменяться со временем, Можно также, приближенно считать сн постоянным, пололгить, что при и = 0 р = (й — () рн ~ = р (1).
Подобный процесс, конечно, несколько идеализирован. Прежде чем перейти к описанию более общих закономерностей объемного сгорания, изучим еще одно точное решение исходной системы уравнений также для случая некоторого идеализированного процесса. Будем считать, что давление во всем объеме горящего и расширяющегося газа везде одинаково для данного момента времени и изменяется со временем, т.
е. р = р (1); тогда решение уравнения дви1кения будет иметь вид (80.42) х = и1 +Г (и). Перейдем к независимым переменным (1, и), что позволяет до конца исследовать предполагаемое решение, при этом основная си- 695 с зш постепенное выделение энеРГии стема уравнений (80.28) примет вид ~~ = 0; — (1и р) (с + г"' (и) ] + 1 = 0; (80.43) + —,, = (/с — 1) р— а<~ Отсюда следует, что А (и) с+ р' (80.44) При этом последнее уравнение (80.43) перепишется так: Ир СсР— +, = (/с — 1) —,—; А (и) а0 й с+У' с+У' й ' (80.45) решение этого уравнения имеет вид р= — ( ) +( ) ( ~(с+/с')~ ' — ~с(с, (80.46) ('+ "')' и+ Г) ссс причем, поскольку р = р (С), имеем — 0=э~~=('~'+ с~" 1 (с+~), =Ф(с, а), (80.47) й эс й с+У'/ (а — 1) А(и') что равносильно определенной зависимости (/ = (,) (с, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
