К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Вычисление и* представляет задачу огромной сложности; для этой цели придется рассмотреть движение пороховых зерен переменной (уменьшающейся) массы и переменной формы в неста- ционарном потоке газа, масса которого также переменна (возра- стает) . Выпишем теперь систему основных уравнений для произволь. ного случая движения несгоревшего пороха: дх до* , др др Рг дс +Ро дс +(и — и') — + — =О, дс дх ' (82 36) др др дх др дх — ' = — ' — = Ф(р;с) = — — ' —, дс дс да ' дс да дрогт' дрог дг с — = С7г — — РР—, дс дс дс дх Р = ССРг71 дс ' Система семи уравнений (82.36) является полной (если дано р = и*/и), поскольку она определяет семь искомых функций: и Рог, Р~ Р, роо, р„, х.
При этом пять уравнений являются диф- ференциальными, одно сводится к квадратуре и одно уравнение— алгебраическое. Эта система уравнений сводится к четырем: 708 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ Для Р = О, когда порох неподвижен, имеем [гл. хп ди др ди 1 др р, — + иро, + — = 0 или — + — — + до дх дО Зоо до и д дх д + — до ()и Роо) = 0; и = и, , 'до (Р„х,) =. Ог(Р'1); ао 1 д дч — — (Р,хо) = аоод — РРо — ° Ь вЂ” 1 дС до ' (82.39) Перейдем к некоторой детализации полученных уравнений. В классической внутренней баллистике закон горения различных порохов обычно аппроксимируют уравнением ю = ор (р) = А + Вр'.
(82.40) Считая, что ор (р) ор (р), и пренебрегая зависимостью р от будем аппроксимировать од (р) выражением такого же вида: оР (р) = А + Вр". (82.4$) Для ряда порохов оказывается, что А = О, ч = 1; тогда ф (р) = Вр, (82.42) что упрощает решение баллистических задач. Можно положить, что при горении пороха (даже при движении пороховых газов) поддерживается постоянная температура за счет реакции горения; тогда Р=ВоР (82.43 и = —,, — ', = р,р, (82.44) Р.й(+,—, = О, ди ди где В, = ЙТ„И мы приходим к простому уравнению, заменяющему значительно более сложное уравнение энергии. Из двух крайних гипотез о движении еще несгоревшего пороха более вероятна гипотеза, согласно которой порох движется с той же скоростью, что и газ.
В самом деле, в начальной стадии для реальной задачи внутренней баллистики, когда впереди газоаороховой смеси имеется метаемое тело, скорости малы, давления быстро возрастают, и массовая плотность пороха (частицы пороха) быстро убывает; при увеличении скорости газа эти убывающие по массе частицы вовлекаются в равновесное с газом движение. Лишь прн малой начальной массе метаемого тела в начальной стадии частицы пороха могут отставать от газа.
Покажем теперь, что даже упрощенная задача при соотношениях (82.41) и (82.42) не имеет аналитического решения. При ки = = и имеем 1 831 хАРАктеРистики УРАВнений ВКУтРенней ВАллистики 709 При ио = О имеем с/х д / дх 1 — д (Рг — ) =РР Р=Ворг сСС ' дС(,г да) (82.45) ди др ах ро — + — =О; и= —, дс да ' (КΠ— (Р— ) =МоР. (82.46) Иэ первого уравнения этой системы имеем и = дср/да; Р = дср = — Ро —, где сР = ср (С; а). ВтоРое УРавнение дает ср = д0/дС, х = д0/да, 0 = 0 (с, а).
При этом третье уравнение принимает вид — — = 3В,— дге дсе дср дсо дао о дс (82.47) Как известно, это нелинейное уравнение не линеаризуется ни в каких новых переменных и не допускает аналитических или особых и общих решений. В случае их = О имеем, исключая Р и заменяя и = дх/дс, Р— + Во — + ()Во — = О дх дсх др о дх да дн о да дс дс(Р да )=Ь ор. (82.48) Эта система не имеет аналитических решений. 9 83. Характеристики основных уравнений внутренней баллистики и возможный метод решения этих уравнений Приведем теперь основную систему уравнений (82.28) к виду — ~ 1 + 3 ( — — 1) ~ + и (1 — 3) — + — — = О, й 1 др дС ~ ~ Раг ) ! Рг Рог (83.1) дрог Сгр ди 1 Рог др — — + — — — = Иг. а-1 да А.1 р, дС (83.2) Для доказательства преобразуем уравнения систем (82.44) и (82.45). Прежде всего произведем замену: р, = р/В„тогда придем для случая и = и* к уравнениям 71О МЕТАНИЕ ТЕЛ РАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ.
ХП Здесь принято р = их/и = сопзс и заменено 1 (дх) 1+ ))( — ' — 1 )(и — х) О и — х О О и — и =О, О йр 1 Рг О ~1+()( р 1)~и+и(1 ~) '" Рог — г(с Рг р — ФОг— Рог и — х Отсюда имеем, что вдоль линий г р„~г + ьр (83.5) р( — — с ) ) имеют место соотношения и (1 — 6)— гр (83.6) +6(,Р' - ) др рг — (ь — 1)ч'О,— дс г ра, дх Далее вместо р, — подставлено р„, что сводит систему к трем г да уравнениям, определяющим и, р и р„. Напишем систему уравнений (83.1), (82.2) в форме Зйлера и соответствующие уравнения характеристик. Для втой цели от неаависимых переменных (~; а) перейдем к независимым переменным (О х); тогда система (83.1), (83.2) примет вид —., — И( — ) 1+ р( — — 1)~ ( — +и — ) + и(1 — 8) — + — — = О, др Рг Рг (83.3) дрог дрог ди др др рг — + и — = г)с; сор — + — + и — = ар~)„— (Й вЂ” 1).
дс дх ' дх дс дх рог (83.4) Аналогично тому как зто было сделано в $7, легко получить соотношения, имеющие место вдоль характеристических линий: $8З1 ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 711 Аналогично легко написать уравнения характеристик в координатах Лагранжа. При решении задач для уравнений в частных производных (Йли обыкновенных), зависящих от приближенно заданных функций, используется следующий метод. Решение задается в виде, содержащем произвольные постоянные (или функции) в таком числе, чтобы можно было удовлетворить начальными граничным условиям и аппроксимировать с достаточной точностью приближенно заданные функции.
Поясним сказанное примером. Допустим, что мы имеем обыкновенное нелинейное уравнение второго порядка: (83.7) е(у", у', у, ф(х), х)=О, где ф (х) — приближенно известная функция х. Пусть решение этого уравнения есть (83.8) у = 7 (х, ф (х), а„а„..., а„), где а„а„..., а„— постоянные параметры. После подстановки (83.8) в (83.7) будем иметь г" (7", 7', /, ф (х), х, а„а„..., а„) = О. (83.9) Начальные условия дадут два уравнения Р... (~ьз, ~д, 7',а, ф(х), х, а„а„..., а„) = О. (83ЛО) Уравнения (83.ТО) дают две связи между коэффициентами а„а„..., а„. Решая (83.9) относительно ф (х), будем иметь ф (х) = 5 (х, Ь„Ь„..., Ь„,), (83 г1) где Ь„Ьм ..., ЬР а — независимые параметры. Эти параметры нужно выбрать таким образом, чтобы функция $ (х) наиболее близко на каком-либо заданном интервале А, ( х < А, приближалась к заданной приближенной функции ф (х).
Указанный метод решения уравнений легко применить к решению задач внутренней баллистики. Рассмотрим вкратце классическую задачу внутренней баллистики в координатах Лагранжа. Пусть в цилиндрической закрытой с одного конца трубе (камора ствола) в момент времени г' =- О начинается одновременное горение пороха, занимающего пространство от стенки до метаемого тела. Начало координат выбираем у дна метаемого тела, координата стенки будет тогда — (, где ( — длина порохового заряда. При горении пороха начнет повышаться внутреннее давление в объеме, занятом порохом; под влиянием этого давления снаряд начнет двигаться направо. Налево побежит волна разрежения.
712 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ ИГЛ. Х!1 Сформулируем аналитические условия на границе раздела газо-пороховая смесь — снаряд и на фронте волны разрежения. На поверхности метаемого тела (при а = 0) должно выполняться соотношение дг да (83.12) где М вЂ” масса тела, г — площадь сечения канала ствола. На фронте волны разрежения должны выполняться такие соотношения: х=а= — т(~); и=О, (83.13) где функция т (г) определяет закон движения фронта волны раз- режения. Поскольку слева от фронта этой волны гаа неподвижен, то, решаем для него уравнение пиростатики, которое мы запишем в виде (83Л4) поскольку р = ВрТ„где Т, = сопз1, уравнение (83.14) можно написать в виде р — = ВТ,г. "Ил) (83Л5) ра При этом уравнение энергии удовлетворяется автоматически.
Так как на фронте р = р (Г) и раг = раг (Г), мы найдем гаг = = Г'/гр/р~„. Далее, поскольку на фронте этой волны ах/аг = = г(а/й = рог получим х = а = — ) р „1й = — т (с), о (83.18) что определяет функцию т = т (~). После того как фронт волны разрежения дойдет до стенки, а зто случится в момент времени г = 7, который определяется из соотношения 7 = т (7), возникнет отраженная волна разрежения. Ее фронт будет двигаться по закону ах аг — и+сг (83.17) .где с, — скорость звука в газе. Зная и и с, справа от падающей волны, мы сможем проинтегрировать уравнение (83Л7) при условии г = 7„х = х = — с и определить затем момент времени и место, когда отраженная волна догонит метаемое тело: 1 = 7 х = х.
Закон движения тела определится при интегрировании уравнения (83.12). Для решения поставленных задач необходимо выполнить решение основных уравнений для первой волны (особое решение) и для второй отраженной от стенки волны (общее решение). После отражения второй волны от снаряда возникает новая отраженная волна, которую будем аппроксимировать классическим способом, давно применяемым во внутренней баллистике. Будем изучать решения для случая, когда частицы еще несгоревшего пороха движутся вместе с газом (случай, когда () = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
