К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Если же объем ограничен стенкой, поставленной при х = — 1, то при 1 = О от стенки в сторону возрастающих значений х пойдет волна сжатия, которая моясет быть описана уравнениями и+ а1 = — (с — си), 2 х = (и + с) 1 + —, + Р (и + а1), (84Л9) причеи произвольная функция может быть определена из того условия, что при х = — 1, и = — О скорость тождественно равна нулю, отсюда ан сн 1 х = (и + с)1 + —, — 1 — — н(и+ а1) — — (и+ а1)а.
(84 20) Если ди/дх+ со в некоторой заданной области, то фронт втой волны будет двигаться по закону 2 асх х = — с„з — 1 —— — а 1 н 2 (84.21) В момент времени 1 = 1/2сн в точке х = — ( ), а + 4— 8) н и+аг = — (сн — с), 2 х = (и — с) 1+ — +Р(и+а1) (84.22) обе волны встретятся, и возникнет решение, которое может быть найдено, только исходя из общих решений системы (84.1). Оставаясь пока в рамках особых решений, легко рассмотреть случай, когда при х = О также имеется стенка, которая после взрыва не снимается; тогда 720 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ ~гл. хгы где г' (и + ас) определяется из того условия, что при х = О ско- рость равна нулю: и = О.
Очевидно, что ар аа е х = (и — с) Г + — + — "(и (- ас) — — (и+ ас)'. (84.23) Фронт волны разрежения движется, как и в первой задаче, по закону (84.16), следовательно, встреча двух волн имеет прежние координаты. Общие решения системы (84.1) могут быть найдены при любых и =- (2п + 3)/(2п + 1) и особенно просто при й = 3.
Однако поскольку политропу р =- Ара можно приближенно аппроксимировать политропой р = А,р — А„то наши выводы, полученные из общих решений для й = 3, могут не только качественно, но и до известной степени количественно быть использованы при анализе движения газа с произвольным значением й.
В случае й = 3 уравнения (84.2) примут вид — (и.+ с) + (и+ с) — (и +- с) + а = О, (84.24) откуда, обозначая и + с = а, и — с = р, будем иметь х+ —, = У,(а+ а1), х+ — = /,(Д+ ас). (84.25) Задавая ~, (и соответственно / ) в виде /1 = (и + а1)а~2а + + Р, (сс + аЮ), получим х=аЮ+ 2 +Р,(и+ай), х=рс+ 2 +г',(р+ас). (84.26) Волны и и р распространяются, как видим, независимо друг от друга.
Продолжим решение первой задачи. Разлет газа в этом случае описывается уравнениями (84.27) а + аГ = са, + 2 движение газа в первоначальном объеме — уравнениями (84.28) а + а1 = с„, р + аГ = — с„ волна, идущая от стенки,— уравнениями р+ а1 = — с„, (84.29) х = аХ вЂ” Х+ —, — —,а (а+ ай — с,) — — (а+ а1 — с„). Еа " За $88) ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 72$ В момент времени 8 = (/2сн в сечении х = — (с/2) (1 + а(/4сн), как мы уже знаем, обе волны встречаются и обраэуется новая волна, которая описывается уравнениями ас 3 8 х = а8 — с 4- —, — — (а + ас — с ) — — (а -с- а8 — сн), 2 2а н (84.30) х = ))с+— асс 2 При этих вычислениях существенно, чтобы значения дМ/дх или др/дх в волне (84.20) нигде в рассматриваемой области не стано- вились бы сколь угодно большими.
Для волны, идущей от стенки х = — (, имеем дн 'н 3 асс 2а 4а — =8 — — — — (а+а2 — с ) н ) если дх/да = О, то ас+ сн = 3х; отсюда находим За — ' сн ) (За — сн) сн 3 х= на — с+— а 2 а а — —" (2а — с ) — — (2а — с )' 2а н что определяет окончательно зас йи+ сн)' х= — — )= — )+ 2а За Необходимо, чтобы выполнялось неравенство йм+ сн)' аИ вЂ” 1+ " ~ )— )+ с,) — — ' За н отсюда 8 ( с„/2а, при этом должно быть сн/а ) (/2сн, т. е. (84.3$) аР х = с„г — — — с.
2 (84.32) Сопряжение волны (84.30) с волной (84.22) определяется уравне- нием х = — ~с„с+ —,, ) (84.33) в противном случае в волне появится раэрыв и она станет ударной. Сопряжение волны (84.30) с первой волной раарежения определя- ется уравнением 722 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 1ГЛ. ХН1 В момент времени 1 = с„/а [1 1 + 2ас/с~~ — 1) левый фронт вол- ны (84.30) достигает дна; при этом возникает новое решение ~ =2[~ 2 (*-~ С.~- 1 — Г 2 *~.
ан (84.34) Х = [11 + —, 2 Сопряжение волны (84.30) и (84.34) определяется первыми соотношениями уравнений (84.30) и (84.34). Можно показать, что эта линия сопрянсения не пересекает линию сопряжения между волнами (84.22) и (84.30), а загибается к стенке сосуда, причем образуется такая же волна (84.34); но в волне (84.30) образуется ударная волна, поскольку рано или поздно величина дсс/дх станет бесконечно большой; это произойдет при Зсз н 8а са са са Еа1 — сс = —,, р = —, — —" . (84.35) Еа' 2 ' Е са Появление ударной волны нарушает ход дальнейшего решения задачи, поскольку необходимо учитывать изменение энтропии и при этом пользоваться уравнением дд , дЮ вЂ” и — =О, дс ' дх (84.36) ~1+ ь(ь 1)Р~ (84.37) где г = с„'/а1 есть число Фруда.
После установления равновесия газ занимает объем ( — 1, Ь), а масса и энергия определяются вырансениями Ь ь М= ~ рЫх, Е= ~ р[а(х+1)+ ~с(х. (84.38) где о' = р/р~. Однако точных аналитических решений в этом случае найти нельзя, и здесь мы вынуждены прервать наше решение. Очевидно, ударная волна, взаимодействуя с волнами, лежащими правее и левее ее, будет порождать серию волн до тех пор, пока не наступит равновесие при 1 = со. Это состояние легко определяется.
До момента начала движения энергия была равна Е, = Мс'„/ //с (/с — 1), а включение поля тяжести добавило энергию Е, = = Ма1/2, где М = 1р„; таким образом, полная энергия системы равна 1 вв) движкния гйзв в постоянном полк тяжксти 723 Поскольку с' = 2а (Ь вЂ” х), св = 2а (Ь + !), где св — значение скорости звука у стенки, х = — 1, то М= — (1+Ь)рю Е=Ма(Ь+1) й 1) й 1). (84.39) Отсюда определяем Ь и рв из соотношений (2й — 1) (й — Ц !' 2Е 2(йт — 2й+3) (й(й — 1) 3 ' зй (й зй+ з) рв (84,40) р„(й — 1)т (2й — 1) 2 й (й — 1) Далее определяется йрст с' ст р ст а1(2й — 1) (й — 1) ) 2Р й — 2й+ з ) й(й — 1) + что в свою очередь определяет 2 с р = — а1р == —" аМ. ст й — 1 н !с — 1 (84.42) Это состояние равновесия должно, однако, вследствие выравнивания температур в столбе газа перейти в состояние теплового равновесия.
Высоту столба газа и температуру для этого состояния можно также подсчитать, пользуясь снова ваконами сохранения массы и энергии. Будем теперь рассматривать задачу об истечении газа из сосуда, в котором этот газ находился в состоянии адиабатического равновесия: св=с'„— 2ах, и=О, (84.43) а = У ст, — 2ах, р =- — т' с,', — 2ах.
(84.44) т. е. При этом мы, как и прежде, полагаем, что истечение начинается в сечении х = О в момент времени 1 = О. Тогда для первой волны разрежения имеем а= (I ст — 2ах, х= ()1+ 2 (84.45) а1+ а = 2ф2а (х + 1) + а' — )/2ах + ат. (84.46) Если сосуд ограничен сзади стенкой, поставленной при х = — 1, то в момент времени 1 = (У с'„ + 2а1 — с„)!а возникает отраженная волна а, которая находится из условия, что и вн О при х = — Ь Эта волна может быть описана уравнением 724 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХП1 Волна р сохраняется.
Граница волны разрежения движется по закону х = — (св4 + — /, а331 в . 2 / (84.47) Граница разлета, как очевидно, определяется соотношением а13 х=свт —— 2 (84.48) В момент времени 1 = с,/а 3 Св х= хшсх= —, 2а граница газа достигает наибольшего подъема, при этом и = О, с = О, а также дх/да = О, но дах/дс33 = — 1/а+ О, следовательно, поскольку и = 0 и с = О, то образуется не ударная волна, а слабый разрыв.
Очевидно, волна а будет сохраняться: 11 = '1' св~ — 2ах, волна () определяется из условия: при () = х(/С вЂ” ат/2 имеем с(х/Нг = и — с = р. Отсюда ар х = с с — —,, 8+ а2 = св. (84.49) Поскольку х + ра/2а = /3 (р + а1) = /, (с,), то /, (с„) = с'„/2а. Таким образом, р = — ~ св — 2ах. (84.50) Отсюда аг+ и = 21'2а1 + с'„+ с„= ат,,з (84.53) са х = — — — (1 — т ) св а 3 2а 2 (84.54) причем для данного решения выбираем наименьший корень. Решая совместно (84.49) и (84.54), найдем координаты встречи Отсюда следует, что во всей области волны, отраженной от верхней границы, имеем и =— О, с„= Уса — 2ах. (84.51) Точка сопряжения волн (84.45) и (84.46) определяется соотношениями 2ах + сса = с', а~ + а = 2 у' 2а/ + аа + 2ах — )/2ах + а*.
(84.52) $ 843 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 725 волн (84.46) и (84.50): х = — ~ 3 — н+ 2снтг — а1:з 1 = [2сн — у' с'„'+ 2ас), ~ = — '-[- —," = — 'у'са+ 2ас. 2 Аа а н После этой встречи возникает новая волна аг + а = 2)г2а (х + с) + аа — у' 2ах + ас. (84.55) Координаты точки сопряжения, движущейся направо, определяются уравнением (84.54). Координаты точки сопряжения, движущейся налево, определяются уравнением (84.49). Волна (84.55) достигает точки х = сн/2а в момент времени т„ определяемый уравнением (84.54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
