К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Основная система уравнений (82.30), (82.36), как мы показали в предыдущем параграфе, имеет вид — — =МР 1) да дрог до' до ди 1 др — + — — =0; до ро да (83.18) 1 д 1 РРог '1 дрог ди дх — г РР— РŠ— 1 до~ Рг / дО да' гда ог' Зададим искомое решение в виде х = Р(а;1) = дФ (а; о) да (83.19) Отсюда дР див и= — =— до дода (83.20) Эти решения должны удовлетворять таким условиям: при Р (а; 1) = Р (а; 1), где а = — т (1), а= — т(1), и= — 0; (83.21) кроме того, будем требовать, чтобы функция Р была ограничена во всем интервале рассматриваемого решения. Из первого уравнения системы (83.18) найдем д' Р = Ро дн (ф + г) (83.22) где 1 = 7 (1) — новая пока произвольная функция времени. При х = а = †т (1), т.
е. на фронте волны разрежения, дог' Р' а~ (83.23) Поскольку мы имеем в области покоя р — = Б7,1, "Иг) (83.24) 1 оо) хАРАктеристики уРАВнении Внутренней ВАллистики 713 714 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ игл. хи то из (83.23) и (83.24) определяем: при а = 0 (на границе газ— тело) имеем до Р = — Ро ди (Фо + ~) (83.25) где Ф = Ф (О; ~); при этом ди дои додо д'и дФо дО дд«о ди ди да (83.26) М ди Используя условие (83.12) — — = р, получим о до М до дФо д' — — — + — (Фа+1) =- О оро ди да др (83.27) или М даэо оро да — — + Ф, + У = а,~ + а„ (83.28) где а,и а, — произвольные функции. Таким образом, на функцию Ф (или на Р) мы накладываем три условия: два — для фронта волны разрежения и одно — из условия на границе газ — снаряд.
Поскольку р, = р,(а), то, вводя новую независимую перез Г менную$ = — ~ро о(а, придем к линейному уравнению — '+ Фо = Т (ю; а), где Т(8; а) = а,с + а, — У(г). (83.29) Решение этого уравнения, если а, = сопз«, а, = сопз«, имеет вид Ф, = — Т,(с)е «+ Т(г). (83.30) Далее иао ~~ е Т ($), (83.3() (83.32) При .х =- а и = О, Т, (г) = — е«, Ма оро Т,(О=О, что уже дает соотношение для выяснения вида функции Т, (~).
Далее, подставляя найденные решения в остальные уравнения, легко, используя предложенный метод, найти Тг (~) и Т(~) наилучшим способом аппроксимирующими эмпирический закон сгорания. 8 88) ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 715 Если ад и а, не константы, а функции от $, то поступим следующим образом. Основное уравнение (83.29), напишем в виде дю, — +Ф,=а,С+а,— /(8). д5 (83.33) Введем новую переменную г == еоФо, тогда уравнение примет вид — = ео(иод+ а, — /).
д5 (83.34) Решение этого уравнения: г = ~ ед(ад8+ а, — /) до$ — Тд(~), Фо = — е' дТд(8)+е ~~ед (ад8+ а,— /) Ы$~ . (83.35) отсюда Т (д) и ад = ад ($); ад = ад (з). Подставляя найденные решения в цепочку остальных уравнений, найдем эмпирический закон сгорания ид = и (ц а). В зависимости от величины соотношения М/лд, могут возникнуть различные ситуации. При М/лд ) 1 до выхода тела из трубы его может настичь отраженная волна разрежения, что изменит рея<иод горения, и т.
д. Однако здесь мы не будем дальше детализировать задачу ((56), гл. Ъ'). део део оро . доФо дх Далее находим х = — = — —; а =— да д5 М ' дадо дд и снова получим два соотношения для выяснения вида функций ГЛАВА Х111 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 4 84. Одномерные движения газа в постоянном поле тяжести ди ди дс дх — +и— дс дс дс дх — + и— '~ — ~'о = ) 2 дс й — 1 ди + —,сс — — О, (84Л) Здесь мы рассмотрим несколько задач, относящихся к движению газа в поле тяжести. Сначала мы рассмотрим одномерные не- стационарные движения газа в постоянном поле тяжести. Эта задача имеет принципиальное значение, поскольку она позволяет выяснить ряд интересных закономерностей, относящихся к более общим случаям движения газа в поле тяжести.
Далее рассмотрим одномерные неустановившиеся движения газа в ньютоновом поле тяясести, потенциал которого убывает обратно пропорционально расстоянию. Эта задача имеет важное астрофизическое значение, поскольку позволяет выяснить, хотя и в идеализированном случае, какая масса газа и при какой начальной энергии может покинуть навсегда тело, из которого она истекает. Мы исследуем также некоторые вопросы стационарного движения газа в различных полях тяжести, рассматривая как адиабатические, так и неадиабатические течения. Этот круг задач также может иметь прнлоскение в астрофизике. И, наконец, в заключение будет рассмотрена комбинированная задача, описывающая дальнейшее движение газовых масс, изверженных нз какого-либо вращающегося небесного тела.
Будет показано, что при определенных начальных условиях выброса небольшая часть изверженного газа остается около этого небесного тела, двигаясь вокруг него с большим моментом количества движения в сторону собственного вращения тела. Эта задача имеет важное космогоническое значение. Переходим к рассмотрению нескольких задач об одномерных движениях газа в постоянном поле тяжести. Будем исходить из уравнений, описывающих изэнтропические движения газа, состояния которого р = Ар"; напишем уравнения одномерного движения и неразрывности (2.г4) при и = О, градиентный член возьмем в форме (2.48): $88С ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 717 д I 2 д / 2 д — (и '+ ~ с с) + (и ~ с) д '( и -+ ц — с с) + а = О.
(84.2) Отсюда находим особые решения этой системы: и+ аС = пт — с+ сопзС. 2 (84.3) Подставляя (84.3) в уравнение (76.1), будем иметь д— ,"+('+с) д-+а=О (84.4) что дает второй интеграл системы х= (и-+с)С+ —, + Р(и+аС). (84.5) Найденные особые решения без труда обобщаются на случай поля тяжести, меняющегося со временем а = а (С); тогда (84.3) и (84.5) принимают вид и+ ~ ай =+.— с, 2 — а — 1 х = (и + с) С + С ~ а й — ~~ а й й + г"' ( и + ~ а й ) . (84 6) Рассмотрим теперь общие решения системы (84.1). Напишем ее для наиболее общего случая переменного во времени поля тя- жести, выразив член с градиентом давления через дС/дх и написав уравнение неразрывности в форме (2.21) при о = и = О ди ди дС д —, + и д— + д— + а(С) = О, (84.7) дС дх дх — +и — +сх — =О.
Введем переменную и= и+ )ай, тогда система (84.7) примет вид (84.8) дх ди дС вЂ” +и — + — =О, дС дх дх (84.9) где а — ускорение силы тяжести. Умножая второе уравнение на 2 а — с' —, складывая его с первым уравнением или вычитая его из первого уравнения, получим равенство, аналогичное равенству (13.6): 718 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (ГЛ. ХП1 Обратив переменные, придем к системе дх дс дС вЂ”. — и — + — = О, д( д[ дю д* дс , дг — — — =о. ~ дю дю+ д[ (84.10) Пусть теперь до) дф (84 11) до ' дю Тогда первое уравнение (84.10) удовлетворяется тождественно, а второе принимает вид доо[о дд д'о[о с' —. + —.
=— д[о д[ дю' (84.12) решение этого уравнения нам известно из 4 15: см. (15.33) д" го[ г 2 (2г+1)1+ю[+ го [ У2 (2г+1) [ — ю] (84 13) д(г-1 )гт (84 14) с=с„, и+а(=0, где с„— скорость звука в покоящемся газе. Истечение газа может быть описано из найденных решений: если истечение происходит в сторону положительных значений х, то на основании формул (84.3) и (84.5) имеем и+ аг = — (с„— с), 2 = д 1 н ан х=(и — с)1+ —, 2 (84.15) Фронт волны разрежения при этом движется по закону (на фронте с=с„н и= — а1) Х = — ~С„1+ — ), (84.16) гдей= —, г=0,1 2,3,...
2г+3 2г+1 ' Рассмотрим такую задачу: пусть в некотором объеме газа происходит мгновенный взрыв и продукты взрыва могут свободно истекать в одном направлении. Тогда задача может быть поставлена так: в моменты времени с ( 0 газ покоится, при 1 = 0 происходит мгновенное повышение давления (взрыв) и начинается движение всей массы гааа и истечение. Пусть истечение начинается в сечении х = О. Направим ось х в сторону ускорения.
Тогда движение всей массы газа под влиянием силы тягкести описывается уравнениями 1 зы движениЯ ГА3А в пОстОЯннОм пОле тЯжести 719 фронт газа [на фронте газа с = О, и = 2с„/(/с — 1) — ас) — по за- кону ан х= сн8 — —, 2 (84Л7) 2 сн В момент времени 14 = Ь 1 — при и, = О, с, = О газ достигает наивысшей точки подъема: х 2 'и хи1ах = (Ь вЂ” 1)х а (84Л8) Мы рассматриваем истечение газа в пустоту. Если объем газа не ограничен в сторону отрицательных значений, то написанные решения справедливы для любого интервала времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
