К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Фронт разлета газа будет подчиняться закону с = О, ю = = 2св/(/с — 1) = в„или г)х/г11 = и = в„— а1, откуда х = ов1— — агв/2; при 1 = в„/а, х = вв/2а газ достигает максимальной точки подъема и начинает падать вниз. При этом возникает новая волна, которая может быть просто найдена, поскольку в ней и=О, св =с,',— (/с — 1)ах. Вблизи точки и = О, с = О, например для /с = 5/3, будет иметь место асимптотическое выражение иг = (в„— о)/2 + — )/ва„+ 2в' — 2ова = в„— о + — .
(84. 78) 1 2в« он Рассмотренная задача имеет и практический и цринципиальный интерес, поскольку для первой же волны разрежения приходится определять обе произвольные функции Р, и г"„что в обычных аадачах нестационарной газовой динамики не встречается. В заключение надо отметить, что если бы мы решили задачу о движении газа с постоянным ускорением, то решения уравнений для этой задачи были бы эквивалентны (84.13), но начальные условия и система волн были бы иными, поскольку начальная плотность газа всюду одинакова *).
Представляет интерес рассмотреть в наиболее общем случае предельное состояние газа при тепловом равновесии. Поскольку при состоянии теплового равновесия мы имеем — = — сир = — ас)х, р = ЛТр, аю (84.79) Р где Т = — сопв1, то ВТГ) 1п р =. — а Нх, откуда ех (84.80) ,ят р э е ят «) Совместно с К. Джусуновым также решена задача об отражении волны раврежения от стенки. где ра и р„— плотность и давление в сечении х = О; полная мас- са, содержащаяся в столбе длины 1, площадь сечения которого Я = 1, определяется интегралом и = ра')е кт Их= — "(1 — е Яг).
(84.81) тр„ а Полная потенциальная энергия (внутренняя и гравитационная) определяется также интегралом а! а1 Е = 1)с„Тйт + ~ахрг)х = ВТ(ра ~ — — (1 — е ) — е а вт а — 1 а3 откуда следует, что Е = тпЛТ (84.82) Полная энтропия, рассчитанная для всей массы газа, определяется из выражения Ыр/р + Т ИЯ = й — йр = Т оЯ вЂ” а Нх; поскольку Ы (~ — ~р) = срдТ = О, то ЛЯ= — *, т ' (84.83) где ЛЮ вЂ” энтропия, рассчитанная на единицу массы; далее, оче- видно, полная энтропия равна ! Йл т р" ~)хе "г= тЛ) 1 кт ) ' (8484) о В том случае, когда нам заданы массы газа, его полная энергия и длина столба, т.
е. Заданы величины т, Е и 1, можно однозначно определить параметры газа р„и Т, а также его полную энтропию. Если газ занимает бесконечно большой объем () = оо), мы придем к следующим соотношениям: щ = —, Е = — глЯТ, Я = лгЛ, (84.%) ааа р причем температура определяется выражением (84.86) 732 ДВИЖКНИК РАЗА В ПОЛИ ТЯЖЕСТИ игл.
хпг В том случае, когда газ занимает бесконечно малый объем 1 = О, мы придем к такому результату: и ь е Ь вЂ” 1 8-1 где О = а1/ВТ вЂ” «О; отсюда следует, что Т Ь 1 (84.8?) Очевидно, в последнем случае температура идеального газа будет в а раз больше, чем температура газа, занимающего бесконечно большой объем. Перейдем к рассмотрению одномерного движения газа в ньютоновом поле силы тяжести. й 85. Движение газа в ньютоновом поле тяжести Будем рассматривать одномерное движение газа, подчиняющееся иззнтропе ,А'рз зз (85.1) в поле тяжести с потенциалом а СМ Ф= — =— х (85.2) Здесь М вЂ” масса гравитирующего тела, причем сила тяжести направлена по оси х. Тогда уравнения (84.24) примут вид В~-" — Х ) дд дф а — +3 — = —— дз дх хз (85.3) где и = и + с, р = и — с, ускорение дф1(х = — а~хз. уравнения характеристик а имеют вид 2 Г да ' — — = Ь„(+4 ~~ х С (аз — Ь1)з = Ьз.
Поскольку 4а~ аа а Г а — УЬ1 1 2УЬ1а = — — ~)п + —, (а' — Ьз)' з ~ а+ УГ ~ аз Ь, ь 1 $88) дВижение ГАЗА В ньютонОВОм поле тяжести 733 734 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ то, вводя обозначения (гл. хгп ),(а, х, хо) = [/ сов ~з(и, х, х,) = 1/ сзз ~.(,.) =у'" Еа 2а — — + х хо 2а 2а + хо , 1о(<~,х) «+ (85.4) общее решение можно написать в виде а ] а — )в(а, х) ах []з(а, х)]' а+)з(а, х) + []в(а, х)Р + Аналогичное решение имеет место для „й — ЬЕ, х) Ох []з(Р, х)]в " ]) + )в(8, х) + (]в(Р х)]з + в (Уз (Р' Н )' (85.5) (85.6) Поставим задачу: пусть при г ( О гаа находился в состоянии адиабатического равновесия, при етом из первого равенства (85.3), полагая в нем и = О н дс/д( = О и интегрируя его в пределах (х, хо), получаем с' = с'„[- — ' — — = [1(св, х, х,)[', (85.7) где с„ — начальная скорость звука в сечении х = = х„ х, — верхняя граница газа (рис.
10[). Начало координат выбираем в центре тела, в котором происходит рассматриваемый процесс одномерного движения газа (в трубе). Начальная область, занятая газом, на чертеже заштрихована. Отсюда следует, что в состоянии равновесия оз = — [) = [/ с„+ 2а ~ — — — ) = [)в (с„, х, х ))з. /, ~х хо Рвс. 10в. (85.8) В момент времени в = О в сечении х = х, начинается движение (разлет) газа; при атом волна а сохраняется. Волна р, удовлетворяющая условию: при г = О должно быть х = х, если рассматривать гиперболический случай, т. е. полах 2а.
гать, что при х-о со имеет место с = с„— —.> О, откуда следует, хо / ва что сх) [/ —, имеет вид хо ]п а Р— [в (Р, х) й(]), х, хо) +(з(Д, х) Дх — хо]з(]), х, хо) []з(Р хВв Р+]в ([), х) ]з(Р, х, хо) — ]з(Р х) (Уз(Р х)]' + 5 05) дВижение ГАЗА В ньютонОВОм поле тяжести 735 что дает а В(сн х хо)+/з('н хо) сн /з(сц "0) [/в (сн' хо) [ /з (сн' х' хв) /в (сн' хо) сн + 13 (сн* хо) "осн /з('н " "о)' [/з (сн, хо)р (85 [О) Пусть в сечении х = / находится стенка; тогда в момент времени /, который определяется из (85.[0) заменой х на /, волна разрежения достигает стенки и отражается от нее. Возникает отраженная волна 55 (волна р сохраняется).
Волну и ищем из условия, что при и = О должно быть х = й Она определяется соотношением а [ [/в(а, х, ()+/з(а, х) [зи — /в(а, х)/в(а, х, хо) — /в(сс, х) [/з(а, х)Р '[/в(а, х, )) — /з(а, х) [ а+/з(а, х)11(а, х, хо)+/з(а, х) п~ + + ах+ в/ (а ' хс) — 21/1(а'х')) (85Л[) [/в(а, х)Р Граница разлета движется по закону а /з (сц з хс) 10 (сн' хо) сн + /3 (сн' хо) [/3 (сн, хо)1' /з(сн, х *о) +/в(сц хо) сн — 10(сн, хо) х/1(св, х, хо) — хс + 1, (с, х ) (85.12) Линия сопряжения отрахсенной волны с первой определяется соотношением а 11(с, х, ))+10(сн, хо) 11(сн' х, хо) 1з(сн хо) [1 (с, *0)) 11(' ° хо ') — 1З(сн хо) /1(сн х хз)+10(с.
хо) с /з(сн' хо) хоан+ х/1(сн, й хо) 2//1(сн * В Разность временных координат границы разлета и фронта отраженной волны является постоянной величиной, и зта разность определяется значением времени прохода отраженной волны в сечение х = хо. В самом деле, положение границы разлета и фронта отраженной волны определяется одинаковыми функциями = /(х) + сопев, различны лишь сами константы.
Отсюда ясно, Фронт волны разрежения движется по закону, определяющемуся из условий: при и = О имеем сз = с„' + 2а ([/х — [/х,); отсюда / в 2а 2а [) = — 1; с + — — — = — /в(сн х хо) (85 9) х хо что при ! -о- ао разность координат границы разлета (хо) и фронта отраженной волны (х,) конечна и больше нуля. Рассмотрим асимптотические выражения для и и [) в отраженной волне при ! -о- оо. Очевидно, в конечной области первой волны содержится нулевая масса газа. Решения (85.8) и (85.11) существуют лишь при конечных значениях времени !.
При 1- оо, полагая /2а и= — [)= ь Х найдем, что 2 1 =З Уз, / 2а при 1) = — оо; [хо' — х~*1 (85.14) Гза при а= [! ! = — = [х *+ хо' — 21 '1 2 ( ад, о!о о1, 3 )/2а ! з — *!. Таким образом, координата х возрастает, как 1*)о. При х) ~ — )~2а1~ имеем и ) О, т. е. масса газа, заключенная в интервале 1/ с'„— — ! ) х ) )/ ( —, у' 2а!) ° не возвращается к источнику взрыва и навсегда покидает тело, из которого она истекает.
Остальная масса газа занимает объем некоторой конечной высоты. Очевидно, как зто следует из уравнений (85.8) и (85 11), в некоторый конечный момент времени в определенном сечении скорость становится равной нулю. Область, где и Вн О, увеличивается, возникает новая волна, ее левый фронт достигает стенки, отражается от нее, возникает новая волна и т. д. Правый фронт при ! - оо движется по вакону Таким образом, мы можем вычислить массу газа, покинувшего тело.
При х- со и 1-о. оа имеем из (85.8) и (85.11) соответственно: а 1 [/ !о (а, !) + а ) о !о (а, *о) — а ~! ао 1 ~ )о (а, !) — а / 1о (а, хо) + а ~ +ха — 21!о(а, )+хо[о(а, хо) а 1 а ао ао 2+ ао 736 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХП! хо1((и.ха) (1,(.,() + и [ 1.(.,0+.
1.(.,*.) —. (и (ио 10 (и, () — и 1((и, ха) — и ' где с — текущая скорость звука. Масса, покидающая тело, из которого она истекала, определяется выражением х, х, М = ~ р([ = — )~ с с[* = Рн (" сн х, Х1 х, Ри хо10(и ха) — (1((и, () + и 1 1((и ()+»14(и ха) — и 1 [ сн,)[ и иа 1((и, () — и)а(и, ха)+и [ »1 здесь х, = ('(, 0 2и)'*( ', хо = )(сн — 2а1хо, рн — начальная плот- » с 'I* -Ч ность газа в сечении х = х,. Отсюда н с Х1 Преобразуя зто выражение, найдем, что М = —" [ хос„— 11((сн, хо, 1) — 2 [(с2яхо+ 2 [12а1 + н 1((сн, хо, () — 10(сн, хо) с»+10( „, хо) 1 Очевидно, полная масса определяется интегралом хн Ха х хо)«х= — ~х1((с», хо1 х)+ и 1,(сии*,, х)+1,(с„,*,) ('и Мн — ~ 1((сна н ( Отсюда з» Г Мн = — ~х сн — [1((сн, н 1,(с, хо) 1,(' Из (85.19) и (85.20) хо, х)+ ХО' () 10(с хо) с + 10(с ' хо) 1 (85.20) имеем ЛМ= Мн — М = 2 ~2а — "[)(х, — )([[, си (85.21) 5 05) дВижение ГА3А В ньютонОВОм пОле тяжести 737 Отсюда и = х1( и 738 ДВИЖЕИИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ, Х111 где 1А1и — масса, падающая на тело, ее выбрасывающее.
Масса, уходящая яа бесконечность, определяется выражением (85.22) Поскольку плотность внутренней энергии газа равна е„ = сн/6, то при (85. 24) Ыи йи « й1 йх х1 ' (85.25) вся масса газа остается на конечном расстоянии от источника взрыва. Наиболее существенным результатом проделанных вычислений является установление факта, что при взрыве на поверхности какого-либо гравитирующего тела в том случае, когда мгновенная начальная скорость разлета головных частиц газа превосходит предельную скорость иню необходимую для того, чтобы эти частицы навсегда улетели от тела, определенное количество массы газа, находящейся ниже границы разлета, также может уйти навсегда от тела. Напротив, какова бы ни была скорость разлета головных частиц, всегда тыловые частицы будут иметь скорость ниже параболической инр и упадут на зто тело обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
