К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Ве- 1 дсс 1 дсс личина 1 й 1 д — а характеризует боковое ус(й — 1) г др й — 1 дс кореиие какой-либо частицы газа. В системе координат, в которой радиальная компонента скорости равна нулю, уравнения (87.1) с большой степенью точности будут описывать цилиндрическое расширение газа. г=д Ряс. 105. Как мы условились, сначала определим величину бокового ускорения в случае одномерного расширения газа. Как известно, процесс разлета ранее покоящегося газа в пустоту может быть описан двумя волнами, простой и отраженной от стенки или от плоскости симметрии, которую можно заменить стенкой, если газ разлетается в обе стороны. Начало отсчета координаты, которую мы обозначим через г, поместим у стенки, время будем отсчитывать от момента начала разлета.
В этом случае простая волна будет характеризоваться соотношениями (рис. 105) й — 1 с=с — — с. н 2 с — 1 Р— С= —, С (87. 2) ди — + дс дс — + дс дсс — + дс ди с и — + дг г дс с и дг г дс' с и — +— дг г д<р г й — 1 дг гс дс ис 1 дс* д<р + г + г(й 1) д~р дсс — + д(р 1 дс 2и с + — — + — + — с1д<р1 = О.
г д~р г г 750 ДВИЖЕНИЕ РАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (гл, хп! (87.3) г = 1 — с„1, достигает стенки и образуется отраженная волна, которая характеризуется для 5 7 9 й=3, 3, 3,7,...,1 уравнениями (21.14) 1 У 2(2н+1) д" 1 ((У 2(2п+1) 1+ и)'" — 2(2п+ 1)1н)" зп! (2 (зп ( 1))п д1п-1 (87.4) з — 1=и1 —— дф ди дф 1 = —. д1 здесь й =,, и =0,1,2,3,..., со, причем 2п+ 3 2п+ 1 з сн й — 1 (87.5) есть теплосодержание газа.
Фронт отраженной волны движется по закону — = з + с. (87.6) Поскольку из (87.2) мы имеем 2 /г — 1 2 й — 1 г= ( +с„) с= — с — — (87.7) = й+1 (, 1 ") й+1 й+1 то Ын 4нн 3 — й г — 1 — = — +— д1 й+1 й+1 (87.8) ИнтегРиРУЯ это УРавнение ПРн Условии, что г = О, пРи 1 = 11сн мы придем к уравнению, выражающему закон движения фронта отраженной от стенки волны: з — й Найдем теперь величину ускорения каждой частицы газа, движущегося согласно уравнениям (87.3).
Для этой цели перейдем к Здесь о — скорость движения газа, 1 — полудлина столба газа поперечного сечения, равного единице (илн длина сосуда, заполненного газом), сн — начальная скорость звука. И МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 1 = 11Сн фРОНт ВОЛНЫ РаЗРЕжЕНИЯ, ВОЗНИК- ший при разлете и движущийся по закону 1 271 нзВегжение ГАзоВых мАсс нз невесных тел 751 представлениям этих уравнений в форме Лагранжа.
Поскольку при этом (87.10) 2 — 2 2 с — 1 2 снс 1с+1 /1 — со~ 2+2 ( снс 1 2+2 — 1(, ) ( —,) . (87Л1) Это соотношение характеризует текущие положения частицы. Определим теперь значение скорости и ускорения частицы: заданной заданной ) "'1 1 — со ) о+2 сн1 Р=й= „1~1 — ( (87.12) 2 2 сн ( а=г=й= 12+1 1 — со ( (87ЛЗ) Фронт волны разрежения, отраженной от стенки, догоняет любую заданную частицу в течение конечного интервала времени, за исключением частиЦы с кооРДинатой 22 = 1; ДлЯ нее этот интеРвал времени становится неограниченно большим; после этого, как мы сейчас покажем, в волне, отраженной от стенки, величины ускорения становятся уже незначительными.
В самом деле, фронт отраженной волны разрежения догоняет любую частицу при условии, что " ('"')'" = 2 — 1 2 1с + 1 (1 — со ~ 2+2 ( 'нс ) 2+2 снс 1с — 1 1 1с 2 снс (87Л4) Отсюда с,со 1 1 "+1 ( ' ~ "+2 (87 15) 1с — 1 1 — со А — 1 (1 — со) где 12 и 22 — момент времени и координата, при которых фронт волны догоняет данную частицу гс. При атом величины Р = из, то, интегрируя это уравнение при условии, что г = го = 1 — сн1, где зс — координата начального положения заданной частицы, мы придем к такому соотношению: 752 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (ГЛ.
Х111 а = а2 определяются соотношениями 2 (2 — 1) 2 ~4 (~ — 22) 1+1 ~ 22 — 1 2 нн (1 ( 22) 2+1 Ь-(-2 ( ') 1 22 нн (87 тб) (87Л7) Плотность в простой волне определяется соотношением 2 2 2 (87Л8) 2 (2 — 1) Рн н В отраженной волне предельное распределение е и р при ~ — и оо определяются соотношениями, следующими из (87.4): Р = 1 ~(Ь вЂ” т с")' — н'1", (87.20) где (2н)( Мн = (Є— НаЧаЛЬНаЯ МаССа Гаэа ДО ИСТЕЧЕНИЯ, РаССЧИтаННаЯ на единицу площади. Поскольку при этом ()г/()1 = е = г('1, то е = )) (22), что свидетельствует об инерциальности движения.
(При (-~ оо давление р -~ О.) В представлении Лагранжа уравнение неразрывности, как известно, имеет внд дн Р = — = Рн1 д22 (87.2$) поэтому подставляя в (87.22) значение р из (87.20), будем иметь (87.22) где р„— начальная плотность газа. В момент, когда фронт волны догоняет частицу, имеем $ От) изВеРжение РАВОВых ИАсс из невесных тел 753 что дает распределение ЗО = ЕО (Р) в виде ЗО = „, ~~(~, 1 Са) О Из (87ЛО) имеем О+О (87.23) (87.24) Преобразуя (87.23), будем иметь О М (2в+ 1)! ( (4 ОО)О (О (В!)О 2О" ) О О Ь вЂ” 1 О О и где О = —, —; здесь ~(1 — О )" дО есть известный интеграл В с О (87.25) Уэллиса.
Из этого соотношения следует, что распределение скоростей (87.25) мало отличается от распределения (87.24). Таким образом, мы будем в дальнейшем пренебрегать дополнительными величинами ускорения, которые испытывагот частицы в отраженной волне; тем самым условия задачи становятся менее выгодными в смысле определения максимальных моментов. Почти аналогично решается несколько более сложная, но более реальная задача о боковом разлете цилиндрического объема газа. Решение этой задачи невозможно в аналитическом виде и мы его здесь проводить не будем.
Из теории неустановившихся движений газа известно, что при разлете цилиндрического объема газа фронт отраженной волны разрежения будет достигать какой- либо частицы несколько позже, чем в случае одномерного разлета, поскольку плотность и скорость для какого-либо заданного интервала времени в любом сечении г в случае цилиндрического разлета меньше, чем в случае одномерного. Следует еще заметить, что в случае цилиндрического разлета в первой волне разрежения ускорения несколько больше, чем в случае одномерного разлета, но убывает ускорение со временем быстрее, зато в отраженной волне разрежения, поскольку в ней давление больше в центральных областях, будут также действовать силы давления, приводящие к дополнительному ускорению частиц.
В среднем зависимость ускорения от времени и координаты частицы будет приблизительно такой же, как и в случае одномерного разлета. Следует заметить, что предельное состояние движущегося Раза в обоих случаях приводит к одинаковому распределенисо масс газа по скоростям. В самом деле, это распределение 88Н извегженне ГА30Вых мАсс из неБесных тел 755 где у = д~р/дг при г = [р/(1 + 1))т, причем р — параметр орбиты, то неравенства (87.28) можно написать в виде Р з а 2СЛХ г оа = — ~г„из+ эа( †. 4~ гт (87.31) Для простоты положим 1 = 1, тогда (87.32) что несколько усиливает последнее неравенство, приводящее к некоторому уменьшению массы газа, движущегося по искомым орбитам.
Введем теперь предельную (параболическую) скорость и~„ необходимую для того, чтобы тело, улетающее от Солнца, ушло от него навсегда: 2СМ юе = го (87.33) Тогда окончательно оба неравенства можно написать в виде — гана~ )геи>е, ит'+ иа'< — "' иге. (87.34) Интегрируя уравнения моментов, мы придем к выражению ь гана — гене = ()га й, (87.35) где аа (87.36) *) Под постоанной скоростью иа следует понимать среднюю скорость ва всем интервале двнження гааа.
гене — начальный момент на поверхности вращающегося Солнца, и, — скорость на его экваторе, 1, = (1 — ге)/с„— время начала деиствия ускорения. Рассмотрим теперь такую задачу. Будем считать, что радиальная компонента скорости в течение рассматриваемого интервала вращения постоянна: и = и, *), тогда, поскольку г = ге + ирь, 756 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХП1 соотношение (87.35) примет вид 2 Г/ ~ — хо '1 и+1 Гхаз ГОВНО Н вЂ” 1 Цох,) гос„Ц( — /1 — 11+ и + ио(1 22) )1 — (~ ) (87.37) Подставляя вместо /2 величину Р/со (/ — го), придем к соотно- шению 2 (» — 1) )хах гозо н 1 гого~( ) ) 1~+ +и (1 — 2~)~1 — ~ ) + 1, (87.38) при этом принимается, что з ( О и что угол ф уменьшается со временем.
Анализируя найденный результат, следует особо отметить, что частиЦы газа с кооРДинатой зо = 1 испытывают в момент вРемени 1 = О бесконечно большое ускорение, а далее движутся лишь под действием силы тяжести. Частицы О ( эо (1имеют всегда конечные УбываюЩие со вРеменем УскоРениЯ. В пРеДеле пРи зо — ~ 1 время действия силы, приходящейся на единицу массы, неограниченно возрастает. Используя первое неравенство (87.34), придем к результату 2 (н — 1) 2 — Н 2 Г // — хо') и+1 (87.39) го 2 ~( го/ло ~/ Г мо (87.40) Таким образом, для эллиптических орбит, ие пересекающих поверхность Солнца, угловой момент количества движения должен Поскольку для типичных мощных взрывов, приводящих к истечению части газа на бесконечность, величина 2с„/(/х — 1) = = йо (близка к юо), то всегда можно найти такую величину хо = = 1 — /„где /1 ( 1, что при хо ) хо газ будет двигаться по орбитам, не пересекающим Солнце. Условие эллиптичности орбиты 1< 1 дает и, '+их()лого/гх; отсюда следует, что ИЗВЕРЖЕН)1Г ГАЗОВЫХ МАСС Из НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 757 1 27) лежать в пределах 2 зюга ), га Гои)о ~~ Гоиз '~- Гаи)о ~)г „, ~1 г 2 / ° го йа (87.41) ПРенебРегаЯ пРи 4 — го ( 4 относительно малыми величинами ) — 24 — Гого И СЧИтаЯ, ЧтО иа иС и72, МЫ придем к неравенству 2 (6-4) ае) 2 2 га 4 — за ) «(Го(Р— ° га 2 2 Заа ) Гоиз = иоа (87.42) Поскольку Га иа ( — =1+ — —— Го С, Га ( — За (87.43) то Га иа (87.44) Го С Га ( — За Н Из (87.42) и (87.44) имеем 6 — ЗЗ (87.45) что определяет наибольшее возможное значение го = г„при котором орбита еще эллиптична.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
