К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Следует сначала отметить, что при движении среды в постоянном или во внешнем поле тяжести мы придем к результатам, только что полученным для сплошной среды. Необходимо рассмотреть движение дискретной среды в собственном внутреннем поле тяжести. Рассмотрение начнем для случая, когда в каждой точке пространства скорость может иметь два значения: и, и ио.
В этом случае задача сведется к решению следующих уравнений: дид дио — = — = К' дс дс (89.23) б = е (М Мд)' Рд = — Р = Рд + Рд = Ро ~ 2 — + д- ро Рд= о, причем величины сдд и сдо суть якобианы: д (а, у, о) д (и, у, с) д (ад, Ьд, сд) ' д д (ао, Ьо, со) где ад, Ь„с, — лагранжевы координаты частиц, имеющих значения скорости и,; а„Ь„со — то же для скорости и,. Для частных случаев центрально-симметричных движений система уравнений (89.23) сведется к системе (независимых переменных будет трн: с, М„М,): дид дио С (Мд+ Мо) А дс дс % Мд=М.(г.д), М,=М,(г,д); р 1 ро 1 р 1 1 — = — — +— ро дг ' ро дг ' ро дг дг дгод дгод дгод дскб (89.24) Здесь число независимых переменных равно трем: с, М„М,.
Перейдя к независимым переменным (г, М„М,), пишем систему (89.24) в виде д(ид] д(ио) 2С(М ( М) дг дг г~ откуда ид — — йд+~(Мд, Мз); (89.25) 1 дс и дс дгод дгоо ~ 1 22) двнжкнив Раагкженной сеиды в полк тяжкстн 779 Приближенное решение последней системы не представляет прин- ципиальных трудностей: 2 2 2САМ и = +— Ф вЂ” 1 2 2 2САМ "=" +У 1 ( 1 1 и 1 2САМ 1-12 2 Г01; 2) + и01; 2 Аналогично находится решение для)2' = 1. Здесь М = М, + М,. Для примера рассмотрим случай одномерного движения, когда один поток среды проходит через другой. Выберем следующие начальные условия; при 1 = 9 г = гоз, пз = и„(х„) для одного облака и г = г„, из = иоз(хоз) — для другого.
Тогда и„'— йзо — 8бз И1+ Мз) (х — х,п); из — йо — — — 86 (М1+ Мз) (х — хоз); 2 2 ио1 и 2аСМ хе — х+ 8яСМ хоо — и+8лСМ хлСМ + (89.27) + т(2о1 хоз). Далее определяем плотность Ро , лм, — и О1 Ыхо1 + Мз)2 1 (89.28) ииоз 1)М2 2222 — Мз — из О1 Нзм 1ИХ2 1 — 2лС, 12 + 202 8кС (М1+ Мз) Очевидно, что при определенных начальных условиях в моменты времени Х, и Хз гМ1 2иС— 1)ЗО1 (89.29) )Мо 2яС— Н.ооз 01001 2001 2) зо1 1 — 2яС вЂ” М + 2)зо1 8лС (ЛХ1 1 ) (Ах = О, 2). (89.26) 780 пРЕДБЛьнОЕ ДВИЖение РАЗРеЖеннОЙ СРЕДЫ 1гл. х1Ч полученная плотность может стать неограниченно большой (или, учитывая р, просто большой). К подобному выводу можно прийти, рассматривая и один поток, однако при взаимодействии двух потоков зти случаи более вероятны.
Через некоторое время два потока могут разойтись. В самом деле, пусть им = О, а им = иэ = сопэ1, тогда мы будем иметь, Рзс. 108. считая, что при 1 = 0 плотности обоих потоков были везде оди- наковы (р = р,): 1 Р ЗЗСРо (89.30) После момента времени 1, с с„когда плотность станет весьма большой, решения перестают быть точными, поскольку необходимо учитывать давление. Выбрав начальное расстояние двух потоков и скорость и, так, чтобы время сэ было меньше собственного времени сжатия второго потока (в данном случае это всегда возможно), мы придем к тому, что после расхождения двух потоков останется область среды повышенной плотности.
Этот факт может быть распространен и на случай пространственного движения газа и имеет важное космогоническое значение (рис. 108). В том случае, когда в каном-либо объеме пространства могут находиться частицы, имеющие различные скорости, например звезды, следует применять законы статистической физики для того, чтобы рассмотрение задачи движения этих частиц было наиболее общим.
Известно, что, изучая динамическую систему, состоящую из и материальных частиц, массы которых могут быть различны, поведение этой системы удобнее всего отыскивать с помощью фазового пространства бп измерений, считая, что каждая частица характеризуется тремя координатами х, у, г и тремя составляющими скоростей и, Р, и или импульсов. Вводя в качестве обобщен- з вю движкник газгкжкннои сгкды в полк тяжксти 78т Отсюда имеем п а + Х ~ а й + а Р' ) = О.
(89.32) т дд Поскольку уравнение движения можно написать в форме Гамильтона Р.= Ч= дН . дН ад. аг (89.33) 3 то уравнение неразрывности (89.32) примет вид (89,34) где Н вЂ” так называемая функция Гамильтона рассматриваемой системы частиц. Поскольку функция Гамильтона, рассчитанная на единицу массы, есть и'+ г~+ ю~ Н=, — ~р(х,у, г), (89.35) где ~Р ЯвлЯетсн потенциалом гРавитационного полЯ, а Р,.
= ии то дт —, /дт дт д(р т дй 23 (дх. ' ди дх ) В (89.36) ных координат гамильтоновы координаты ум да " Ч Рг Рю Р где д; — координаты, Р; — импульсы, можно сказать, что состояние систем полностью задано для фиксированного момента времени г, если определена точка с координатами д,...д„, р ... Р„в этом пространстве. Очевидно, что число точек (частиц), расположенных в интервале пространства дн д,.
+ Ыд,. и имеющих импульсы, лежащие в интервале р„р, + Йр,, определяется соотношением Л" = ~Р дГ = ~Р дд ЫР = ф ад, Йд,...г(д„йр, Йр,...йр„, где пà — элемент объема фазового пространства, ф — плотность точек в фазовом пространстве. Очевидно также, что полная производная плотности точек фазового пространства по времени должна равняться нулю, как этого требует закон сохранения массы — „~ =$=0. (89.31) $901 РАВнОВесное сОстОЯние ГРАВитиРРюшей сРеДы 783 Из (89.39) и (89.38) собственно и получаются обычные уравнения газовой динамики. Мы видим, что воаможны два подхода к решению аадач теории дисконтинуума.
Во-первых, можно польаоваться классическими уравнениями газовой динамики, а во-вторых, можно использовать методы усреднения статистической физики. Методы газовой динамики более удобны и позволяют решать большее количество задач в явном виде. Однако, когда в каком- либо объеме пространства мы встречаемся с несколькими значениями скоростей, ввиду многозначности задачи можно использовать и уравнение Лиувилля, задавая или гравитационный потенциал ~р, или функцию 9Р, определяющую плотность частиц в фазовом пространстве, при этом решение задачи не будет являться точным; функцию 9(~ для квазиустановившихся движений берут обычно из наблюдений; так поступают, например, в звездной динамике.
Нам представляется наиболее целесообразным использовать все же методы газовой динамики, разбивая систему движущихся частиц на две подсистемы, каждой нз которой в заданном объеме пространства присуще только одно значение скорости; при этом ряд задач может быть решен сравнительно просто и вместе с тем более точно, чем при простом усреднении скоростей без разбиения системы на две.
Здесь мы наметили лишь основные пути исследования. Для упрощения решения имеет смысл систему уравнений использовать для решения различных задач в различных системах координат— цилиндрической, сферической. Написание соответствующих уравнений в укаэанных системах координат общеизвестно. Наиболее целесообразным, как мы уже неоднократно указывали, является использование лагранжевой формы уравнений. 5 99. Равновесное состояние гравитирующей среды Гравитационное сжатие среды, находящейся в первоначальном разреженном состоянии, может привести, в конце концов, в случае большой массы этой среды к образованию сравнительно плотного сферического тела. Укажем, что в случае тел малой массы, обладающих относительно большой кинетической энергией, подобный процесс формирования тела может и не произойти.
При сжатии частицы среды, проходя через центр тяжести в случае большого разрежения, не будут испытывать заметных соударений и смогут снова удалиться в симметрично противоположную периферийную часть тела. Это очень хорошо видно нз уравнений предыдущего параграфа, описывающих сжатие сферического объема среды и процесс одномерного сжатия плоского облака. В самом деле, например, в случае сжатия плоского облака при 784 НРедельное движение РАзРеженной сРеды 1гл. Х)1ч условиях, что и = О, р= ро = сопз1 прн 1 = О, мы приходим к следующему уравнению: х = хо(1 2ябро1'). (90Л) Из этого уравнения видно, что в момент времени 1 (90.2) частицы проходят через плоскость симметрии, в момент времени 1 1= =21 у 2лср~ (90.3) 1 — агаб р = 9габ ~р = д. Р (90.4) уходят на максимально возможное расстояние от плоскости симметрии, после чего задача решается снова при тех ясе условиях.
В случае более плотной среды при сжатии среда может уже приобретать свойства континуума. В центральных областях среды заметный рост давления, в конце концов, совершенно изменит первоначальный характер двнхоення. Очевидно, при этом вследствие соударения частиц в центре илн в области симметрии возникнет ударная волна, фронт которой будет распространяться от центра к периферии (з 67),при этом произойдут необратимые потери кинетической энергии, которая перейдет в тепловую, что еще больше будет способствовать гравитационной конденсации этой среды. За фронтом ударной волны в областях, близких к центру, среда придет практически в состояние покоя, причем область покоя будет распространяться вместе с ударной волной от центра к периферии.
Во всяком случае, за фронтом ударной волны скорость движения частиц среды будет значительно меньше, чем до него. Таким образом, можно сделать вывод, что крайне разреженная среда будет испытывать периодические колебания около собственного центра тяжести. В случае менее разреженной среды возможно появление центральной плотной области, что приведет к затуханию колебаний. Ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Представляет значительный интерес исследовать равновесное состояние, которое может принять среда. Мы будем рассматривать как разреженные (газовые) среды, так и твердые, Для этой цели следует воспользоваться уравнением равновесия произвольной среды в собственном поле тяжести.
Это уравнение можно получить из уравнений (88Л), полагая скорость движения частиц среды равной нулю, получим 1 901 РАВКОВеснОе состояние ГРАВитигчющей сРеды 785 Поскольку Ьр = — 4лбр, (90.5) то, применяя операцию й(ч к обеим частям уравнения (90.4), придем к результату й1ч ~ — Г + 4лбр = О. г ягайр 1 Р (90.6) Вводя величину теплосодер>кания й = йр!р, найдем, что й(ч ягай 1 = М = — 4лбр = Л~р, (90.7) откуда (90.8) 1 ='р — Фо где, в частности, ~ро =- сопИ.
Обычно полагают, что давление является функцией плотности в какой-то зоне среды, находящейся в равновесии: Р =АР), (90.9) поэтому р = р(1) и Ь1 = 4л6р(1) = — О. (90ЛО) (90.11) Р— Р('Р Чо) применяя операцию Ь к обеим частям равенства (90.11), будем иметь Ьр = р Ьр = — 4лбро. (90.12) Это уравнение определяет зависимость р от координат в случае несжимаемых тел. Очевидно, что практически любая среда, имеющая достаточно большую массу, находясь долгое время в состоянии, близком к состоянию гидростатического равновесия, должна приобрести сферическую или близкую к ней форму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
