К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 117
Текст из файла (страница 117)
(87.72) (гл. хгы движвник газа в полк тяжксти Мы видим отсюда, что до извержения масса М = М, + М, обладала моментом количества движения Мгагю причем удельный момент, рассчитанный на единицу массы, был а,г;, после процесса расширения изверженного газа при указанных условиях около Солнца осталась масса ЛМ, обладающая моментом Мкзг„равным начальному моменту всей изверженной массы; таким образом, удельный момент для оставшейся массы гзМ/ЛМ )) э,.
Зта оставшаяся масса, как мы уже указали, будет двигаться около Солнца в сторону его собственного вращения. Для того чтобы при помощи указанного механиама объяснить большой удельный момент планет Солнечной системы, который почти в 8000 раз превосходит удельный момент солнечных масс, мы поступим следующим образом: предположим, что Солнце в стадии, когда оно могло извергать большие массы газа, имело радиус В* и массу М~. Тогда удельный момент для масс, движущихся около Солнца в сторону его собственного вращения, будет ~26М'Л' = 8000 гогав где гяь изъ — радиус современного Солнца и экваториальная скорость вращения.
Отсюда следует, что поскольку предельная скорость для современного Солнца равна 600 км/сея, а гззз = 2 км/сек, то )/26М~Л" = = 8000/300 Р'2М~уг~, где М~ — масса Солнца. Следовательно, ° * 6400 МОГО 9 (87.73) Таким образом, предполагая начальную массу Солнца в 10 раз большей, чем современная, и начальный радиус в 70 раз больше современного, мы получим удовлетворительное согласие между удельным моментом изверженных им масс и удельным моментом современных нам планет. Рассмотрим дальнейшую судьбу масс, изверженных звездами или Солнцем.
В течение определенного времени благодаря квази- стационарному выбросу вещества из Солнца около него будут постепенно накапливаться, как мы показали выше, газовые массы, движущиеся по различным траекториям с различными эксцентриситетами, но преимущественно в сторону вращения Солнца. Благодаря убыли солнечной массы размеры орбит будут увеличиваться. Рассматривая более общий случай извержения газовых масс из Солнца, а именно случай, когда после расширения газовые массы будут двигаться около Солнца в противоположных направлениях (по вращению и против вращения Солнца), мы придем к выводу, что лишь избыточная масса, которая будет двигаться по 8 871 ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 765 орбите с большей полуосью, чем вся остальная масса, не упавшая на Солнце, практически не будет взаимодействовать с этой остальной массой.
Массы гааа, двигаясь по противоположным, в смысле направления, орбитам, будут, соударяясь друг с другом или иным способом, обмениваться своими моментами, что приведет, в конце концов, к их падению на Солнце. Оставшаяся масса будет обладать значительно ббльшим удельным моментом, чем в разобранном выше примере, когда около Солнца сразу же оставалась только избыточная масса. Поэтому начальная масса и радиус Солнца, необходимые для образования современных планет, могли быть меньше, чем вычисленные выше для объяснения относительно больших кинетических моментов этих планет. Массы газа, остающиеся около Солнца, расширяясь по закону более сильному, чем изэнтропический, вследствие необратимых потерь энергии могли затем гравитационно объединяться и образовывать планеты.
Как мы видим, сделанные нами газодинамические вычисления помогают объяснить одну из важных стадий образования планет, а именно объясняют возможность выброса Солнцем масс вещества, обладающих весьма большим моментом количества движения, если принять гипотеЕ извержения планет из Солнца, но и помимо этого данные здесь соображения представляют вообще интерес для космогонии.
Концепция, лежащая в основе проведенных расчетов, не является твердо установившейся, но и при ином механизме образования планет, например при их совместном образовании вместе с Солнцем из единого газопылевого облака (Я 91 и 92), механизм извержения помогает объяснить распределение моментов объектов Солнечной системы, различно удаленных от Солнца. ГЛАВА Х1Ч ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ И ОЧЕНЬ ПЛОТНОЙ СРЕДЫ 9 88. Решение основных уравнений газовой динамики для разреженной среды Изучение движения разреженной среды, особенно в поле тяжести, создаваемом этой же средой, представляет значительный интерес для некоторых разделов физики и, особенно, астрофизики.
Как известно, пылевая и газовая среда, заполняющая мировое пространство, весьма разрежена, ее плотность колеблется в пределах от 10 ш до 10 м г!см и, может быть, еще меньше. Очевидно, при таких малых плотностях длины свободного пробега частиц этой среды, т. е. расстояния, проходимые частицами между двумя последовательными соударениями, весьма значительны, поэтому давление среды практически равно нулю. Для изучения движения пылевой или газовой среды, находящейся в крайне разреженном состоянии, можно применять основные уравнения газовой динамики, учитывая собственное поле тяжести этих частиц, полагая, что давление среды равно нулю.
Мы рассмотрим таниное некоторые основные закономерности движения и менее разреженной среды, имеющей заметное внутреннее давление, которое, однако, все же мало по сравнению с другими действующими силами в среде. В этих случаях рассмотрение движения частиц среды удобнее всего проводить в координатах Лагранжа, поскольку эта среда является дискретной (рассматривается как дисконтинуум) и нас интересует движение ее отдельных частиц. Здесь мы рассмотрим несколько задач, имеющих конкретный характер; результаты этих задач могут иметь космогонический интерес.
В этой же главе мы рассмотрим задачу о равновесном состоянии плотной среды, а также некоторые основные закономерности движения очень плотного газа. Начнем с изучения давления различной среды. Прежде всего выпишем основные уравнения газовой динамики, учитывая собственное поле тяжести среды с потенциалом ~р как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа для прямоугольной системы координат: 767 1 881 РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ а) в форме Эйлера (2.13) ди ди ди ди 1 др дф — +и — + с — +иг — + — — = —, дг дх ду дг р дх да дс дс дс дс 1 др дф — +и — +с — +ю — + — — = —, до дх ду дг р ду ду ' ди дм дх ди 1 др дф — + и — +с — +иг — + —— до дх ду дг р дг дг др др др др ( ди дс дм( — +и — +г — +иг — +р( — + — + — )=О, дг дх ду д (,дх ду дг ) дЯ дд дс" дд — + и — + у — +иг- — =О; дг дх ду дг б) в форме Лагранжа (3.1) и (3.3) и+ — — =— др др р д =дх' рй=р, о где ро = ро(а, Ь, с), (88.1) 1 др дф Ь+ — — = —, р ду ду ' др др й+ — — = —, р дг дг дх дх дх да дЬ дс (88.2) ду ду ду д(х, у, г) да дЬ дс д(а,о,с)1 дг дг дг да дЬ дс Здесь а, Ь, с — лагранжевы координаты частицы.
Поскольку величину сгр!р можно представить в виде (1.42) — = й — Т сЬБ = сгс( 1п р+ — ) — — с(Т, (88.3) др ., (дрг дд Р (аЮ), р х = и = ио(а, Ь, с), у=с= (а,Ь,с), г = иг = иго(а, Ь, с), (88.4) то, полагая температуру среды малой, т. е. полагая малыми хаотические движения частиц по сравнению с их макроскопическим движением, мы сможем пренебречь членом с(р(р в уравнениях движения. Пока что мы наложили на среду наиболее сильные требования, для того чтобы пренебрегать членом с(р/р, однако даже при относительно высоких скоростях макроскопического движения частиц в том случае, когда соударения частиц редки, величина с(р/р также может быть очень малой по сравнению с величинами сил тяготения или сил инерции. Воспользуемся системой уравнений, написанной в форме Лагранжа.
Сначала будем рассматривать движение среды при отсутствии поля тяжести. Очевидно, что при этом уравнения движения сразу же дают следующий результат: 768 НРедельное двн1кенне РА3РеженнОЙ сРеды [гл. х1ч который показывает, что компоненты скорости зависят от частицы, оставаясь для каждой данной частицы постоянными со временем. Интегрируя уравнения (88.4), мы придем к результату Х = Изг + Хю У = Рог+Уз г =- 1со1+ го (88.5) где хе =- хэ(а, Ь, с), ~ уо = — уо(а, Ь, с), г, = г,(а, Ь, с). (88.6) Этот результат также очевиден, он показывает, что положение нперциально движущейся частицы полностью определяется начальными значениями ее координат (прн с = 0) а, Ь, с и начальными значениями скорости этой частицы.
Уравнения неразрывности сразу же определяют плотность среды Ро Р= (88. 7) поскольку нам иавестны функции х = х (а, Ь, с), у = у (а, Ь, с), г = г (а, Ь, с). х — *о У вЂ” Уо г — га и= Р = — И> =— (88.8) С ' 1 ' 1 где х, = х, (и, Р, 1С), у, = у, (и, Р, 1Р), г, = г, (и, Р, 1Р), что следует из (88.4) и (88.6). Уравнение неразрывности в координатах Эйлера уже нет необходимости интегрировать, поскольку решение, написанное в форме Лагранжа, сразу же дает желаемый ответ. Для перехода к координатам Эйлера необходимо лишь из уравнений (88.4) и (88.5) выразить Ь = Ь(1, х, у, г), с = с(~, х, у, г), (88.9) Уравнение энергии выполняется тождественно, поскольку движение разреженной среды практически изэнтропнчно, так как р 0.
В представлениях Эйлера найденные решения для скоростей можно написать в виде в вв! 769 РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ после чего определяется плотность: да да да дх ду дг дЬ дЬ дЬ д (а, Ь, с) р = р (Ю, х, у, г) = ра (г, х, у, в) дх ду дг дс дс дс дх ду дг (88.10) При движении разреженной среды в кая«дой точке пространства или, вернее сказать, в некотором объеме пространства может находиться несколько частиц, обладающих различными массами и скоростями. Тогда за координаты данного объема пространства можно принять координаты центра масс, находящихся в этом объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
