К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 120
Текст из файла (страница 120)
В этом случае, поскольку А1 (ф) = — „—, (т (ф)) = —, — ~, т' — (ф)); 1 й' 1 Л о бтай (ф) = — „; й(ч ($) = —, — „(г' (ф)) „ Таким образом, мы приходим к уравнению, определяющему при заданных граничных условиях 1 как функцию координат. В случае несжимаемого тела й1 = йрРр, где р — постоянная плотность тела; следовательно, просто 1 = р/р, при этом уравнение (90.8) принимает вид 786 НРедель нее движение РАзРеженнои сРеды <гл. Х<ч уравнения (90.6), (90ЛО) и (90.12) примут соответственно вид —,'„Ь ( — ',"„)1+ (90.18) —, (г<) + 4ябгр (1) = 0; в— , (гр) + 4яб р'г = О, (90.15) (90Л4) причем СМо < = <р — фо = <р — Л (90.16) где фо = 6Мо!Ло — потенциал на поверхности тела массы Мо и радиуса Е.
Вычислим для сферических тел гравитационную и внутрен- нюю энергию. Под потенциальной полной гравитационной энер- гией следует понимать энергию, которую необходимо затратить на то, чтобы при заданном внутреннем строении перевести всю мате- рию, составляющую рассматриваемое тело, в бесконечность. Очевидно, что эта энергия выделяется при сжатии вещества, образующего данный шар, из бесконечности до заданных разме- ров при заданном уравнении изэнтропы. Поскольку сила притяя<ения слоя «М, находящегося на рас- стоянии г от центра массы, есть <(Е = —, СМ «М (90Л7) то элементарная работа, идущая на перенос этого слоя в бесконечность, равна <1Е = — <о (90Л8) далее, поскольку <(М = 4яртойг = — — <(( — Р); М = —" то а а Е = 4я~ тойр = З~ )т<1р, (90.19) о о Я в Е = — 3~ р<1ч = — 12я~ рго<)т.
(90.20) о о 1в 4 !к (Выражение ~ рч = — я ~ рг', получающееся при интегриро~о з ванин по частям, очевидно, равно нулю, поскольку при г = О где от — объем, ограниченный радиусом Е. Проинтегрируем выражение (90.19), по частям. В результате придем к формуле 1оо1 РАвновесное сОстОяние РРАВитнРующей сРеды 787 рго = О, а при г = В рВо = О, если считать на границе тела р =О.) Выражая гравитационную энергию через потенциал, легко прийти к выражению Е = — —,~ удМ.
1 2 о (90.21) Выражая р через 1, придем к соотношению Е Е= — (т'м'+ —,' ~ ИМ). о (90.22) Очевидно, что интеграл Е, =~ 1ЫМ о (90.23) дает значение полного теплосодержания данного тела, следовательно, (90. 24) Поскольку (=с+ ру=з+ Р Р где у = 1/р — удельный объм, е — внутренняя энергия единицы массы, а уо = СМо/В„то вместо соотношения (90.24) можно написать 1 в 1 ( Е о 1 ам' — — ебМ вЂ” — „рот = — — — — — ео1М, 2,1 2 Э 6 2Яо 2 Д ам' о Е= —— 2Яо отсюда Е = — — ~ — '' + ~ ебЛХ1.
о (90.25) Здесь интеграл ~ збМ=Е о (90.26) р — 4(р — р.), (90.27) дает значение полной внутренней энергии данного тела. Для большого числа твердых тел достаточно общим уравнением изэнтропы (для каждого определенного слоя, заключенного между радиусами г, г ) является уравнение политропы иля обобщенной иээнтропм 788 пРедельнОе движение РАЭРеженнОЙ ср еды 1гл. х1 при атом основное уравнение (90А4) принимает вид 1 — „,(1)+4 а ~ — „. 1+р,"1) =0; (90.29) более удобный для интегрирования вид это уравнение прини- мает, если его писать для определения р: а* З, (гр" 1)+а'гр = О, (90.30) где ао = 4НС(п — 1)/Ап.
Перейдем к вычислению внутренней энергии; поскольку 1)е = — ро1т = р— Ро (считаем, что энтропия Я везде постоянна; это допущение может быть оправдано и для твердых тел и для газообразных тел), то Р (и — Ц р (90.3$) и-1 — а а Х Ра «=о Аналогично ри 1 1— и — 1 и-1-» а «=о и р и — 1 р (90.32) Ра Обозначим величину 'Я и-1 — а а а=о е = (3; очевидно, и (1 — $) и — 1 (90.33) где 3 1 — 8= —,~~ (1 — Цра17, Ео \ (90.34) причем() представляет некоторое среднее значение величины р.
где р, — поверхностная плотность (которая для газа равна нулю). В этом случае о)1 = — = Апра-*; 1 = А — (р"-1 — р", '), (90.28) 3 оо) гивновкснок состоянии ггивитигтющкй сеиды 789 В случае р, = 0 будем рассматривать гаа, подчиняющийся уравнению политропы: = .4ри (90.35) и ()=()=О и Е.= — Е.
и — 1 (90.36) Из уравнений (90.24) и (90.33) имеем СМо З(и — () и (5+()) — 6 (90.37) В случае р„ = 0 Е МЗ(-1) Ло 5и — 6 (90.38) Внутренняя энергия теперь определяется выражением см', и(5+ 3) — 6 Яо (90.39) при р, = 0 см Е о 5п — 6 Л (90.40) Полная энергия (90.41) Ео =Е+Еи определяется выражением (3+ 3) и — 4 смо.
(5+3) и — 6 йо (90.42) при р, = 0 Зп — 4 СМо Е =— о 5п — 6 Яо (90.43) Выясним теперь, чему может равняться приближенное значение р. Поскольку и-1 Ра и-1 + и-о + ( и-О ) и-1 и-1 (90.44) то в случае хорошо сжимаемых тел р, (( р, р = р = 0; в случае плохо сжимаемых тел и )) 1, при этом также р = () = О.
Таким обрааом, всегда можно считать, что значение р мало отличается от нуля, а поэтому с большой точностью р = ро, где 790 пгедвльнов дви|ккнив РАзгежкнной сгнды Йл. х1ч а Р— среднее значение плотности в рассматриваемом интервале плотностей. В случаях р, = 0 или п -~ оо (несжимаемая среда) 6=6.=0. Перейдем теперь к решению и исследованию основных уравнений. В том случае, когда связь между давлением и плотностью имеет вид Р = 4(Р Ра)~ основное уравнение (90.14), как мы видели, принимает вид д —,(гР" ')+ а'гР = О, (90.45) где а' = 4яг7(п — 1)/Ая. Очевидными граничными условиями являются р = Р, при г = В или при Р, = 0 должна быть задана в полная масса тела М, = 4я~ рг'ог, причем, если при г = Е о Р = рц) О, то В конечно, при р = Ре = 0 В-~ оо. Далее, Ир/Ыг = 0 при г = 0; необходимо также, чтобы плотность в центре имела конечное значение.
Это уравнение, как хорошо известно, имеет аналитические решения в случаях п -+ оо (случай несжимаемой среды), п = 2 (уравнение имеет внд волнового уравнения), п = 6/5 (случай нагретого газа). При этом потенциал у определяется из уравнения ~р = ~р, + „(Р"-' — Р," ') = <р, + 1. (90.46) Рассмотрим более подробно эти случаи. А. Несжимаемая среда. Уравнение (90.29) принимает вид —, (гр) + 4л6гр' = О, а (90.47) поскольку 1 = р/р. Решение этого уравнения очевидно: р = — ябр'(В' — г') +— (90.48) Очевидно также, что при г = 0 (в центре сферы) давление должно быть конечным, поэтому Ь = О.
Па границе сферы р = О, поэтому константа В представляет собой радиус сферы. Таким образом, Р= з ябр'В' (1 л~) = (1 и) ' (90'49) где М, — масса тела. Давление в центре смр р о (90.50) 792 НРедельное движение РАэРеженной сРеды (гл. х1«' откуда, зная р, и М„ определяем В.
Плотность в центре определяется выражением или =А— — (90.59) Раз«аа/«Р' 1 4я[61ааЛ вЂ” аЛсооаЛ] 4/«о ' где в первом случае р, ) 0 и во втором р, = О. Потенциал 1р = оро + ' = — о + 2А (р — р ). (90.60) Гравитационная и полная энергии определяются уравнениями 2 (2 + 6] В .2 + Р при р, = 0 Р=Р=О; Е= — — о ' Ео= — о (9062) СМ. З Самоа й 2 «о 2Л В. Случай и = 6/5.
Приведем уравнение (90.45) в том случае, когда и + 2, к виду 1 дт + 5п — 6 до + 2(п — (](Зп — 4) [ оьо и 1 0 (90 63) дз и — 2 до (и — 2] где о (и-Н $ = р"-'г " ', 0 = 1п — ", г, = сопз1. (90.64) го В случае и = 6/5 уравнение (90.63) непосредственно интегрируется. Введем переменную г: д$/д0 = г; до$/д06 =г дг/д$ = гЧ/2, тогда уравнение (90.63) примет вид (*6] 1 2 ~ь (90.65) откуда г ~«' 4 д + ~,'; 1в — =- ~ .
(90.66) 4 д Применим подстановку (90.64): — $6~ «/ (90.67) Значение ао = 2яб/ЗА ($ и г — произвольные постоянные). Условие конечности давления и плотности в центре планеты определяет константу $„а именно, ее нужно положить равной нулю, тогда при г = 0 $ — у г = 0; р = $6г-'/ остается конечной отсюда (90.69) го З, УЗ' — — аоьо +— 4 2 что определяет 5 УЗ г $'= —— (90.70) "'1+ %)" и окончательно получаем (90.71) При г = В р = р,; отсюда находим значение константы г,: уз 8 го = — + 4 — Во, 2ара 4аор 5 (90.72) прн этом должно также выполняться условие В <— 5 8 9А 4 4ра а 8ИСр 5 (90.73) Вычислим массу шара при п = 6!5: 5 5 5 ЛХо = — И34 В'(аго) ' (1+ —,1 о г (90.74) Плотность в центре равна 5 5 р, = 34 (аго) (90.75) выражая массу шара через р„получим ЛХо — — яр,В ~1 + —,~ 4 ;) (90.76) 5 504 РАвновесное состояние ГРАВитиРУющей сРеды 793 величиной. При этом интеграл (90.66) сразу же берется: 794 НРедельное движение РАЗРеженной сРеды [гл.
Х1ч Иэ выражений (90.71) и (90.74) приходим к такому соотношению: з Ма — — — лр Ха (1 + — ); (90.77) поскольку средняя плотность (Р) определяется иэ выражения М, =- —, яо Х', (90.78) то, сравнивая (90.77) и (90.78), определяем ( =Р.(1+ — ",'). (90.79) Далее, поскольку 1 + Х'/гас = (р,!р)Ъ, то Р =Рарс. (90.80) В случае р, = 0 значение константы га надо определить иэ выражения (90.74), зная Ма и Х; как мы покажем ниже, Х -з- оо в случае л1обой массы, при этом М, = 4/ЗНЗ'да-'Ьгч, откуда а 9Ма3 а 16л'а' (4лаа)а 61 ( 16лаааг )11 а (90.82) (90.83) Потенциал 1р = 1ра+ 1, что дает 1 1 ам р = — + ОА(Р' — Ра).
(90.84) Гравитационная и полная энергия определяются уравнениями ам', ам„'(1 — 33) Е= — — -'; Ео —— 26Л ЗР Н (90.85) Когда Ра = 0 Р = ~) = О, и в слУчае конечной массы энеРгии могут иметь конечное эначение лишь при Х -а- со (в этом случае средняя плотность становится равной нулю); отсюда следует, что гаэ, образующий шар конечной массы, в случае и = 6!5 и р, = 0 может находиться в равновесии, занимая лишь бесконечно большой объем. При конечных значениях Л равновесный газовый шар не может существовать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
