К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Поэтому 4 а = —, й~+3' 2 (Л' — 1) а,= Ф 3 (92.25) в случае сферической волны а, = 4/5, в случае цилиндрической волны а, = 1, а в случае плоской а, = 4/3, при этом р 4 — г " — г . В случае сферической волны р — г ', в слу— (а н) чае цилиндрической волны р — г ', в случае плоской р — г '.
Далее, ясно, что зй — з — жз — з) 8 — р/ — г (92.2б) Как видим, температура на фронте сферической ударной волны сравнительно медленно падает с расстоянием от центра: Т вЂ” 1/)/г; плотность и энтропия зависят от расстояния следующилз образом: р г Ю Я Фз ')и. Поскольку и — 1 то Вг — г. г)г П = — „,=а,— (92.27) Для изучения распределения параметров за фронтом волны необ- ходимо решить систему уравнений (92.23) при условиях 2й (й — 1) аз 2аг Х„= Из — = —, г й+1 Далее, поскольку г М= 4я~рг Иг, о 808 пэкдкльнок движкник элзэкжкннон сеиды 1гл. хи~ откуда $ З23 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 809 где ро„ и го — некоторые параметры, то %+3 Š— 1 и+з к-г о к — з 8. л з з я 8 з к+з з у о Роого г = у о Роо'о — Оо+Н вЂ” з Так как 6ЛХ = 2~+'т~„г ~+з, то ь+з ю+з 8ИС Ч» = у о Роого (92.29) (92.30) , -цс+и Значительно больший интерес, чем только что разобранная задача, когда энергия взрыва полагалась настолько большой, что пренебрегалось собственной энергией сильно нагретого газа в звезде и ее гравитационной энергией, представляет другая задача, в которой эта собственная энергия газа учитывается; при этом условия на фронте ударной волны примут вид 2 з й — 2 Ро — о о Ро~т 1+1 Ро 2+1 2 Чо оо= + (92.31) 2В ь+ где с,, р„р, — начальные значения скорости звука, плотности н давления для стационарного состояния.
Полагая, что начальное распределение плотности и давления подчиняется законам р, — г-'/, ро — г ', найдем, что с, '— г-'Ь. Зная величину выделенной энергии, легко определить значение 2„. Решенная задача имеет смысл при весьма большом количестве мгновенно выделенной энергии по сравнению с начальной энергией газа, включая и гравитационную.
Прн этом для автомодельности двюкения существенно, чтобы начальное распределение плотности в случае сферической волны подчинялось закону р — г-Чс Этот закон распределения качественно может быть реален; он, в частности, выполняется при л = 6/5 для стационарного состояния шара (см. (90.96)). Закон распределения давления с расстоянием аналогичен закону распределения при точечном (автомодельном) взрыве без учета поля тяжести, т.
е. 810 пРедельнОВ движение РАЗРеженнои сРеды 1гл, х1м Для Р' имеем такой же аакон: Р'„— г и, поэтому ~0 — = сопз1 = х, (92.32) дй отсюда ( ) 1 ( 2 ) ' Р» й+ 1 2 от т„рх й+1 — 2х ™ й+1 и„= т (1 — х). (92.33) Таким образом, безразмерные условия на фронте примут вид (й+ *) (1 й — 1 ~ 2 (1 — *) х1 (92 34) Рх= ~й 1~1 ( — — 2Х)', Хх= с $((Є— и)( — 1+ 2 — — ) — рй~иБ, (92.35) з причем 68 = 8пгдг. Поскольку полная энергия Е складывается из энергии взрыва Ев и собственной начальной энергии газа Е„ ? а эта энергия возрастает пропорционально ~ ргзбг и поскольку 0 р — ге, тоЕз — 1п г или сИ" ЫЕ 1 и а (92.36) Так как на фронте волны Ет = а1г1'-1ог г1-'/' й, то 1 йЕ ЕЕ в, — — г 111 11г (92.37) Сравнивая (92.36) и (92.37), имеем йЕ 1 1 31 1 1 (92. 38) .м Значение г снова вычисляется по соотношению (92.29), а значение г = (г1-') — из закона сохранения энергии; как показал Л.
Й. Седов,,' можно в рассматриваемом случае на основании закона сохранения энергии найти первый интеграл системы (92.23). Учитывая гравитационную энергию и воспользовавшись уравнениями (69 19) и (69.20), будем иметь аналогично случаю точечного взрыва зщ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОВСТВЕППОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 8И Из (92.35) и (92.38) имеем (Р— и) ~ — + —, — — ~ — розг« = (92.39) Р Ри' РСМ «совы т — 1 з с ! ~ = с где постоянную сравнительно легко вычислить, зная после полного решения задачи для любого Г распределения р = р(г), р = р(г), и = п(г) и Рг = Р„(г). Заменяя р, р, и и Рг через соответствующие введенные функции и полагая при этом Рр —— = а,г/~, придем к уравнению — за ~(аг — х) ( «+ — — — ) — — '«1 = — совзВ.
(92.40) нг ( г ~т(т — 1) 2 г'/ т ~ Это выражение является интегралом системы уравнений (92.23). Если энергия взрыва значительно превосходит начальную энергию газа, то, поскольку постоянная пропорциональна величине с«(3у — 4)/Р'„, эта константа обращается в нуль. Ао же имеет место при у = 4/3, что значительно упрощает решение задачи.
Аналогично можно найти интеграл закова сохранения массы в зоне ударной волны. Подробный анализ решений при различных у был сделан Л. И. Седовым (25). Автор данной книги ограничился лишь установлением зависимости на фронте волны. Можно показать, что при определенных условиях в центре звезды при взрыве образуется пустота. В заключение параграфа рассмотрим качественно, что произойдет при гравитационном сжатии разреженной массы газа, обладающей вращательным моментом.
Прежде всего необходимо отметить, что при совершенно произвольном задании о = и(г,), и = о(г«) одни частицы могут при своем движении к центру обгонять другие, если газ крайне раарежен, т. е. представляет собой так называемый дисконтинуум. Можно считать, что для любого момента времени имеет место некоторое определенное распределение числа частиц (молекул) по вращательным моментам количества движения.
Поскольку при сжатии общий момент количества движения не изменяется, то легко прийти к выводу, что результирующая угловая скорость вращения газовой массы увеличивается и эта газовая масса, как известно, уплотняется, т. е. более интенсивно сжимается у полюсов, где центробежная сила меньше, чем у экватора. Ударная волна, идущая от центра этой уже эллипсоидальной газовой массы, будет более интенсивна в полярных направлениях. Процесс разлета, аависящий и от интенсивности ударной волны, и от величины центробежных сил, В экваториальной плоскости должен быть (хотя и не всегда) достаточно интенсивен. После разлета, как легко убедиться, часть газа будет вращаться в виде 812 пгкдвльнок движвнив глзгвжкннои сгвды [гл. хгч экваториального кольца около центральной оставшейся массы газа (звезды), так как при любом произвольном распределении частиц газа по моментам всегда найдутся частицы, для которых при радиальном выбросе угловой (вращательный) момент будет соответствовать угловому моменту двнягения по замкнутой орбите около центра масс.
Как мы уже указывали, качественно процессы сжатия цилиндрического столба или элл|шсоида в экваториальной области будут мало отличаться друг от друга. В процессе разлета в обоих случаях периферийные частицы будут радиально ускоряться под влиянием давления газа, истекающего из внутренних слоев звезды. При этом периферийные частицы будут отдавать часть вращательного момента истекающим иа внутренних слоев частицам. Часть газа, обладающего большим вращательным моментом, будет уходить на бесконечность, другая же часть газа, результирующая скорость которого меньше параболической, останется около авезды; расстояние, на котором останется эта часть газа, от центра звезды должно быть достаточно большим, так как все частицы, находящиеся на малых расстояниях, будут увлечены потоком газа, падающим обратно на звезду, вследствие того, что скорости этих частиц относительно малы.
Плотность газа в конце должна иметь максимум на какой-то средней части кольца, поскольку во внутренних частях кольца при формировании часть газа будет падать на звезду, а для периферийной области кольца плотность газа будет мала вследствие закона неразрывности, по которому плотность резко падает с расстоянием. Рассмотренная здесь схема позволяет сделать вывод о том, что подобным образом из рассеянной материи могла образоваться Солнечная система. Процессы сжатия и частичного обратного извержения газовых масс могут повторяться значительное число раз, прежде чем диссипативные силы приведут к затуханию подобного пульсирующего процесса, после чего может начаться этап образования планет экваториального кольца.
Поскольку такого рода процессы могут быть типичны во Вселенной, то следует думать, что совместное образование звезды и планет не является чем-то исключительным, а, напротив, является закономерным. Если рассматривать большие масштабы газового облака, то можно прийти к выводу, что в подобном облаке будет не один, а ряд центров сгущения. В зависимости от закона распределения вихрей в первоначальном газовом облаке образовывающиеся сгущения, которые можно наавать звездами, могут находиться на различных расстояниях друг от друга, как относительно небольших, так и значительных.
При этом, как известно, газовое облако, сохраняя свой общий момент количества движения, будет уплотняться. 3 ззс ДВижение ГАЗА В сОБстВеннОм пОле тяжести 813 — — ~гз ( — + и — + — — /1+ 4ябр $ д г з С ди ди С дР г' дг ~ ( аС дг р дг / ар ар а. ир — +и — +р — + дс дг дг г (92.41) Будем искать решения в виде и = — ', р = Аг" сз, р= Вг'сз. Подставляя эти величины в уравнение, придем к (92.42) результату (3 = 2Ь, а = 2 (а + 1), Ь = — (3 + а), Нз 2 (а + 1) (а + 3) = — 4ПС вЂ” .
(92.43) Отсюда окончательно будем иметь р — 4 зС ПС-зСз+зС вЂ” В зС <з+з> ,В= с', р= (92.44) Указанный вид движения будет автомодельным. Решение имеет смысл в том случае, когда выполняется следующее неравенство: (а +1) (а + 3) ( О, откуда — 3 ( а < — 1. Данное решение показывает, что при определенном распределении р и р движение происходит как инерциальное. Когда р растет к центру симметрии слабее, чем в указанном случае, скорость частиц газа будет уменьшаться с расстоянием для определенной части газа. В противоположном случае скорость частиц газа будет увеличиваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
