К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Вычисления плотностей не представляют труда: д! (91.18) 4иго— дт где частная производная д1(длл может быть легко вычислена для различных видов движений. Если решать данную задачу для бесконечного цилиндра, то закон тяготения необходимо брать в виде 802 пРедельнОе дВижение РАЗРеженнон сРеды [гл. х1ч Качественные выводы для этого случая ничем не будут отличаться от только что полученных.
В случае среды, представляющей собой дисконтннуум, одни частицы могут пересекать пути других, однако качественные выводы, характеризующие процессы движения,при этом также не изменятся, $ 92. Основные закономерности движения газа в собственном поле тяжести 2 / 2ь и~~ = — с„= ), — иэ) иэ. — )~ (92.1) Если же считать торможение по уравнению Бернулли, то ио .Св Г 2 — и и„= у — и,) иэ. (92.2) з й — 1 шж — Р ь 4 Прежде всего укажем, что при движении плотного газа в собственном поле тяжести могут возникать волны сжатия или даже ударные волны; примером этого является падение масс к центру симметрии.
Рассматривая реальную задачу о сжатии газовой срепы к центру тяготения, можно прийти к простому и вместе с тем существенному выводу о том, что при определенных начальных условиях часть газа может образовать плотное нагретое ядро внутри воны ударной волны, идущей от центра симметрии; при этом скорость движения газа в ядре будет значительно меньше начальных скоростей. Другая часть газа, которая находилась на периферии, может частично рассеяться в пространстве и частично образовать внешнюю оболочку около ядра (атмосферу). Рассматриваемые случаи движения газа в собственном поле тяжести имеют реальный смысл для больших масс газа порядка массы газа, содержащегося в звездах нли Солнце.
Чтобы гравитационное сжатие газа могло произойти, энергия тяготения должна иметь порядок полной (потенциальной и кинетической) энергии газа до конденсации. Можно представить себе более ясно механиам конденсации, рассмотрев следующую задачу. Пусть некоторое количество газа движется с какой-либо скоростью к центру; от центра пойдет отрал1енная ударная волна, оставляя за собой область покоя (как это было показано Л. И. Седовым (25)). Пусть теперь толщина газа, падающего на центр, ограничена; тогда после падения последних частиц газа на покоящееся ядро, вследствие сил внутреннего давления газа, сжатого в ядре, начнется разлет этого ядра.
Очевидно, средняя плотность энергии газа, сжатого в ядре, будет из~/2 = с~/й(й — 1), где иэ — начальная скорость частиц газа, с„— скорость звука в заторможенном газе. Максимальная скорость истечения газа из ядра будет $921 дВижение ГА3А В сОБстВеннОм пОле тяжести 803 В случае гравитационного поля величина 2СМ (го) из = го (92.3) где г, — радиус области заторможенного газа для данного (любого) момента времени.
Таким образом, масса газа, обладающая скоростями, лежащими в интервале и, ( и ( имзз, уйдет от звезды навсегда. Как мы внаем из теории неустановившихся движений газа, при подобном разлете периферийные части газа получат плотность энергии, превосходящую начальную, а центральные части газа — меньшую, чем начальная. Если подобный процесс происходит для большой массы газа, обладающей заметным полем тяжести, то определенная часть газа, находящаяся в центральных областях, передав часть своей энергии периферийным слоям газа, сможет остаться в более нлн менее стационарном состоянии, образуя устойчивое ядро. При этом начальная энергия газа может даже несколько превосходить его гравитационную энергию. В случае разреженного газа, который мы рассматриваем как дисконтинуум, в центральных областях хотя и не образуется сразу классическая ударная волна, все же благодаря более частым столкновениям температура газа повысится более значительно, чем при обычном изэнтропическом процессе, а поэтому проиаойдут необратимые потери энергии.
Тепловое излучение будет уносить часть этой энергии, другая часть хотя и останется в сжатом ядре, но будет способна в меньшей степени, чем при изэнтропическом процессе, снова переходить в энергию направленного движения частиц. В случае вращающихся газовых масс процесс формирования устойчивого тела (звезды) будет еще более многообразным.
Периодические колебания для частиц, движущихся по замкнутым орбитам около центра тяжести, будут вследствие действия сил давления и необратимых потерь энергии постепенно затухать, периферийные частицы будут в меньшей степени испытывать на себе роль диссипативных процессов вследствие меньшей плотности среды и, могут оторваться от ядра; точнее говоря, ядро, сжимаясь более интенсивно, чем периферийные слои, вследствие необратимых потерь энергии отойдет от периферийных слоев.
При этом может происходить перераспределение моментов количества движения; ядро вследствие приливных сил будет отдавать часть момента количества движения периферийным слоям газа. В результате может образоваться эвеада, окруженная более разреженным облаком газа, вращающимся около этой звезды с большим моментом количества движения. Наиболее периферийные части газа могут рассеяться в пространстве. Указанная схема несколько помогает в объяснении происхождения планет совместно со звездой из одного газового или пылевого облака.
До формирования звезды энергия периферийных частиц газа в среднем должна быть больше, чем центральных, за счет гравитационной энергии. После формирования ядра звезды в нем должны происходить процессы перераспределения газа вследствие действия гравитационного поля, приводящие, в конце концов, к тому, что в центральных областях ядра звезды плотность энергии будет несравненно выше, чем на периферии. Часть газа, обладающая скоростями порядка и„будет вращаться около звезды. Как мы указывали выше (3 87), вследствие начальных пульсационных колебаний газа и образования сжатого ядра часть вещества должна выкидываться из этого слоатого ядра, чему, кстати, будут способствовать различные ядерные процессы, происходящие в ядре при больших температурах и давлениях.
Вычислим хотя бы приблюкенно основпые параметры ударной волны, идущей от центра симметрии и возникающей при падении к центру газовых масс. Прежде всего очевидно, что ударная волна является всюду, за исключением ближайших окрестностей центра, сильной, поскольку скорость падения велика. Считая, что эа фронтом волны газ приходит в состояние покоя, найдем, что й+1 о йй-'г1, ио рз = — р,и,; р = — ро; с„Т„=— 2 ' й — 1 ' 2 й — 1 Р = — — и, г 2 о (92.4) где р, р, ҄— давление, плотность и температура на фронте ударной волны, р, — плотность падающего газа перед фронтом волны, ио — скорость падения, Р„ — скорость ударной волны относительно центра.
Поскольку (92.5) ро = ро(г), ио = ио(г); Р Й~ й ' (92.6) то будем иметь Ыо й — 1 ,1 ио(г) 2 о (92.7) что дает закон движения фронта ударной волны. Учитывая, что 2СМ (г) о= (92.8) окончательно закон движения фронта ударной волны напишем 804 пРБДельнОБ Движение РА3РеженнОЙ сРеДы 1гл. х1ч 6 ою движкник гьзь в совс тввнном полк тяжести 805 в виде 1 Г ~ „г й — 1 Г2а о (92.9) Вычислим для примера температуру на фронте волны при скорости падения ио = 1000 км/сен. Очевидно, что для одноатомного газа 1Оо.1О Т = з з з ря — (4 10') Таким образом, температура на фронте волны при конденсации звездных масс может достигать десятков миллионов градусов.
В качестве наглядного примера допустим, что в зоне сжатого газа Ро = Рон ( —,) о (92ЛО) где рон и г, — некоторые компоненты; тогда о ~о )' язон ЛХ = 4яронгог' 2 откуда (92Л1) т. е. радиус сферы возрастает пропорционально 1. В рассматриваемом случае, поскольку и, = сопз$, то Тн = сопзФ. Определим теперь приближенно величину разлетающейся на бесконечность массы. Поскольку в процессе расширения давление в начальной стадии создает более значительные ускорения частиц газа, чем гравитация, то примем, что сразу же после расширения устанавливается режим и= —, р= —, (92Л2) > М = 4я ~ рг' й = — ' гь 4яА о (92Л 3) как в отсутствие поля тяжести. Поэтому для распределения плотности можно принять закон р = Аг н, где А = сопз1, а = сопзс. Далее, предположим, что силы давления уже не действуют, а силы гравитации, напротив, тормозят расширяющийся газ. Тогда можно считать, что масса равна 806 пРедельное дВижение РАзгеженнои ОРеды 1гл.
хгу 4ЕА з„ пРичем и ( 3; отсюДа полнаЯ масса Равна Ме = — Г, где ге — начальный радиус. Таким образом, (92.14) Поскольку предельная скорость газа, разлетающегося на беско- нечность, равна (92.15) то з — а й (ю ) ". га (92.16) Поскольку и = Г/~, то а Г (92.17) Го Из (92.16) и (92Л7) имеем 1 —.".
=~ — "'Г (92Л8) откуда (92Л9) Таким образом, масса ЬМ = Мз — М =ФХо(1 — — ) = Ма~1 — (:) ~ 92.20) разлетается на бесконечность. Например, при й = 5/4, а = 2 11М/М = 0,65, т. е. 65% всей массы разлетается. При а = 3 и прн любом /Г разлетается вся масса, при а = 0 также разлетается вся масса при всех значениях Й ( 3. Так как в самом общем случае плотность всегда убывает по направлению от центра к периферии, то в зависимости от закона изменения плотности ббльшая или меньшая часть массы газа уходит на бесконечность.
14 р=- — — г 4яСзззз з (92.24) Определим значение коэффициента а . Поскольку величина объемной плотности энергии имеет порядок з риз р — рСМ/г и полная энергия в объеме — гк+з сохраняется, то величина, пропорциональная ризгк+з, является постоянной, откуда выражения 1 г' кы (ига~а,-4 —,— г и с-' должны быть постоянными, т. е. энергия не долхана зависеть от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
