К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Шар, состоящий иэ сравнительно плотного газа, т. е. тогда, когда уравнение изэнтропы этого шара 9 ес) глвновнснов состоянии ггявитигтющвй сгкды 795 можно написать в виде р = А(р« — р,"), может быть равновесным и в случае показателя степени и = 6/5, имея при этом конечные размеры. Газ, находящийся в состоянии не только статического, но и теплового равновесия, подчиняется закону р = ЯТр, где Т = сопз$, при этом основное уравнение (90.13) примет вид —, (г!и р) + азгр = О, (90.86) где аз = 4ясн(г(Т. Решение данного уравнения может быть проведено только численно. Его исследование приводит к следующим результатам.
Положим, что на бесконечности В = ос, плотность имеет конечное значение; тогда в случае конечности массы мы придем к выводу, что эта масса практически должна сосредоточиться в одной точке г = О, в случае бесконечно большой массы плотность в центре становится неограниченно большой и сохраняет постоянную конечную величину на бесконечно большом расстоянии. Эти результаты, очевидно, лишены физического смысла. Реально такие условия также не могут выполняться для достаточно большой массы, поскольку при весьма больших значениях плотности в центре этой массы состояние вещества резко меняется и, как правило, при этом происходят различные неадиабатические процессы, меняющие температуру среды. При давлениях порядка миллиардов кз/сиз среда приобретает свойства вырожденного электронного нерелятивистского газа, который при еще ббльших давлениях надо рассматривать как релятивистский газ«).
Среда, имеющая очень большие давления, способна за счет различных ядерных реакций вырабатывать большое количество энергии. В некоторых случаях избыток энергии может привести к разрушению, взрыву звезды. Формальный анализ равновесных состояний больших гравитирующих тел показывает, что при заданном уравнении состояния и при заданных массах и энергиях не может существовать сферическое тело произвольных размеров, и более того, при заданной массе для того, чтобы существовало устойчивое сферическое тело, необходим вполне определенный запас энергии. При другой величине энергии тело будет неустойчивым.
Однако этот анализ является чисто формальным, поскольку мы не имеем права рассматривать большие тела, допуская для них универсальный закон состояния; этот закон может меняться от одного слоя твердого или газообразного тела к другому. Ряд существенных результатов, связанных с изучением закономерностей между массой тела, его средней плотностью и разме- «) 0 вырожденном газе см.: Ландау Л., Лифшиц Е. Статистическая физэна.
Изд. «Наунзэ, 1969. 796 НРедельное движение РАЗРеженнои сРеды (гл х1ч рами, мы получим, применяя простые соображения о размерности параметров, входящих в основное уравнение — ы (го Ж1 + 4л арго = 0 или (90.87) 1 „) — (го — ~ ) + 4яб Р' (й1 го = О. 1 и-1 (о Обозначим 4НС Р' = Ь'. (о Решение этого уравнения должно содержать всего два произвольных параметра, постоянную Ь' и радиус тела В.
Заданием этих двух параметров однозначно определяется выбор решения. Поскольку из этих двух величин одна имеет размерность длины, 2(о-и) ( 2 а другая — размерность сел "-' ( сзо "-', то для того, чтобы найти решение в безразмерном виде, определяющее теплосодержание или энергию как функцию расстояния, необходимо из параметров Ь' и В образовать величину, имеющую размерность энергии. Такой величиной, очевидно, будет 2(п-1) 2(и — 1) 2(и — 1) (е Ь,~-п В 2 — и (ЬВ) 2 — и (90 88) Таким образом, мь( будем иметь право записать решение в виде 1(Г) ии „„„, ~1 ( — ). (90.89) Л) 3 — и Поскольку р — 4"-1, то р() ии ', ~. ( — „").
и) З вЂ” и (90.90) (90.9$) а ее средняя плотность (90.92) Очевидно, средняя плотность при ааданном значении параметра а будет пропорциональна В 2 ", полная масса тела будет пропор- 4-Зп циональна ВЗ-и; отсюда также следует, что радиус сферы, находящейся в равновесии, пропорционален такой степени М: 2 — и В Мо — зп $ 90 дВижение ВРАЩАюЩихсЯ ИАсс РАЗРеженноГО ГАЗА 797 В случае электронного газа и = 5/3 и в равновесии может находиться сфера при любом значении ее полной массы. В других случаях, например при и = 4/3 или и = 2, это положение уже не имеет места. Кроме найденных выше решений уравнения ~, (гр"-') -(- а'гр =- О, удовлетворяющих условию конечности плотности и давления в центре, можно легко найти решения этого уравнения вида р = Вг, (90.93) где В и и — константы.
При этом будем иметь 2 а = 2(и — 1)(4 — Зи) = а'В'-"(2 — и)'.. (90.94) (90.95) Поскольку плотность должна возрастать к центру, то и (0 и и ( 2; далее, из (90.55) имеем, что и ( 4/3, что уменьшает гра- ницы изменения и, которое должно быть к тому же больше еди- ницы. При этом, поскольку р = Ар", имеем Вл р = Арз=АГ (90.96) При и = 4/3, 6/5, 1 значения а и Р соответственно равны: и = — 3, — 5/2, — 2', Р = — 4, — 3, — 2. Эти значения а и 6 лишь прибли- зительно соответствуют закону изменения плотности и давления в звездах.
9 91. Движение вращающихся масс разреженного газа в поле тяжести Рассмотрим задачу о движении разреженного газа, когда можно пренебрегать силами давления в собственном поле тяжести, учитывая вращение газа около центра тяжести. Можно точно рассмотреть эту задачу в случае осевой симметрии, т. е. считая, что некоторый протяженный цилиндр, состоящий из разреженного газа, вращается около своей оси, причем различные частицы газа, находящиеся на различных расстояниях от оси цилиндра, могут иметь различные угловые скорости вращения (рис.
109). Реально эта задача описывает вращение экваториальной области какого-либо разреженного гравитирующего тела, имеющего приблизительно сферическую форму, 798 пгядвльнок двнжкпнв газгкжкнной сгкды ггл. хат Для этой цели воспользуемся уравнениями газовой динамики, написанными для полярной системы координат; поскольку комг понента скорости иа, направленная по оси г, равна нулю, то уравнения (2.24), в которых положено иа = О, р = О и все частные производные по у равны нулю, примут вид ди ди — +и— да дг ди др — +и— да дг =О; дт дт — +и — = О да дг (91.1) Ряс.
109 где и — радиальная компонента скорости, г — трансверсальная компонента скорости, т = 6М, причем т = 4яб ~ рг'г(г = 4яб ~ ррг'сага; р р д дт —,(а') = — 4ябрг' = —,. дг (91.2) Перейдем от независимых переменных (~, г) к новым независимым переменным (т, г); тогда систему уравнений можно написать в виде ди ра т и — = — — —. з. = ° др р да — + — г=О; и — =1; (91.3) да — — = 4наагаргт дг Решение этих уравнений очевидно: а а а а 2т 2т и +г = ир+ор+ — —— гр или и'=:+ (1-%+Ф(Ф- ) зг = г,гр, т ~ иг Ыг (91.4) ЗДесь иа, Ра — начальные значениЯ величин и, Р в момент вРеменн 1 = О. Введем безразмерные параметры х = г/г„т = с„г/гз; и/с„= а, тогда уравнение траектории, которое в случае р = О совпадает с уравнением характеристик, можно написать в виде (91.5) ! 1/хз (аз+ аз — аз) + азх — аз Введем, далее, обозначения а = а, '+ аз — а'„Ь = аз, с = — а,' Л = — [4а„'а,'+ (а, — 2аз)', причем Л < О.
Решение уравнения (91.5) очевидно: при а <О т— з'ахз+Ьх+с — а! Ь Г . ах+Ь . а+Ь 1 + ~агсз1п — агсз)п а 2а Ьс — а )Г-- Л ) --ь!' (91.6) при а) О 2ах+ Ь Ь ах!+ ах+ с+ 2уа зз'ахз+Ьх+с — аз Ь т— )п а 2а г'а (91.7) 2а+Ь аз+ Выберем теперь начальное значение величины с„ таким образомз чтобы аз = 1, и исследуем до конца случай, когда иа = О, т.
е. а, = О. Обозначая а,' = а,напишем уравнение траектории в виде хЫх з' х' (1 — а) + х — а 1 /'М з т= у: —; а=а — 1, сз гз Ь= 1, Л = — (1 — 2а)' < О. При а < 1 будем иметь г" хз(а — 1) + х — а 1 Г . 2(1 — а)х — 1 я1 + ~агсзш а — 1 2 у'(1 а)з ( 1 — га г! (91.8) при а) 1 г хз(а — 1) + х — а 1 1 ) 2уа — 1 2 г' (а — 1)з з 2 2(а — 1) а+ 1 схз(а 1)+х а+ 2а — 1 2 г'а — 1 (91.9) з 9!1 дВижение ВРАщАющихсЯ мАсс РАзРеженного ГАЗА 799 800 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОН СРЕДЫ (ГЛ. Х1в' При а=а,+а,— аз=а,+а — 1=0 т равно 2 2 2 хв(х 2 2 в/в 3 = =[х — (1 — а,) * — а1] + 1 х — (1 — а ) з 1 -[- 2 (1 — а,') [(х — (1 — а,')) /' — а,].
(91.10) Рассмотрим подробнее движение при а ( 1, что соответствует не- РавенствУ Р /с (1 или, посколькУ 2т/гос'„= 1,— неРавенствУ Ро ( )/2т/го. Из (91.8) получаем 2(1 — й)х — 1 . ! 11 2 1 в/в у(1 — х)х — й(1+х)~~ =з[п ~ — + ( — сс) '~т+ (91.11) При а=О 2х — 1 = зш 2 ~т + — + ф х (1 — х)~; (91.12) приходим к периодическим колебаниям с периодом в=в у в' (91Л8) Здесь а = Рого/2т, Р = и',г,/2т; условие й + Р ~ 1 дает ("о + Ро) ( —,, (91Л5) За четверть периода частица достигает центра из любого крайнего положения. При а = 1/2, очевидно, при любом 1 х = 1 и г = г, Р~ = т/го, т. е. РасстоЯние г частиЦы остаетсЯ неизменным (кРУ- говая орбита).
При а = 1 орбита становится параболой, при а ) 1 — гиперболой. Рассмотрим теперь более общий случай. Положим, что и = сопз1)0, тогда а', = ]) ~ О. Пусть а+ [1(1, что снова соответствует случаям периодического движения (эллиптический случай). Решение основного уравнения траектории для этого случая примет такой вид: У х' (а + 1 — 1) + х — а — У ]) 1 — (а+э) + 2х [о — (й + Р)] — 1 + агсзвп 2 ]/[1 — (а+[в)]в )Г42[2+(1 — 2а)в 1-2(а+[)) 2 ф'[1 (а+ ~)]в 425+ (1 — 2й)' агсзгп +, (91Л4) 1 оы дВижение ВРАщАющихся мАсс РАВРеженного ГАЗА 801 При х = 1 будем иллеть ига [1 — (и+ Е)[ Ь где и = О, 1, 2, 3, что определяет период колебаний (91 16) го Т= [1 — (о+ 6)] Ь У (91.17) 1 4лбгопоп вл = 4яб~ ргдг.
о Ж К=— г При оо + Р = 1 Т = со. Анализируя полученные результаты, придем к выводу, что вращающаяся около оси симметрии среда испытывает пульсационные колебания, которые будут периодическими. При этом наибольшая абсолютная величина амплитуды колебаний наблюдается для частиц, находящихся на периферии; колебания будут иметь место также для частиц гааа, для которых г ( ( г* = и/Р,' (рис. 110).
В том случае, когда ио + Рб >~ 2т/го, частицы, для которых выд г=!а полняется это неравенство, не будут участво« Рис. 110. вать в пульсационных колебаниях, а будут двигаться в пределе при выполнении знака равенства по параболическим орбитам около центра симметрии. В том случае, когда выполняется знак неравенства (гиперболический случай), частицы будут двигаться по гиперболическим (в пределе по параболическим) орбитам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
