К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 118
Текст из файла (страница 118)
В этом случае можно прийти к выводу, что будем иметь дело с многозначными значениями скоростей в данной области пространства. Рассматривая решения соответствующих уравнений, мы также можем обнаружить, что одному значению плотности в данный момент времени и в данной области пространства будет соответствовать иногда не одно, а ряд аначений скорости. Очевидно, что плотность, являясь величиной скалярной, будет просто суммироваться из «плотностей» отдельных частиц, заполняющих данный объем пространства. При этом под «плотностью» рс каждой частицы следует понимать величину аг У (88.И) Р=Р»+Рг. Значения скоростей в определенной области пространства, где облака проходят друг через друга, будут двузначными, Возможна и такая задача: имеется одно облако газа, но скорости в нем распределены таким образом, что одни частицы перегоняют другие, и с некоторогО момента времени решение становится многозначным. где т« — масса г-й частицы, » — рассматриваемый удельный объем пространства.
В частности, можно встретиться с такой задачей: два облака газа или пылевой материи проходят друг через друга, тогда можно рассматривать задачу определения скоростей и плотностей для каждого облака неаависимо и', вычисляя рг и рг, получить результирующую плотность для каждой точки пространства в заданный момент времени простым суммированием плотностей ка кдого облака: 770 НРНДельное Движение РАзРеженнОЙ ОРеДы (гл. хгч Определяя плотность для каждого значения скорости, мы снова определим результирующую плотность простым суммированием отдельных плотностей.
Эта задача является несколько более сложной, чем первая. Рассмотрим ее на примере одномерного движения. Пусть в момент времени г = 0 нам дано р = р, = сопзФ, и = и =- а ~1 — — 1; (88Л2) тогда при ( ) 0 х=<")1 ) 1 (+хо (88Л3) причем 0 (хе ~( ). Решение задачи приводим к результату, со- гласно которому при () 0 имеем 2аф (88Л4) 4(х — )) аС (+ р Из решения видно, что при г ) 0 значения скоростей становятся двузначными, при атом плотность в интервале двузначных решений определяется формулой 2Ро (88Л 5) 4(х — Оаг (+ н В момент времени (-+.
оо решение снова становится однозначным, поскольку наиболее быстрые частицы обгоняют все медленные. Разобранные случаи характерны для типичного дисконтинуума, когда одни частички могут обгонять другие. Таким образом, когда среда является дисконтинуумом, несмотря на то, что в начальный момент времени хм > хам в какой-либо другой момент времени может быть х, (х„) ( х, (хш). В случае среды, представляющей собой континуум (сплошная среда), всегда, если при г = 0 хм ) хио то и при любом ( х, (хм) ) х, (хш).
Рассмотрим еще одну задачу, связанную с движением разреженного газа, однако мы будем полагать, что, несмотря на малость давления, среда еще является сплошной и одни частицы не могут обгонять другие. Рассмотрим взрыв, происходящий в пространстве и обладающий точечной симметрией. Как ыы знаем, в некоторый момент времени, когда продукты взрыва займут объем, прибли- 771 % 881 РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ зительно в тысячу раз превосходящий начальный (г = 10г,), движение газа будет описываться уравнениями и = — ",, р = " [( — „1 с,) — и'1 (88А6) 4ягд — с д а — 1 е и соз ад 81п фд, и 81п а, 81п р, и соз ф, + и„ из + ид + 2и,и соз фд, идд+ ид — 2исид соз фд.
(88.17) Здесь ф — угол (широта) в неподвижной системе координат, ф и ад — полярные углы, широта и долгота в подвижной системе, ид = где — скорость относительно неподвижной системы координат, г — расстояние от центра этой системы. Поскольку масса, содержащаяся в заданном интервале скоростей д1и = Й (и, — ид), в системе координат, связанной с цен- где А — (2п + 1)~ 2-дс (2сн((7с 1))-дс!(Е~)8 Легко показать, что, выбирая произвольную точку пространства за новый центр, мы придем к выводу, что любая частица имеет относительно этой точки скорость, пропорциональную ее расстоянию от точки.
(Данное положение будет иметь место как для одномерного, так и для цилиндрического и сферического расчета / частиц.) В самом деле, вектор скорости, ', соединяющий две произвольные частицы, всегда пропорционален вектору расстояния (поскольку г = и1), т. е. распределение скорости (до границы разлета) будет изотропным относительно любой точки пространства.
Рве. 107. Закон распределения плотностей иэотропным не будет. Рассмотрим распределение масс по скоростям в какой-либо неподвижной системе координат, относительно которой центр тяжести газа движется с некоторой скоростью и,. Поскольку ориентация осей неподвижной системы сферических координат безразлична, то удобно выбрать ее таким образом, чтобы центр тяжести газа двигался по оси г. В этом случае мы придем к следующим соотношениям (рис. 107): 772 пРедельнОе движение РАзРеженнОЙ сРеды (гл. Х1У тром тяжести, равна ооМ = 4ягорс(г =4яиора2и(з = ~( — сн~ — ио) а(и, 2 ('1 1а — 1 (88.18) то относительно неподвижной системы координат масса газа, двииоущаяся в интервале скоростей а(ол, определяется выражением с(М = 2риоойозоп<р1йрайх = 2 'о 1о 2АМнио дм о(а у Йр ди ( (1 4 сн ( — (ио — и* — 2иам соз <рЦ (88.19) 4н о 4 сн(но+но 2иоассозара) Производя интегрирование по долготе, придем к соотношению '4мн оса дмд савау Г~ 2 ~з 1 сн но+из — 2оаисозау — (и~о + ио — 2и ио соз ор)1, (88.20) определяющему массу в интервале скоростей 111Р и в поясе о(ор.
В случае постоянной плотности, не зависящей от г, задача сильно упрощается: АМ = Мн —, (88.21) ПР откуда и из (88.8) следует, что должно быть дно дуо дно доа дуо доа до до ' дас ди ' дм до (88.23) Вихревые движения должны быть устойчивы ввиду редкости соударений частиц. где и„р — предельная скорость разлета газа в системе координат, связанной с центром массы.
Зтот случай может иметь место, например, при соударении двух космических тел, приводящем к их полному разрушению, в частности при падении метеоров. Заметим, что движения разреженной среды могут быть и вихревыми и потенциальными. В случае потенциальных движений должны выполняться следующие условия: (88.22) $ 891 движение РАзРеженнОЙ сРеды В поле тяжести 773 5 89. Движение раареженной среды в поле тяжести —, + (тц7) и = 8габ ф; де дР + йч(рп) = О. (89 Л) Поскольку в случае любого поля тяжести, создаваемого средой, имеем йтадф =д, (89.2) где д — ускорение гравитационной силы, а потенциал ф в случае внутреннего (собственного) поля тяжести удовлетворяет уравнению Пуассона йч д = Лф = — 4ябр, (89.3) то систему уравнений (81.1) можно написать так: — „+( р) =д; а ( — „+ И д)=О.
де . (да Поскольку уравнение неразрывности имеет вид — +и йгааМ=О, дМ д~ (89.4) (89.5) где М вЂ” некоторая масса, заключенная внутри определенной «жидкой» поверхности, а из уравнения Пуассона следует, что 4лбМ = 4нб~рЛ'= — ~йЬ.дскб', то получим следующую систему уравнений, описывающую дви- жения разреженного газа в поле тяжести: дг +( дМ вЂ”,+ 8гааМ=О; (89.6) ~ ИР д ЫУ = — 4лбМ. Весьма простой вид система уравнений (89.6) будет иметь в коор- динатах Лагранжа, если в качестве независимых переменных выбрать (», М): — 4НСМ = ~Ич д йЧ = ~ Ь бгч д г) Ч е, ди дм —,=д —,=О; дг ' дй (89.7) В случае раареженных сред можно пренебречь давлением в основных уравнениях; если прн этом массовые силы потенциальны, основную систему уравнений можно написать в виде 974 пгвдвльнов движвнив газгвжвннои саиды игл.
х~ч при этом, очевидно, ~=кч ' (89.8) где (Ж = дх ду Иг, сна = На ЫЬ Нс. Рассмотрим движения газа, обладающие точечной симметрией, т. е. плоские, цилиндрические и сферические волны, порожденные гравитационным полем. В этих случаях, поскольку Ичд = г-и — „(г"б) (Ф = О, 1, 2), „а будем иметь — 4ябМ = ~ИчдИУ = 4я~д(гкб) = 4ягкд, откуда СМ д = — — „, М = 4я 1 р,г" й;. О (89.9) Позтому основные уравнения в координатах Лагранжа примут вид г = й = — щ, М = М(га).
см (89 10) д(и~) 26М . аг — = —, М=М(г). (89 11) Здесь М (г,) — масса среды, заключенная внутри сферы (цилиндра) радиуса г, или, в случае одномерных движений, разность масс среды, находящихся правее и левее данного сечения г = хм Наибольший космогонический интерес представляет изучение движений, обладающих точечной сферической симметрией, хотя ряд качественных выводов, относящихся к плоским одномерным движениям, которые изучаются наиболее просто, может быть перенесен и на сферические симметричные движения. Уравнения, написанные в форме Лагранжа, являются наиболее естественными для изучения движения именно разреженной среды, когда в уравнения не входят силы давления.
Для удобства дальнейших вычислений следует от независимых переменных (г, г) перейти к новым независимым переменным (г„г). Тогда уравнения (89.10) примут вид 891 движение РА3РеженнОЙ сРеды в пОлк тяжести 775 Решение этих уравнений не представляет труда: а)дляЮ=0,2 9=26М~ — "= Л, ' ~( —,— ~,,)+па; г„ Нг вг - ° г Е~м з-и а-л Л вЂ” 1( (89 12) б) дляЛг=1 иа = — АМ 1п — + и~; га Здесь иа определяется начальными условиями, а именно, в момент времени 8 = 0 нам необходимо знать распределение скоростей по лагранжевой координате и = и = иа(га).
Плотность будет опре- деляться выражением „Х Р га или в переменных (га, г) ш (89.13) ага При этом необходимо знать начальное распределение плотности р = ра = ра(га). Очевидно, решение любых задач о движении разреженного газа в случае точечной симметрии сведется к решению обычных задач теории потенциала, если одни частицы не обгоняют другие. В самом деле, движение каждой частицы происходит независимо от движения других частиц; поскольку масса частиц, находящихся ближе к центру (оси или плоскости) симметрии, неизменна, неизменна и масса частиц, находящихся дальше от центра (оси или плоскости) симметрии, чем данная. Так как суммарное притяжение частиц, внешних по отношению к заданной частице, приходящееся на нее, равно тождественно нулю, а притяжение частиц, внутренних по отношению к заданной, эквивалентно притяжению точки, находящейся в центре симметрии (или оси, или поверхности), обладающей массой внутренних частиц, то решение задачи в случае центральной симметрии 9 991 дВижение РАЗРеженнои сРеды В пОле тЯжести 777 Сравним теперь время сжатия газа в случае сферического объема и в случае одномерного сжатия.
В случае сжатия сферического объема из формулы (89.15) имеем1 = го1/ —" —,, или — О Г 2Соо — л Г 3 2 ЗлСро (89.19) В случае одномерного сжатия из второй формулы (89.18) имеем ло 2ЯСМ 1 2ЯСр (89.20) Отсюда имеем 1 = 4у' ЫЗЯ = 0,71.
Как видим, времена сжатия мало отличаются друг от друга. Когда плотность станет большой, темп сжатия за счет сил внутреннего давления должен уменьшиться, однако, как видно из структуры формулы, время сокатия увеличится лишь незначительно, причем процесс прихода всей газовой массы в состояние равновесия может длиться довольно долго и превышать по длительности процесс первоначального сжатия. В случае движения среды во внешнем поле тяжести, создаваемом массой М, мы придем к уравнениям г =и'=у; рй = ро,. (89.21) причем ог(т у = О, у = у(г) = у(х, у, з).
Существенно здесь то, что ускорение зависит только от расстояния данной точки от центра гравитирующей массы. Решение конкретных уравнений при этом не представляет труда. Траектория каждой частицы будет являться кеплеровской траекторией, т. е. эллипсом или гиперболой, в зависимости от начальных условий; в частных случаях траектория может быть окружностью или параболой. Зная для каждой частицы х = х(а, Ь, с), у = у(а, Ь, с), з = г(а, Ь, с), легко определить плотность. В случае постоянного поля тяжести д = сопз1, выбрав систему координат, центр которой является центром тяжести рассматриваемой массы и движется по закону 2 (89.22) (сила тяжести направлена по оси х),мы сведем задачу в этой си- стеме координат к задаче о движении среды вне поля тяжести. 778 преДельное ДВижение РА3РеженнОЙ сРеДы [гл. хдУ Перейдем к приближенному рассмотрению более общего случая движения среды, когда среду можно рассматривать как дисконтинуум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
