К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 113
Текст из файла (страница 113)
При этом является существенным, что средняя энергия газа, рассчитанная на единицу массы, может быть меньше, чем предельная энергия, рассчитанная на единицу массы, т. е. меньше чем и,'р/2. Наоборот, какова бы ни была средняя энергия, рассчитанная на единицу массы, всегда тыловые массы будут падать обратно на тело, из которого они истекали.
В случаях, когда длина столба газа, разлетающегося под действием внутреннего давления, мала по сравнению с расстоянием его от центра гравитирующего тела, то рассмотренные нами выкладки значительно упрощаются. В этом случае всегда можно считать для начальной стадии разлета гравитационное ускорение всех частиц одинаковым и поэтому рассматривать классический одномерный разлет сжатого газа, считая затем, что центр тяжести этой массы газа движется в поле тяжести по закону 1 аз1 стАциОнАРные дВижениЯ ГА3А В поле тЯжести 741 Сначала мы рассмотрим общий случай неаднабатических неустановнвшихся движений в поле тяжести.
Основные уравнения напишем в виде (2.25), соответственно изменив вид третьего уравнения: ди ди 1 др дф — +и — + — — = —, дс дг рдг дг' (86 1) Гравитационный потенциал выразится так: ф = 6М/г, где 6— гравитационная постоянная, М вЂ” масса тела, из которого происходит выброс газа. Б — 3, Для идеального газа, когда р = ВТр и р = е 'г р", будем иметь Р = са — Р+ (й — 1) Щ (86.2) а также (86.3) С учетом этого равенства и уравнения неразрывности, которое удобно написать в виде 1 др 1 ди Л' 1 др) рдг (идг г ирдс из этого уравнения с помощью первого уравнения (86 1) получим (и' — 1) 1 ди — 1 дф /с 1дО+ д/ +(1 др 1 ди) (864) Уравнение (86.4) представляет наибольшие удобства для качественного анализа явления.
Ограничимся случаем квазистационарного движения, к которому можно свести, например, выброс газа при наличии длительно действующего источника. Полагая в уравнении (86.4) др/дс = О, дн/д/ = О, получим (' ис ~ 1 ди 1 дср Лс Сс — 1д9 — * — 1) — = — + — — — —— си,) и дг ссдг г сс дг (86.5) Простейшее исследование этого уравнения приводит к ряду любопытных выводов, являющихся, в сущности, следствиями так называемого общего закона обраи/ения воздейппвий для стационарных одномерных газовых течений. Отметим прежде всего, что изэнтропическое одномерное (/1г = 0) дозвуковое течение газа (случай и ( с, дч/дх = 0) замедляется при движении в направлении действия силы тяжести дф/дх = = — 6М/хз ( 0 (движение против оси г) и ускоряется при движении против направления силы с1х ~ О, 742 [ГЛ.
Х)ы ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ Противоположное по знаку влияние оказывает гравитационное поле на сверхзвуковой газовый поток: при движении в направлении действия силы тяжести (к поверхности звезды) последний ускоряется, при движении против силы (от звезды) — замедляется. В общих случаях при отсутствии теплообмена пределом ускорения дозвукового потока или торможения сверхзвукового будет достижение критической скорости движения, равной местной скорости звука и = с; непрерывный переход через скорость звука в таком (адиабатическом) процессе оказывается невозмоя1ным. Это видно из того, что при и = с д()~дх = 0 ) с( )п иЯх) -+. со, причем знаки различны при подходе к и = с со стороны и ( с и и > с.
Возможным является, разумеется, переход скачком из сверхзвукового в дозвуковой поток. Характер стационарного движения в рассматриваемом случае аналогичен, например, адиабатическому движению с трением в цилиндрической трубе, поскольку и здесь движению присуща некоторая предельная длина. Наличие последней имеет в этом случае более принципиальное значение, так как свидетельствует о невозможности стационарного одномерного адиабатического течения газа в поле тяжести. Действительно, из (86.3) и (86.5) при дД/дх = 0 следует , 1-1 и' — ио+ — „с'~( — "' — 1~ = 2()Р фо). (86 6) При и = с в этом случае наступает кризис течения, для которого характерно предельное аначение потенциала о 2(о — 1) (86.7) причем 1)иО д~р Рф — —.. ьо или — = О, а Й~ Ыио ' д (ио)о .
о. При ф = 6М!г величине фмж из уравнения (86.7) отвечает предельное (максимальное) значение координаты г,оо„=- 6М/фо1)о. Поскольку, однако, предельное значение координаты г„„, (рис. 102) в рассматриваемом процессе истечения газа в неограниченное пространство лишено физического смысла, полученный вывод указывает на невозмон1ность подлинно стационарного одномерного адиабатического течения газа в поле тяжести. Это означает, по-видимому, что при наступлении кризиса движения газа вблизи места, где и =- с, должна образоваться новая нестационарная волна, разрешающая этот кризис и разрежающая газ, давая ему тем самым возможность перейти через скорость звука, 1 зш СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 743 Возвращаясь к анализу уравнения (85.4), заметим, что влияние излучения (дч/дг ( О) на газовое течение сказывается при отсутствии поля тяжести в торможении дозвукового (и ( с) и ускорения сверхзвукового (и ) с) потока.
Наибольший интерес представляет совместное действие гравитационного поля и излучения. В этом случае при обоих режимах течения (и <" с, и ) с) принципиально возможно как замедленное, так и ускоренное движение газа от поверхности. Знак производной ди/дх определяется преобладающим эффектом; например, если при сверхзвуковом потоке ~ (/с — 1)дфдх~ ~ ~ — ~, то будет дй происходить ускорение газа, при обратном соотношении между отводом тепла и силой тяжести— замедление. Существенно, что при движении газа от поверхности, т. е.
з=с против силы тяжести, возможен таня<в непрерывный переход че- исС рез скорость звука при замедленном движении потока, имевшего первоначально сверхзвуковую скорость, или при ускорении дозвукового течения. Непрерыв- Ряс. 102. ному переходу через скорость звука в обоих случаях будет отвечать равенство при и = с — = (й — 1) — ~ , — ~ = — †, ~ .
(86.8) При движении газа в направлении действия силы тяжести (к поверхности) влияние излучения будет, очевидно, таким же, как и влияние силы тяягести, поэтому непрерывный переход через скорость звука в этом случае невозможен; дозвуковое течение будет всегда замедленным, сверхзвуковое — ускоренным.
Все эти замечания относятся к стационарному движению. Для оценки влияния нестационарности процесса отметим, что сумма слагаемых (1/ир)(др/дг) — (1/с') (ди/д/) в правой части уравнения (86.4) будет положительной для первых порций истекающего газа и отрицательной в начале движения для тыловой части струи. Однако за достаточно малое время (порядка /з/сю где /, — начальная длина газовой струи и с, — начальная скорость звука) установится такой режим течения почти для всей массы газа, исключая головную часть струи, при котором (1/ир)(др/д/) — (1/с') х Х (ди/дг) ) О. Таким образом, влияние на скорость движения не- стационарного члена в уравнении (86.4) качественно аналогично 744 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 1ГЛ.
ХП1 влиянию отвода тепла, но не сопровождается, разумеется, потерей полной энергии. Следует заметить, что принятое здесь представление движения как одномерного существенно упрощает рассмотрение задачи. При учете расхождения потока могут быть получены иные выводы, в особенности при учете силы тяжести и излучения (в общем случае подвода или отвода тепла). Не рассматривая эти задачи, заслуживающие отдельного исследования, ограничимся кратким замечанием об установившемся изэнтропическом движении с центральной симметрией в поле тяжести. В этом случае с учетом уравнения неразрывности в виде 1 др 1 ди 2 — — + — — + — =0 р дг и дг (86.9) вместо уравнения (86.5) следует написать ( ) ио '1 $ ди 2 СМ 1\~ со ) и дг г сого' (86.10) и' — и'+ „— со ~( — — 'о) ~ — "') — 1~ = 26М ( — — — ).
(86.11) Кризис стационарного течения может при этом не иметь места; вопрос о наличии его решается соотношением между начальными аначениями и„с, и г, и параметрами М и 1с. А именно, при (86.12) кризиса не будет; здесь г, определяется из уравнений (86.9), (86.10) при условии, что и = с: 5 — Зй СМ СМ ио со + + о 4(Ь вЂ” П го го 2 Ь вЂ” 1 (86.13) Как видно из этого уравнения, качественно влияние геометрического расширения струи газа при движении от поверхности совпадает с влиянием излучения, т. е. приводит к ускорению сверхзвукового и замедлению дозвукового течения. Наоборот, при движении газа к поверхности (падающие массы) влияние сужения потока сказывается в ускорении дозвукового и замедлении сверхзвукового течения и, следовательно, как и для отходящих масс, противоположно по знаку влиянию силы тяжести и иалучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
