К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 111
Текст из файла (страница 111)
с„+ Г' са + заГ В момент времени с = " " волна (84.55) достигает стенки сосуда х = — й При этом возникает волна а= — р= Ус' — 2ах, (84.56) что даст и=О, с = у'с' — 2ах. (84.57) Граница волн (84.55) и (84.56) движется по закону (84.54), где для т берется больший корень т = т,. Граница разлета [верхняя граница волны (84.55)[ движется также по закону (84.54), причем для т снова берется меньшее значение т = т . Значения х = 0 фронт волны (84.56) достигает одновременно с границей разлета.
В самом деле, для волны (84.55) имеем с„= а (г — т,), для волны (84.56) Отсюда следует, что — сн = а (г' — т,). а (т — т,) = 2сн, а это равенство, как можно убедиться соответствующей проверкой, непосредственно вытекает из (84.52). Следовательно, в момент времени г = сз = т + — = — у с' + 2а[ сн 2 с — — г а — а н (84. 58) газ занимает исходное покоящееся положение, после чего процесс неограниченно повторяется снова с периодом времени т,.
726 [гл, хп ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ Анализ полученных результатов показывает, что характеристики, описываемые уравнениями сн а х = —, — — (~ — т,)', 2а 2 могут быть приведены к виду х = сн (з тз) (з тз) 2 х = — с„(з — тз) — — (з — тз) ° (84.59) Очевидно, характеристики любой волны описываются уравне- ниями х = -+ с„(~ — итз) — —, (2 — итз)з, (84.60) где п — любое целое число. Полученные результаты иллюстрируются рис.
100. Для того чтобы перейти от показателя адиабаты, равного трем, к произвольному показателю и для данного класса задач, удобно проделать следующие вычисления. Пусть адиабаты р =- Ач -з и р = Азчз — А, проходят через начальную точку (р„ч,). ВыбЕрЕМ На ПзрвОй аднабатЕ тОЧКу (р„, Чн) И ПОтрЕбуЕМ, ЧтОбЫ ВтОрая аппроксимирующая адиабата проходила через эту точку; тогда (84.61) 3 А,=А — ',. ззз (84.62) Для внутренних волн разрежения состояние р, может быть вполне определенным (например, наименьшее значение давления в области этой волны). Для крайних неримановских волн, где давление мало, за состояние р, можно взять, наоборот, верхнее значение давления.
На линии сопряжения волн с римановской волной, параметры которой находятся в общем случае для любого й, нинзним значением р будет, очевидно, р = 0; для того чтобы и плотность равнялась нулю, в этом случае следует просто считать, что р=А,чз, где 5 55! движения ТАЗА В постоянном пОле тяжести 727 Начальная скорость звука будет определяться формулой (84.63) Таким образом, зная решение задачи для )5 = 3, мы с относительно хорошей точностью сможем решить задачи для произвольного Ф, определяя коэффициенты аппроксимирующей адиабаты формулами (84.61) и начальную скорость звука формулой (84.63). Заметим, что в случае быстро протекающих процессов не будет успевать устанавливаться тепловое равновесие.
В случаях, когда процессы колебания газа являются периоди- Трмдиай ческими, теплообмен будет умень- какеакний( шать колебания, а газ придет по- ОпЯаженнан степенно в состояние равновесия. Роль стенки, находящейся внизу, могут играть нижние более плот „азс пые слои газа, не участвующие араон' в процессе извержения. — а-й и=а а Интересным результатом изэнтропического движения в поле Рис.
100. тяжести является установление периодичности колебаний газового столба и закономерностей падения газа при достижении им максимальной высоты. Мы видели, что, достигнув максимальной высоты, частицы газа не сразу начинают падать обратно, а некоторое время могут пребывать в состоянии покоя; это объясняется тем, что газ, находящийся внизу, не достигнув еще возможного полного расширения, как бы подпирает верхние слои газа, не давая им двигаться вниз до тех пор, пока не придет волна разрежения. Мы этот факт обнаружили, решая задачу в случае )5 = З,однако можно думать, что и при произвольном показателе изэнтропы аналогичные явления также должны иметь место.
При истечении газа в воздух (а не в пустоту) впереди газа образуется ударная. волна, приводящая воздух в двия5ение. Поскольку при этом общая движущаяся масса увеличивается, то максимальная высота, на которую поднимается газ, уменьшается. Весьма существенно рассмотреть более подробно хотя бы первую 2г+3 волну разрежения в поле тяжести для й =,— при г = 1, 2, 3,... ). 2г+$ Пз решения для й = 3 видно, что эта волна не будет простой, если ") Эта задача была решена К. П. Станюковичем и К.
Джусуповым (55). 728 [ГЛ. ХГИ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ ее фронт двих<ется по газу, находящемуся в равновесии, т. е. если при и = О 2 2 2 а1 — с = — сн или и = а2 = — (е — сн), (84.64) А — 1 а — 1 а — 1 то закон движения фронта будет х = — (сн1 + а(о~ . А — 1 (84.65) Поскольку (84.64) можно написать в виде у'2 (2г + 1) 1 — пт = = )Г 2 (2г+ 1) (н = сопз(, то нафРонтеимеемРо ('У' 2 (2г + 1) (в — ю) = Ро (сопз() = сопз1, а следовательно, эта функция не может быть определена иэ условия на левой характеристике (84.3).
С помощью этой характеристики можно найти вид функции Р,[3'2(2 -то~ ' 1. П У *Р" Р"*" — '" Р (2 — В) (8467) 7 в дв'! в 2' двт вт+о где 2 г 2 в = — с = у 2 (2г+ 1) 1, () = в — пт = вн = — сн = сопзС, А — 1 У н а 1 н= (84.68) то решение для ф примет вид дт 1 А(В(г,1,(н, в))З("~И вЂ” Ввн(та(г, 61„, вйото +Р'и Ф вЂ” = д(т 1 ~Г (84.69) где тр(г,(, („,ю) = у'2(2г+1)а'+ и+ у'2(2г+1)1 . При этом на характеристике (84.68) должно выполняться условие г"о ьи О, а вн (2 (2г + 1)!тол' д" А (2в)Я~ П вЂ” 2Ввн (2в)оты н а 2 " двт тм д" "в"о' г" вт 1 =(2(2г+1))'+'Я ~4А —,— 2Ввн — „1 = о)в дв = (2(2г+ 1))тва (4(г+1)! Ав — 2г) Ввн), откуда А= В= 4а (г+ 1)Ц2 (2г+ 1Цто Ь 2аг! 12 (2г+ 1))то Е 1 = —, = ) (с — сн) = — ('г'2(2г+ 1) 1 — 'г'2(2г+1) (н ) (84.66) и имеет место условие Таким образом, 1 д'-' 4а ()'+1)( (2(2г+1)]т+I» д)т т ' + ф2(2г+1))' ]'("+н — (2(2г+1)]Я]/)', .2(г+1) [ф'2(2г+1))+ + иг + ]/2 (2 + 1)1 ]в+' + Ра)/ ~ 1 .
(84 70) Функцию )]) можно также написать в виде 1 дг ] [)/ 2 (2г+ 1) т + в+ фг 2 (2г + 1) тн]авз 4а(г+1)) ]2(2г+1)]»+1 д]т [ 2г+ 3 —,))т»)2'-)-1))-)»-ф2)2»-1)) 1" ~тг). )»4))) Для г = О х, = О. В общем случае (при г = 1, 2, ...) значение ха может оказаться не равным нулю. Для вычисления поступим следующим обрааом.
Поскольку при и = О х = (сз — с')/(й — 1) а = (в '. — ва)/2 (2г + 1) а, х = = х, + а('/2 — д)р/ди), то отсюда, сравнивая выражения для х, будем иметь вн в (в вн) д)() х + дв (84.72) з — 2(2г ( 1)а 2а и после вычисления получим выражение для дф/д)а на характе- ристике (84.68). Так как 1 Х 2аг) ]2(2г+ 1)]тть ]в и+ вн] (2г+ 1) вн (в+в+вн] д(т 1 уТ то, используя условие (84.76), можно написать 2ва™ вЂ” (2г+ 1) внв дт 1 —,, ]2вт+' — (2г + 1) внвт] = ((г + 1) в — (2г + 1) вн] д)() 2» д' » дв аг)2 (2г + 1) (в дв)т-1 2 аг)2(2г + 1) что сразу определяет ха: гв~ (2г+1) а ' (84.73) $ за] движения РА3А В постоянном пОле тяжести 729 730 Ггл.
хгм ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ Определим функцию Р„что можно сделать, полагая при 4 = О, х = 0 выполняющимся условие 2 й = и = — (сн — с) = ан — о>. ь — т (84.74) Поскольку по левой характеристике (84.68) Р, = О, то очевидно, что выражение для Р, нужно искать в виде Р, = Р, [)/2 (2г + 1) 4 — ш — )/2 (2г + 1) >н! = = Р, [а — (й + ан)!. Написав выражения Г = д>[>/д> = 0 и Х = хо — — — — 0 или дф/дй = д>]> о дн> = хо, при выполнении (84.73) легко для каждого определить А„и степень и в выражении для Р,.
Для г = 0 Рн — = О, для г = 1, 2, 3 вычисления проводятся сравнительно просто, усложняясь с увеличением г, и у>хе для г = 4 они достаточно громоздки. Приведем значения 4]> для г = О, 2, 3, 4: т = — [(а + й -[- ан)4 — Зал (а -[- й + ан) ]/3, 48 $' ба ((В+ и>+ ан)4 — 4ан(4О+ и>+ан) + + 4ан [а — (и> -]- Вн) !')/ )/ 4, 1 д — ((а+й+а ) — Оа (а+й+Он) + + 12 ан [в — (и> -]- ан)]4 — 8ао [а — (й -[- ан)]4)/ у' >', + 24 ай [о> — (и> + ан)1' + 32 о>н [о> — (и> + ан) !' + + 16 ай [а — (й + вн)]4)/ у'4, Ф 4 — — дв ((а+й+ан) 10ан(0>+й+ан) + 44О 1н4 г' 4 нн ° д> + 40 0>й! о> — (и> + 0>н)]' + 80 вн [а — (й + ан) 1' + +80 4[ ( + )]4 ] 32 б[ ( + )]4)/)/ ° Тогда при выполнении условия (84.67) Р, =- Р, (0) = О.
Можно аадавать для г=0,1, 2, ..., Р, в виде Р, =,) >А„[а — (й+ан)1". При этом значение Р, равно Рт = Р> [о> + й -+ о>н] = Р> (2а„) = 24о и> ганонн>. (84.75) н 1 88) движения ГА3А В постоянном поле тяжести 731 Мы видим, что число слагаемых в г'8 равно г. Максимальная степень равна 2г, минимальная г + 1. Таким образом, в общем виде можно написать 1 д" 8/ /(О+ Ю+ О )8(г+Г) 4а (г+1)! (2(2г+1)]"+Яа д)" ~ 1 )в. . — 2(г+1)вя(в+о+о„)вгм+ ~ А„(в — и — ва)о~/у'7, в=«+8 (84.76) где коэффициенты А„, как мы только что указали, алгебраически вычисляются для каждого г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
