К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 106
Текст из файла (страница 106)
В слу- чае, когда (/ = О (с) и (,с не зависит от и, мы придем к весьма про- стому решению р = + ( ) ~(с+ т)" 'с((;>(с), (80.48) (с+ т)~ (с+т)~ э где А и  — константы; т = г"' = Й/г/с(и, откуда г" (и) = пт — а, где т и а — также константы. Следовательно, р = - —; х + а = и(с + т). А с+т ' (80.49) К этому решению можно прийти сразу из исходной системы уравнений (80.28), если положить, что не только р = р (с), но и р = р (С), причем я+а с +т ' тогда первое уравнение системы удовлетворяется тождественно, второе дает р = р (с), а третье р = р (С). Не представляет труда обобщить эту задачу на случаи цилиндрических и сферических движений горящего газа.
В этом случае в уравнениях для р и р прибавятся члены Тир/г и /сЛ'ир/г, что 696 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ (ГЛ. Х11 в окончательных уравнениях приведет к дополнительным членам (/1'ир/г) (дг/ди) и (/с/1'ир/г) (дг/ди), и основная система уравнений примет всщ др 0 д)во(С ~ р,) ~ /4 +)(си(с+ р')) ди ' дС ( иС+Р— (С + р') + ~ /ср + Лс„р д„) = (й — 4) р — (С + р'), д0 откуда р= А (и) (с+В')(ис+р)" ' (80.50) В (и) (с+ р') (ис+ р)'" + + (ь ()А(.) ~(с, р)"-'(ис+Г) '"-'>' — "дс.
(80.5() (с+ р')е (ис -)-е)ен д дс При г" = ис — а, В (и) = сопз(, А (и) = сопзс и с2 = с',) (с) получим точное решение р = р (с). Применим теперь найденные решения для простой волны к решению задачи Лагранжа. Воспользовавшись соотношением (80.40) и полагая константу равной нулю, мы найдем связь между и и р или и и р.
Если нам задано (/ = (',) (С), то мы, воспользовавшись уравнением движения Мс)и/ссС = р, сможем принципиально его проинтегрировать, поскольку с)и р (и) рое н а м и (80.52) откуда и= — ""„~4+ (4+ с"лхс) ()п(4+ с'м с) — )Д, (80,58) где р, — начальное давление ранее сгоревшего газа. Зная уравнение движения метаемого тела, можно определить произвольную функцию (80.54) р (и — сн) = и — (и — с„) С, что и решает полностью поставленную задачу. Для найденного точного решения, когда р = р (С), мы вправе поступить следующим образом: зная с',) = с',) (с) и р (с), сразу же из уравнения движения определяем скорость движения на границе метаемого тела.
Развитый здесь метод может быть уточнен и применен к решению разнообразных задач газовой динамики горящего газа, а также к задачам, связанным с действием газа на движущиеся поршни или метаемые им тела. $ ВЫ метАние телА В слУчАе ПОстОЯннОГО ЛАвлениЯ 697 3 81. Метание тела в случае постоянного давления на его поверхности Предположим, что на поверхность метаемого тела действует некоторое время постоянное давление.
Рассмотрим, какое при этом должно быть движение сгоревшего газа. Будем искать точное решение одномерных движений газа, предполагая, что скорость газа зависит только от времени: и = и (с). (81.1) При этом для изэнтропического движения уравнение движения (13.3) дает са = Ь(С) — (й — 1) — „х. (81.2) Далее из уравнения неразрывности (13.3) получаем Отсюда следует, что иаи(йа = 0 и что решение имеет внд (81.3) гана и=а1, с'=(Й вЂ” 1)~ — — ах~+с'„-, (81.4) где и = сопз$. Рассмотрим теперь закон движения тела при условии, что давление, действующее на него, постоянно.
Поскольку М вЂ” „= р = р„= сопвс, (81.5) то и= — ~ х= —, ра ра м ' зах (81.6) если считать, что движение началось при х = 0 в момент времени с = О. Отсюда зависимость скорости от проходимого расстояния имеет вид и=~/ — х (81.7) Мы видим, что найденные точные решения удовлетворяют поставленному требованию о постоянстве давления на поверхности В заключение этого параграфа отметим, что классические методы расчета движения газа в цилиндрах, поршневых двигателях хотя и являются достаточно точными, но при больших скоростях движения уже возникают потребности в уточнении этих методов, что можно сделать только с помощью теории неустановившихся движений газа. 698 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ ИГЛ.
ХП метаемого тела, поскольку при нр х = —. 2 Ф что следует из (81.4), мы получаем (81.8) с=он Р=Рн. При этом величина а равна Ен а=— М (81.9) и~ — + ~н 2 или а'-Ю' — + ~н 2 (81 10) что является как бы аналогом уравнения Бернулли; но только в этом уравнении теплосодержание и кинетическая энергия одного грамма массы в обеих частях равенства стоят с одинаковыми знаками и аависят от времени.
Найденное решение является общим решением уравнения газовой динамики. Данная задача интересна тем, что она показывает, каков должен быть режим подачи газа и плотности его энергии для поддержания постоянного давления на поршне или на поверхности метаемого тела. Подаваемая в одну секунду масса должна быть равна з т= р„— ", (1+ —,. ) =М(1 —,", ) . (8111) В случае более быстрого темпа подачи массы газа и плотности его энергии давление на поршне будет возрастать со временем, а при более медленной подаче — падать. Анализируя смысл полученного ршения, легко прийти к выводу, что в сечении трубы л = О скорость подаваемого в это сечение газа должно возрастать пропорционально времени, разность квадратов текущей и начальной скорости звука в этом сечении также должна возрастать пропорционально времени.
Интересно отметить, что уравнение энергии подаваемого газа можно записать в виде $881 методы ГА30ВОЙ динАмики ВО ВнутРенней ВАллистике 699 6 82. Методы газовой динамики во внутренней баллистике Внутренняя баллистика изучает процессы, происходящие при выстреле. Качественная картина этих основных процессов заключается в следующем.
После воспламенения пороха (процесс воспламенения допускается во внутренней баллистике мгновенным по всей поверхности пороха) начинается постепенное превращение его в газ; если сосуд, где находится газ, замкнут со всех сторон, то процесс горения происходит в постоянном объеме. Если горение пороха происходит в каморе, причем :;:.::(,,::,",,ъ' с одной стороны каморы находится !-:::::,:-;::4'.":.; свободное инертное тело (снаряд), то л ~ Г л-Р Л это тело под действием все увеличивающегося давления пороховых газов Ркс. 96.
начнет двигаться. Объем, в котором происходит горение пороха, возрастает; при этом, поскольку увеличение объема происходит про грессивно, а порох сгорает до конца, наступает такой момент времени, когда давление газов в каморе начинает уже не возрастать, а уменьшаться. Рассмотрим конкретную схему движения пороховых газов в начале ствола (рис.
96). Поместим начало координат на границе порох — снаряд. Длину заряда обозначим через 1, вес пороха — ы, вес снаряда — д. Будем считать, как это принято, что движение снаряда начинается при некотором давлении Р (давление форсирования), необходимом на преодоление рааличных сопротивлений. Мы придем к выводу, что движение снаряда начинается в некоторый момент времени 8=7, если начало воспламенения пороха соответствует времени 8 = О.
Как только снаряд начнет, двигаться, по горящему пороху пойдет справа налево волна разрежения. Поскольку при горении образуются газы, то можно говорить о распространении волны разрежения по газо-пороховой смеси. При этом должны наблюдаться две волны, одна из которых с большей скоростью распространяется по продуктам сгорания (газу), другая с меньшей скоростью по еще не сгоревшему пороху. Первая волна разрежения, дойдя до неподвижной газо-пороховой смеси, просигнализирует о том, что правее началось движение этой смеси, поскольку снаряд уже начал двигаться.
При этом частицы смеси также вовлекаются в движение. Существенно заметить, что вторая волна, идущая с меньшей скоростью, незначительно изменит режим движения, и мы ее в дальнейшем не будем учитывать. Волна разрежения через некоторое время в момент дойдет до стенки (до дна каморы), от нее отразится и пойдет напра- 700 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. ХП во, догоняя снаряд. В момент времени 7 = Т эта отраженная волна догонит снаряд и от него отразится. Поскольку закон движения волн, идущих направо, выражается дифференциальным урав- нением ах — =и+с, Н1 где и — скорость движения газа, с — скорость звука, а скорость движения волн, идущих налево, есть ах — =и — с й = Ф то волна, отраженная от снаряда, может идти как налево, так и направо (отставая от снаряда), в зависимости от того, что больше, и или с.
Волна, идущая налево, дойдет до стенки, от нее отразится, и процесс отражений как бы будет повторяться. Однако это может быть при неограниченном стволе и относительно тяжелом снаряде (по сравнению с весом пороха); в случае легкого снаряда для какой-либо иэ волн, пришедших к нему, обязательно будет и ) си очередная отраженная от снаряда волна пойдет направо (рис.
97). Если снаряд относительно тяжел, то первая отраженная от дна каморы волна разрежения догонит снаряд вблизи начала координат, когда он будет иметь еще небольшую скорость,и учет первой волны разрежения, под влиянием которой снаряд „4» движется, будет несущеОвраонвннал волна эй огненным (рис. 98). Если ф отч же снаряд относительно леПу ан 6 гок, то под влиянием первой волны он пройдет больх=а л>Л х шой путь и наберет больРвс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
