К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Исключение составляет явление остаточной деформации и описание волн раз. грузки в смысле условий на фронте волны. Фронт волны разгрузки любой формы движется с постоянной скоростью: ш, = сз = 1/ — „= )/ Ро (77.73) В случае очень сильных деформаций необходимо учитывать сжимаемость среды. Поскольку при распространении цилиндрических и сферических волн среднее давление или напряжение быстро падает с увеличением расстояния от центра деформации, то уже на расстояниях порядка 1,5пм 2г, и больше, где гз — радиус деформированной вначале области, можно пользоваться линейной теорией или теорией звуковых волн.
На меньших расстояниях можно воспользоваться или теорией одномерных движений, что о 711 РАспростРАненне сильных ВОлн В тВердых телАх 667 несколько грубо, или, что точнее, для бегущих волн считать по- стоянными инварианты Римана, т. е. положить Ии +. Се( 1п р = О, что в других обозначениях имеет вид е(и+. ),г — = О. / дйде Ро (77.74) Уравнения Эйлера для цилиндрических и сферических волн имеют такой же вид, как и для плоских, уравнение же неразрывности необходимо вывести. Поскольку в координатах Лагранжа закон сохранения массы имеет вид еЬ/ей = О или го = 11 (го), (77.75) для сферической волны дй = 4лгоРе7г = 4лгЪойго (77.76) и Ии = 2лгре(г = 2лгорое(го для цилиндрической волны, то уравнение (77.75) принимает вид дг е г р ='оро (77.77) Пусть, как и выше, уравнение состояния имеет вид а — а, = а(е — е,)"; (77.79) тогда еЬ = аа (е — е,) 1 и е(и +.
у' аа/ро(е — е )<о 1пое)е = О; от- сюда инварианты Римана выразятся так: о+ 1 2 /аа и-1- — ь — (е — е,) ' = сопзь. — а+1 г' р (77.80) Напишем (7?.77) в виде „дг — = 1о (1 + ео + е ео) = дго = го ~((1+.и) — )/ ~' ~ + го (1+ е), (77.81) где р о = р, (го) или в частном случае до начала движения р, = сопзо. Для цилиндрической волны 1о' = 1, для сферической волнист = 2 и для плоской волны Л' = О. В других обозначениях уравнение (77.76) имеет внд гл — = г, (1+ е). дг я дго 668 нкгстановнвшнкся движкння в ~ло~ных сгкдах игл. х~ Поскольку и = дг/д~, то уравнение (77.81) окончательно напишем в виде д о (1+ +((р+ э,) 2 1~ ~ ~. (77.82) р Р (и) Ро гк~ (77.83) или 1+е=Ф(и)гкк (77.84) Исследования цилиндрических н сферических волн раагрузки представляют особенный интерес.
Решение этого уравнения при любых начальных условиях или гипотезе р = сопзс не представляет труда, поскольку это — нелинейное уравнение первого порядка. Полный интеграл этого уравнения легко находится, затем для известных начальных условий с помощью вариаций проиавольных постоянных ищется необходимое решение. Наиболее простыми случаями являются: 1) а = 1 (закон типа закона Гука), при этом уравнение линейное н 2) случай а = + 3, когда в координатах (г, г,) уравнение можно сделать линейным.
Для отраженных волн справедлива с большой точностью ап- проксимация ГЛАВА ХП МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ $ 78. Задача Лагранжа Мы здесь рассмотрим несколько задач об одномерном расшире- нии газа в трубе, сопровождающемся выталкиванием из этой трубы тела. Эти задачи имеют приложение во внутренней балли- стике, а также представляют интерес для теории двигателей и, в частности, поршневых, где нестационарно расширяющиеся газы толкают поршни или, напротив, поршни сжимают газ. Эти задачи рассматривали Ляв и Пиддок (67], С.
А. Бетехтнн и автор (56). Будем решать так нааываемую задачу Лагранжа. Представим себе пока бесконечную трубу, определенный объем которой аа- полнен сжатым покоящимся газом. Пусть стенка, ограничивающая газ слева, неподвижна, а поршень, ограничивающий газ справа, имеющий массу М, на- х=Ь чинает в момент времени г = О двигаться из сече- Ркс.
94. ния х = 0 под действием давления сжатого газа. Правее поршня в трубе пустота. Вы- берем начало координат у поршня в начальном положении (рис. 94). Необходимо исследовать движение тела и газа. Первая волна разрежения, которая возникает при движении тела, будет простой волной, поскольку она будет распространять- ся по покоящемуся газу. Для этой волны будут справедливы уравнения и = — 4(сы — с); 2 ь — $ (78Л) (78.2) (и — с) 2 + г" (и — с); здесь с„— начальная скорость авука в газе, г" (и — с) — пока произвольная функция, которую можно определить, исходя из условия на поверхности метаемого тела: (78.3) 670 [гл. хы МЕТАНИЕ ТЕЛ РАЗОВЫМ ПОТОКОМ здесь площадь поперечного сечения трубы Я принята за единицу.
Преобразуем зто уравнение: Ми = М х = рн ( — ) тсн з И ( й — 1 и )1-1 окончательно тсн Мх = й3 (78.4) (78.5) Проинтегрируем зто уравнение, аадаваясь начальными условиями: при 1 = О, х = О, и = 0 или (5=0, при Т=О[ [о=О. (78.6) Последовательно интегрируя, находим 1-1 анд = юд — ~1 ~ т + 1~ зз т /й+1 т ~ зс1 Кд = гд = — ( — — т + 1) йМ( 2й М (78.7) (78.8) (78.9) здесь я — безразмерное ускорение. (Истинное ускорение 6 = сн дд " .) Давление на поверхности метаемого тела определяется здесь т — масса газа, 1 — длина участка трубы, занятого газом до начала его разлета, р„ — начальная плотность газа, р„ — начальное давление газа.
Для й следует выбрать «политропическое» значение для сжатых продуктов горения 8 43). Введем безразмерные величины: $ = хП, т = с„с//, ю = $ = = и/с„; с/с = а, тогда уравнение (78.4) примет вид 671 1 1з1 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА соотношением з = (й+1 — т+1) й Рн (78.10) Здесь индекс «и» обозначает значение соответствующих величин на поверхности тела. Определим теперь произвольную функцию г'(и — с). Поскольку из (78.2) Г (и — с) = х — (и — с) 1 или Г (Р— а) = $ — (с — а) т, а Р— а и $ выразятся так: 2 й+1!й+1 т 1 й+г и — а = — — — ( — — т+1~ й — 1 й — 1(, 2й М з то будем иметь) г'(Р— а) = — — (1+с — а) = — Р, =й — и. 2й М 2й М й+1 М й — 1 т й — 1 т 2 т (78.11) Отсюда следует, что $ = (Р— а)т+ — Р йМ или — — =- (Р— а) (т+ — ); (78 12) 2й М / 2й Мз й+1 т (, й+1 т)' соотношение (78.1) в безразмерных величинах имеет вид Р = — (1 — а). 2 й — 1 (78.13) Таким образом, соотношения (78 12) и (78.13) полностью решают задачу об определении первой волны разрежения.
Интересно отметить, что это решение аналогично решению в задаче о разлете газа в пустоту с той только разницей, что разлет как будто бы начинается в сечении (2й/(й + 1)) М/т = $, в момент времени — [2/с/(/с+ 1)) М/и = т„сама же волна центрирована. Выясним, для каких газов в смысле их уравнения изэнтропы волна разрежения при метании тела является центрированной. Для этой цели воспользуемся соотношениями аи(М = и сси~с1х = = Р/М' * *о = (и — с) (1 — го); поскольку на основании (8.32) 672 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ )ГЛ. Х11 Р(и — с) = хо — (и — с)Со = М~ ~ — — (и — с) ~ — ~. Гиди Г дит Р Производя некоторые преобразования, можно прийти к уравне- нию откуда легко находится решение Ар" А Р (78.14) (1+ Вр)" (т+ В)" дающее уравнение состояния с учетом коволюма. Мы видим, что уравнение иээнтропы, при которой волна центрирована, является лишь на один параметр более общим, чем обычное уравнение изэнтропы, и учитывает коволюм.
Левая граница волны разрежения в момент времени 1 = 1/с„ достигнетлевой стенки, отразится от нее, после чего возникнет отраженная волна, которая опишется уже известными нам уравнениями (21.14): 1(1+ ~ ) фг2(2г 1 1) дг-1 [( У 2 (2г+ 1) )+ и)о — 2(2г+ 1) )и]' 2г! [2(2г+1)) др 1 Уг) д' + 'го, 'х = и(1 то) д + хо (7О'.15) При написании уравнений этой волны мы учли то обстоятельство, что центрированная волна начинается в сечении х =- хо при 1 — )о Фронт отражеьной волны будет, очевидно, двигаться по закону — = и+с или — =о+а дх м)г, до дт (78 16) что после интегрирования при условии т = 1, $ = — 1 (2 21) дает з-м 2а Л! мы 1+— А+1 м (78 17) )м' = О, м) () = О, и = — ~ с —, то 1 = М ~ —, х = М 1 —; отсюда м)р 1' ди Г иди 673 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА Из соотношений (78.7) и (78Л7) следует, что фронт отраженной волны достигнет метаемого тела в момент времени т, и в сечении $„определяемых соотношениями и+1 т т,=2+ —— 2й М' при этом зй — = а, = (1+ — — ); и, = — (1 — а,).
(78Л9) р~ й1 / й+1 мй йм 2 2 2 2 Р— — а = Р, — — а, = — [1 — 2а,). (78.20) й — 1 1 й — й 1 й — 1 Поскольку на стенке Р = — О и в пределе должно быть и = О, то ий-и й+Г й й+ а, =- —, =(1+ — — ) З ( 2й АГ) Таким образом, при ьм — — ( 2®~-~) — 11 и й+й~ (78.21) (78.22) волна не дойдет до стенки. Для различных значений /с = 3, 5/3, 7/5, 9/7 мы будем иметь соответственно М/т (2/3, 4/15, 6/49, 8/135. В случае ббльших значений М/т, чем вычисленные, волна дойдет до стенки, от нее отразится и снова пойдет к телу и т. д. Для того чтобы просто и достаточно точно решить поставленную задачу об определении движения тела, поступим следующим образом. Будем считать, что, после того как первая волна разрен~ения, отраженная от стенки, догонит метаемое тело, внутри После того как волна, отраженная от стенки, догонит метаемое тело, возникнет новая волна, отраженная от тела.
Эта новая волна уже не может быть просто найдена с помощью общих решений уравнений, поскольку возникают непреодолимые трудности при вычислении произвольных функций. Фронт волны, отраженной от метаемого тела, будет распространяться от тела и в зависимости от начальных условий задачи может распространяться как налево, так и направо. Выясним условия, при которых отраженная от тела волна не дойдет до стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
